Размер схемы - Dimension of a scheme

В алгебраической геометрии размер схемы является обобщением размерность алгебраического многообразия. Теория схем подчеркивает относительная точка зрения и, соответственно, относительный размер из морфизм схем тоже важно.

Определение

По определению размер схемы Икс размерность основного топологического пространства: верхняя грань длин ℓ цепочек неприводимых замкнутых подмножеств:

${\displaystyle \emptyset \neq V_{0}\subsetneq V_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq V_{\ell }\subset X.}$^[1]

В частности, если ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A}$ является аффинной схемой, то такие цепочки соответствуют цепочкам простых идеалов (включение обратное) и поэтому размерность Икс это именно Измерение Крулля из А.

Если Y неприводимое замкнутое подмножество схемы Икс, то коразмерность Y в Икс это верхняя грань длин ℓ цепочек неприводимых замкнутых подмножеств:

${\displaystyle Y=V_{0}\subsetneq V_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq V_{\ell }\subset X.}$^[2]

Неприводимое подмножество Икс является неприводимая составляющая из Икс тогда и только тогда, когда его коразмерность в Икс равно нулю. Если ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A}$ аффинно, то коразмерность Y в Икс это в точности высота первичного идеала, определяющего Y в Икс.

Примеры

• Если конечномерное векторное пространство V над полем рассматривается как схема над полем,^{[примечание 1]} тогда размер схемы V совпадает с размерностью векторного пространства V.
• Позволять ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} k[x,y,z]/(xy,yz)}$, k поле. Тогда он имеет размерность 2 (поскольку содержит гиперплоскость ${\displaystyle H=\{x=0\}\subset \mathbb {A} ^{3}}$ как неприводимый компонент). Если Икс закрытая точка Икс, тогда ${\displaystyle \operatorname {codim} (x,X)}$ равно 2, если Икс лежит в ЧАС и равен 1, если он находится в ${\displaystyle X-H}$. Таким образом, ${\displaystyle \operatorname {codim} (x,X)}$ для закрытых точек Икс может изменяться.
• Позволять ${\displaystyle X}$ - алгебраическое предмногообразие; т.е. интегральная схема конечного типа над полем ${\displaystyle k}$. Тогда размерность ${\displaystyle X}$ это степень трансцендентности функционального поля ${\displaystyle k(X)}$ из ${\displaystyle X}$ над ${\displaystyle k}$.^[3] Кроме того, если ${\displaystyle U}$ непустое открытое подмножество ${\displaystyle X}$, тогда ${\displaystyle \dim U=\dim X}$.^[4]
• Позволять р - дискретное оценочное кольцо и ${\displaystyle X=\mathbb {A} _{R}^{1}=\operatorname {Spec} (R[t])}$ аффинная линия над ним. Позволять ${\displaystyle \pi :X\to \operatorname {Spec} R}$ быть проекцией. ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)=\{s,\eta \}}$ состоит из 2-х точек, ${\displaystyle s}$ соответствующий максимальному идеалу и замкнутый и ${\displaystyle \eta }$ нулевой идеал и открыт. Тогда волокна ${\displaystyle \pi ^{-1}(s),\pi ^{-1}(\eta )}$ закрыты и открыты соответственно. Отметим, что ${\displaystyle \pi ^{-1}(\eta )}$ имеет измерение один,^{[заметка 2]} пока ${\displaystyle X}$ имеет размер ${\displaystyle 2=1+\dim R}$ и ${\displaystyle \pi ^{-1}(\eta )}$ плотно в ${\displaystyle X}$. Таким образом, размерность закрытия открытого подмножества может быть строго больше, чем размерность открытого множества.
• Продолжая тот же пример, пусть ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{R}}$ быть максимальным идеалом р и ${\displaystyle \omega _{R}}$ генератор. Отметим, что ${\displaystyle R[t]}$ имеет максимальные идеалы высоты два и высоты один; а именно, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}=(\omega _{R}t-1)}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{2}=}$ ядро ${\displaystyle R[t]\to R/{\mathfrak {m}}_{R},f\mapsto f(0){\bmod {\mathfrak {m}}}_{R}}$. Первый идеал ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}}$ максимально, поскольку ${\displaystyle R[t]/(\omega _{R}t-1)=R[\omega _{R}^{-1}]=}$ поле дробей р. Также, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}}$ имеет высоту один на Теорема Крулля о главном идеале и ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{2}}$ имеет высоту два, так как ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{R}[t]\subsetneq {\mathfrak {p}}_{2}}$. Как следствие,

${\displaystyle \operatorname {codim} ({\mathfrak {p}}_{1},X)=1,\,\operatorname {codim} ({\mathfrak {p}}_{2},X)=2,}$

пока Икс неприводимо.

Равноразмерная схема

An равноразмерная схема (или же, чистая размерная схема) это схема все чьи неприводимые компоненты одинаковы измерение (неявно предполагая, что все размеры четко определены).

Примеры

Все неприводимые схемы равноразмерны.^[5]

В аффинное пространство, объединение прямой и точки не на прямой нет равноразмерный. В общем, если две замкнутые подсхемы некоторой схемы, ни одна из которых не содержит другую, имеют неравные размерности, то их объединение не равноразмерно.

Если схема гладкий; плавный (например, эталь ) над Speck для какой-то областиk, то каждые связаны компонент (который тогда фактически является неприводимым компонентом) равноразмерен.

Смотрите также

• Теорема Клеймана
• Глоссарий теории схем
• Равноразмерное кольцо

Примечания

1. Спецификация симметрической алгебры двойственного векторного пространства V структура схемы на ${\displaystyle V}$.
2. Фактически, по определению, ${\displaystyle \pi ^{-1}(\eta )}$ это волокнистый продукт ${\displaystyle \pi :X\to \operatorname {Spec} (R)}$ и ${\displaystyle \eta =\operatorname {Spec} (k(\eta ))\to \operatorname {Spec} R}$ и так это Спецификация ${\displaystyle R[t]\otimes _{R}k(\eta )=k(\eta )[t]}$.

1. Hartshorne, Гл. Я сразу после следствия 1.6. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFHartshorne (Помогите)
2. Hartshorne, Гл. II, сразу после примера 3.2.6. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFHartshorne (Помогите)
3. Hartshorne, Гл. II, упражнение 3.20. (б) ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFHartshorne (Помогите)
4. Hartshorne, Гл. II, упражнение 3.20. (е) ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFHartshorne (Помогите)
5. Дандас, Бьорн Ян; Ярен, Бьёрн; Левин, Марк; Østvær, P.A .; Рендигс, Оливер; Воеводский, Владимир (2007), Теория мотивационной гомотопии: лекции в летней школе в Нордфьордейде, Норвегия, август 2002 г., Springer, стр. 101, ISBN  9783540458975.

Рекомендации

• Уильям Фултон. (1998), Теория пересечения, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Folge., 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-62046-4, Г-Н  1644323
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Тексты для выпускников по математике, 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, Г-Н  0463157

внешняя ссылка

• https://stacks.math.columbia.edu/tag/04MS
• https://stacks.math.columbia.edu/tag/02NI