Теорема Капланского о плотности - Kaplansky density theorem - Wikipedia

В теории алгебры фон Неймана, то Теорема Капланского о плотности, из-за Ирвинг Каплански, является основной аппроксимационной теоремой. Важность и повсеместность этого технического инструмента привели к Герт Педерсен комментировать в одной из его книг[1] который,

Теорема плотности - великий дар Капланского человечеству. Его можно использовать каждый день и дважды по воскресеньям.

Официальное заявление

Позволять K обозначить замыкание с сильным оператором набора K в B (H), множество ограниченных операторов в гильбертовом пространстве ЧАС, и разреши (K)1 обозначим пересечение K с единичным шаром B (H).

Теорема Капланского о плотности.[2] Если является самосопряженной алгеброй операторов в , то каждый элемент в единичном шаре сильно-операторного замыкания находится в сильно операторном замыкании единичного шара . Другими словами, . Если является самосопряженным оператором в , тогда находится в сильно-операторном замыкании множества самосопряженных операторов в .

Теорема Капланского о плотности может быть использована для формулировки некоторых приближений относительно сильная операторная топология.

1) Если час положительный оператор в (А)1, тогда час находится в сильно-операторном замыкании множества самосопряженных операторов в (А+)1, куда А+ обозначает множество положительных операторов в А.

2) Если А это C * -алгебра действующий в гильбертовом пространстве ЧАС и ты - унитарный оператор в A, тогда ты находится в сильно-операторном замыкании множества унитарных операторов в А.

В теореме плотности и 1) выше результаты также верны, если рассматривать шар радиуса р > 0, вместо единичного шара.

Доказательство

Стандартное доказательство использует тот факт, что ограниченная непрерывная вещественнозначная функция ж сильно операторно непрерывно. Другими словами, для сети {аα} из самосопряженные операторы в А, то непрерывное функциональное исчисление аж(а) удовлетворяет,

в сильная операторная топология. Это показывает, что самосопряженная часть единичного шара в А сильно аппроксимируется самосопряженными элементами в А. Матричное вычисление в M2(А) с учетом самосопряженного оператора с элементами 0 по диагонали и а и а* в остальных позициях, снимает ограничение самосопряженности и доказывает теорему.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Стр. 25; Педерсен, Г.К., C * -алгебры и их группы автоморфизмов, Монографии Лондонского математического общества, ISBN  978-0125494502.
  2. ^ Теорема 5.3.5; Ричард Кэдисон, Основы теории операторных алгебр. I: Элементарная теория, Американское математическое общество. ISBN  978-0821808191.

Рекомендации

  • Кадисон, Ричард, Основы теории операторных алгебр. I: Элементарная теория, Американское математическое общество. ISBN  978-0821808191.
  • В.Ф.Р. Джонс алгебры фон Неймана; неполные заметки из курса.
  • М. Такесаки Теория операторных алгебр I ISBN  3-540-42248-X