Теорема Клеймана - Kleimans theorem - Wikipedia

В алгебраической геометрии Теорема Клеймана, представлен Клейман (1974), обеспокоенность измерение и плавность теоретико-схемное пересечение после некоторого возмущения факторов на пересечении.

А именно:^[1] заданной связной алгебраической группе грамм игра актеров транзитивно на алгебраическом многообразии Икс над алгебраически замкнутым полем k и ${\displaystyle V_{i}\to X,i=1,2}$ морфизмы разновидностей, грамм содержит непустое открытое подмножество такое, что для каждого грамм в комплекте,

1. либо ${\displaystyle gV_{1}\times _{X}V_{2}}$ пусто или имеет чистое измерение ${\displaystyle \dim V_{1}+\dim V_{2}-\dim X}$, куда ${\displaystyle gV_{1}}$ является ${\displaystyle V_{1}\to X{\overset {g}{\to }}X}$,
2. (Клейман–Теорема Бертини ) Если ${\displaystyle V_{i}}$ являются гладкими многообразиями и если характеристика основного поля k равно нулю, то ${\displaystyle gV_{1}\times _{X}V_{2}}$ гладко.

Положение 1 устанавливает версию Лемма Чоу о движении:^[2] после некоторого возмущения циклов на Икс, их пересечение имеет ожидаемую размерность.

Эскиз доказательства

Мы пишем ${\displaystyle f_{i}}$ за ${\displaystyle V_{i}\to X}$. Позволять ${\displaystyle h:G\times V_{1}\to X}$ быть составом, который ${\displaystyle (1_{G},f_{1}):G\times V_{1}\to G\times X}$ за которым следует групповое действие ${\displaystyle \sigma :G\times X\to X}$.

Позволять ${\displaystyle \Gamma =(G\times V_{1})\times _{X}V_{2}}$ быть волокнистый продукт из ${\displaystyle h}$ и ${\displaystyle f_{2}:V_{2}\to X}$; его множество замкнутых точек

${\displaystyle \Gamma =\{(g,v,w)|g\in G,v\in V_{1},w\in V_{2},g\cdot f_{1}(v)=f_{2}(w)\}}$.

Мы хотим вычислить размер ${\displaystyle \Gamma }$. Позволять ${\displaystyle p:\Gamma \to V_{1}\times V_{2}}$ быть проекцией. Это сюръективно, поскольку ${\displaystyle G}$ действует транзитивно на Икс. Каждое волокно п является классом стабилизаторов на Икс и так

${\displaystyle \dim \Gamma =\dim V_{1}+\dim V_{2}+\dim G-\dim X}$.

Рассмотрим проекция ${\displaystyle q:\Gamma \to G}$; волокно q над грамм является ${\displaystyle gV_{1}\times _{X}V_{2}}$ и имеет ожидаемый размер, если не пуст. Это завершает доказательство утверждения 1.

Для утверждения 2, поскольку грамм действует транзитивно на Икс и гладкое место Икс непусто (по нулевой характеристике), Икс сам по себе гладкий. С грамм гладко, каждый геометрический слой п гладкая и поэтому ${\displaystyle p_{0}:\Gamma _{0}:=(G\times V_{1,{\text{sm}}})\times _{X}V_{2,{\text{sm}}}\to V_{1,{\text{sm}}}\times V_{2,{\text{sm}}}}$ это гладкий морфизм. Отсюда следует, что общий слой ${\displaystyle q_{0}:\Gamma _{0}\to G}$ гладко общая гладкость. ${\displaystyle \square }$

Примечания

1. Фултон (1998, Приложение Б. 9.2.)
2. Фултон (1998, Пример 11.4.5.)

Рекомендации

• Эйзенбуд, Дэвид; Харрис, Джо (2016), 3264 и все такое: второй курс алгебраической геометрии, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-1107602724
• Клейман, Стивен Л. (1974), «Трансверсальность общего перевода», Compositio Mathematica, 28: 287–297, МИСТЕР  0360616
• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечения, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Folge., 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-62046-4, МИСТЕР  1644323