Предел (теория категорий) - Limit (category theory)

В теория категорий, филиал математика, абстрактное понятие предел отражает основные свойства универсальных конструкций, таких как товары, откаты и обратные пределы. В двойное понятие из копредел обобщает конструкции, такие как непересекающиеся союзы, прямые суммы, побочные продукты, выталкивания и прямые ограничения.

Пределы и копределы, как и тесно связанные понятия универсальные свойства и присоединенные функторы, существуют на высоком уровне абстракции. Чтобы понять их, полезно сначала изучить конкретные примеры, для обобщения которых предназначены эти концепции.

Определение

Пределы и копределы в категория C определены с помощью диаграмм в C. Формально диаграмма формы J в C это функтор из J к C:

${displaystyle F:J o C.}$

Категория J считается категория индекса, а диаграмма F рассматривается как индексирование коллекции объектов и морфизмы в C по образцу J.

Чаще всего интересует случай, когда категория J это маленький или даже конечный категория. Диаграмма называется маленький или же конечный в любое время J является.

Пределы

Позволять F : J → C быть диаграммой формы J в категории C. А конус к F это объект N из C вместе с семьей ψ_Икс : N → F(Икс) морфизмов, индексируемых объектами Икс из J, такая, что для каждого морфизма ж : Икс → Y в J, у нас есть F(ж) ∘ ψ_Икс = ψ_Y.

А предел диаграммы F : J → C конус (L, ${displaystyle varphi }$) к F такой, что для каждого второго конуса (N, ψ) к F существует уникальный морфизм ты : N → L такой, что ${displaystyle varphi }$_Икс ∘ ты = ψ_Икс для всех Икс в J.

Говорят, что конус (N, ψ) факторов через конус (L, ${displaystyle varphi }$) с уникальной факторизацией ты. Морфизм ты иногда называют опосредующий морфизм.

Пределы также называются универсальные конусы, поскольку они характеризуются универсальная собственность (Смотрите ниже для получения дополнительной информации). Как и любое универсальное свойство, приведенное выше определение описывает сбалансированное состояние общности: Предельный объект L должен быть достаточно общим, чтобы позволить любому другому конусу проходить сквозь него; с другой стороны, L должен быть достаточно конкретным, чтобы только один такая факторизация возможна для любого конуса.

Пределы также можно охарактеризовать как терминальные объекты в категория шишек к F.

Возможно, у диаграммы вообще нет предела. Однако, если диаграмма имеет предел, то этот предел по сути уникален: он уникален. вплоть до уникальный изоморфизм. По этой причине часто говорят о то предел F.

Колимиты

Смотрите также: Прямой лимит

В двойственные понятия границ и конусов являются копределы и конусы. Хотя легко получить их определения, инвертируя все морфизмы в приведенных выше определениях, мы явно сформулируем их здесь:

А конус диаграммы F : J → C это объект N из C вместе с семейством морфизмов

${displaystyle psi _{X}:F(X) o N}$

для каждого объекта Икс из J, такая, что для каждого морфизма ж : Икс → Y в J, у нас есть ψ_Y ∘ F(ж) = ψ_Икс.

А копредел диаграммы F : J → C является конусом (L, ${displaystyle varphi }$) из F такой, что для любого другого конуса (N, ψ) из F существует уникальный морфизм ты : L → N такой, что ты о ${displaystyle varphi }$_Икс = ψ_Икс для всех Икс в J.

Коллимиты также называют универсальные конусы. Их можно охарактеризовать как исходные объекты в категория со-конусов из F.

Как и в случае с пределами, если диаграмма F имеет копредел, то этот копредел единственен с точностью до единственного изоморфизма.

Вариации

Пределы и копределы также могут быть определены для коллекций объектов и морфизмов без использования диаграмм. Определения те же (обратите внимание, что в определениях выше нам никогда не требовалось использовать композицию морфизмов в J). Однако этот вариант не добавляет новой информации. Любая коллекция объектов и морфизмов определяет (возможно, большой) ориентированный граф грамм. Если мы позволим J быть свободная категория создано грамм, есть универсальная диаграмма F : J → C чье изображение содержит грамм. Предел (или копредел) этой диаграммы такой же, как предел (или копредел) исходного набора объектов и морфизмов.

Слабый предел и слабые копределы определены как пределы и копределы, за исключением того, что свойство уникальности опосредующего морфизма отбрасывается.

Примеры

Пределы

Определение пределов достаточно общее, чтобы выделить несколько конструкций, полезных в практических условиях. Далее мы рассмотрим предел (L, φ) диаграммы F : J → C.

• Терминальные объекты. Если J это пустая категория, есть только одна диаграмма формы J: пустой (аналогичный пустая функция в теории множеств). Конус пустой диаграммы - это, по сути, просто объект C. Предел F - это любой объект, который однозначно учитывается каждым другим объектом. Это просто определение конечный объект.
• Товары. Если J это дискретная категория затем диаграмма F по сути не что иное, как семья объектов C, проиндексировано J. Лимит L из F называется товар этих объектов. Конус φ состоит из семейства морфизмов φ_Икс : L → F(Икс) называется прогнозы продукта. в категория наборов, например, товары представлены Декартовы произведения а прогнозы - это просто естественные прогнозы на различные факторы.
  • Полномочия. Частный случай продукта - когда диаграмма F постоянный функтор объекта Икс из C. Предел этой диаграммы называется J^th мощность из Икс и обозначен Икс^J.
• Эквалайзеры. Если J категория с двумя объектами и двумя параллельными морфизмами от одного объекта к другому, тогда диаграмма формы J пара параллельных морфизмов в C. Лимит L такой диаграммы называется эквалайзер этих морфизмов.
  • Ядра. А ядро является частным случаем эквалайзера, в котором один из морфизмов является нулевой морфизм.
• Откаты. Позволять F быть диаграммой, которая выделяет три объекта Икс, Y, и Z в C, где единственными нетождественными морфизмами являются ж : Икс → Z и грамм : Y → Z. Лимит L из F называется откат или волокнистый продукт. Его можно красиво представить как коммутативный квадрат:

• Обратные пределы. Позволять J быть направленный набор (рассматривается как небольшая категория, добавляя стрелки я → j если и только если я ≤ j) и разреши F : J^op → C быть диаграммой. Предел F называется (сбивает с толку) обратный предел или же проективный предел.
• Если J = 1, категория с одним объектом и морфизмом, затем диаграмма формы J по сути, просто объект Икс из C. Конус к объекту Икс это просто морфизм с codomain Икс. Морфизм ж : Y → Икс предел диаграммы Икс если и только если ж является изоморфизм. В более общем смысле, если J есть ли любая категория с исходный объект я, то любая диаграмма формы J имеет предел, а именно любой объект, изоморфный F(я). Такой изоморфизм однозначно определяет универсальный конус к F.
• Топологические ограничения. Пределы функций - это частный случай пределы фильтров, которые связаны с категориальными пределами следующим образом. Учитывая топологическое пространство Икс, обозначим через F набор фильтров на Икс, Икс ∈ Икс точка, V(Икс) ∈ F то фильтр соседства из Икс, А ∈ F конкретный фильтр и ${displaystyle F_{x,A}={Gin Fmid V(x)cup Asubset G}}$ набор фильтров тоньше, чем А и которые сходятся к Икс. Фильтры F дается небольшая и тонкая структура категорий путем добавления стрелки А → B если и только если А ⊆ B. Инъекция ${displaystyle I_{x,A}:F_{x,A} o F}$ становится функтором и имеет место следующая эквивалентность:

Икс является топологическим пределом А если и только если А категориальный предел ${displaystyle I_{x,A}}$

Колимиты

Примеры копределов даются двойными версиями приведенных выше примеров:

• Исходные объекты копределы пустых диаграмм.
• Сопутствующие товары являются копределами диаграмм, индексированных дискретными категориями.
  • Copowers являются копределами постоянных диаграмм из дискретных категорий.
• Соэквалайзеры являются копределами параллельной пары морфизмов.
  • Коядра являются соуравнителями морфизма и параллельного нулевого морфизма.
• Отжимания являются копределами пары морфизмов с общей областью определения.
• Прямые ограничения являются копределами диаграмм, индексированных направленными множествами.

Характеристики

Наличие ограничений

Данная диаграмма F : J → C может иметь или не иметь предел (или копредел) в C. В самом деле, может даже не быть конуса для Fне говоря уже об универсальном конусе.

Категория C говорят иметь пределы формы J если каждая диаграмма формы J имеет предел в C. В частности, категория C говорят

• есть продукты если у него есть пределы формы J для каждого маленький дискретная категория J (не обязательно иметь большие продукты),
• есть эквалайзеры если у него есть пределы формы ${displaystyle ullet ightrightarrows ullet }$ (т.е. каждая параллельная пара морфизмов имеет эквалайзер),
• есть откаты если у него есть пределы формы ${displaystyle ullet ightarrow ullet leftarrow ullet }$ (т.е. каждая пара морфизмов с общим доменом имеет откат).

А полная категория - категория, имеющая все малые ограничения (т.е.все пределы формы J для каждой малой категории J).

Можно также дать двойственные определения. Категория имеет копределы формы J если каждая диаграмма формы J имеет копредел в C. А неполная категория тот, у которого есть все маленькие копределы.

В теорема существования пределов заявляет, что если категория C имеет эквалайзеры и все товары, индексированные по классам Ob (J) и Hom (J), тогда C имеет все пределы формы J. В этом случае предел диаграммы F : J → C можно построить как уравнитель двух морфизмов

${displaystyle s,t:prod _{iin operatorname {Ob} (J)}F(i)ightrightarrows prod _{fin operatorname {Hom} (J)}F(operatorname {cod} (f))}$

заданный (в компонентной форме)

${displaystyle {egin{aligned}s&={igl (}F(f)circ pi _{operatorname {dom} (f)}{igr )}_{fin operatorname {Hom} (J)} &={igl (}pi _{operatorname {cod} (f)}{igr )}_{fin operatorname {Hom} (J)}.end{aligned}}}$

Есть двойная теорема существования копределов с точки зрения соэквалайзеров и сопутствующих продуктов. Обе эти теоремы дают достаточные и необходимые условия существования всех (со) пределов формы J.

Универсальная собственность

Пределы и копределы - важные частные случаи универсальные конструкции.

Позволять C быть категорией и пусть J быть небольшой индексной категорией. В категория функторов C^J можно рассматривать как категорию всех диаграмм формы J в C. В диагональный функтор

${displaystyle Delta :{mathcal {C}} o {mathcal {C}}^{mathcal {J}}}$

это функтор, который отображает каждый объект N в C к постоянному функтору ∆ (N) : J → C к N. То есть Δ (N)(Икс) = N для каждого объекта Икс в J и Δ (N)(ж) = id_N для каждого морфизма ж в J.

Учитывая диаграмму F: J → C (мыслится как объект в C^J), а естественная трансформация ψ : Δ (N) → F (который является просто морфизмом в категории C^J) то же самое, что и конус из N к F. Чтобы убедиться в этом, сначала заметим, что Δ (N)(Икс) = N для всех X означает, что компоненты ψ морфизмы ψ_Икс : N → F(Икс), которые все разделяют домен N. Более того, требование коммутации диаграмм конуса выполняется просто потому, что это ψ это естественное преобразование. (Двойное естественное преобразование ψ : F → Δ (N) то же самое, что и конус из F к N.)

Следовательно, определения пределов и копределов можно затем переформулировать в виде:

• Предел F является универсальным морфизмом из Δ в F.
• Копредел F универсальный морфизм из F к Δ.

Дополнения

Как и все универсальные конструкции, образование пределов и копределов носит функториальный характер. Другими словами, если каждая диаграмма формы J имеет предел в C (за J маленький) существует предельный функтор

${displaystyle lim :{mathcal {C}}^{mathcal {J}} o {mathcal {C}}}$

который присваивает каждой диаграмме свой предел и каждому естественная трансформация η: F → грамм единственный морфизм lim η: lim F → lim грамм коммутируя с соответствующими универсальными конусами. Этот функтор правый смежный диагональному функтору Δ: C → C^JЭто присоединение дает биекцию между множеством всех морфизмов из N ограничить F и набор всех конусов из N к F

${displaystyle operatorname {Hom} (N,lim F)cong operatorname {Cone} (N,F)}$

что естественно по переменным N и F. Счетчик этого присоединения - это просто универсальный конус из lim F к F. Если индексная категория J является связаны (и непусто), то единица присоединения является изоморфизмом, так что lim является левым обратным к Δ. Это не удается, если J не связано. Например, если J является дискретной категорией, компонентами единицы являются диагональные морфизмы δ: N → N^J.

Вдвойне, если каждая диаграмма формы J имеет копредел в C (за J маленький) существует функтор копредела

${displaystyle operatorname {colim} :{mathcal {C}}^{mathcal {J}} o {mathcal {C}}}$

который присваивает каждой диаграмме свой копредел. Этот функтор левый смежный диагональному функтору Δ: C → C^J, и имеется естественный изоморфизм

${displaystyle operatorname {Hom} (operatorname {colim} F,N)cong operatorname {Cocone} (F,N).}$

Единицей этого присоединения является универсальный кокон из F колим F. Если J связно (и непусто), то коит является изоморфизмом, так что colim является левым обратным к Δ.

Обратите внимание, что функторы предела и копредела равны ковариантный функторы.

Как представления функторов

Смотрите также: Предел и копредел предпучков

Можно использовать Функторы Hom связать пределы и копределы в категории C к пределам в Набор, то категория наборов. Это частично следует из того факта, что ковариантный функтор Hom Hom (N, –) : C → Набор сохраняет все ограничения в C. По двойственности контравариантный функтор Hom должен ограничивать копределы.

Если диаграмма F : J → C имеет предел в C, обозначаемый lim F, Существует канонический изоморфизм

${displaystyle operatorname {Hom} (N,lim F)cong lim operatorname {Hom} (N,F-)}$

что естественно в переменной N. Здесь функтор Hom (N, F-) - композиция функтора Hom Hom (N, -) с F. Этот изоморфизм единственный, который уважает предельные конусы.

Можно использовать указанное выше соотношение для определения предела F в C. Первый шаг - заметить, что предел функтора Hom (N, F-) можно отождествить с набором всех конусов из N к F:

${displaystyle lim operatorname {Hom} (N,F-)=operatorname {Cone} (N,F).}$

Предельный конус задается семейством отображений π_Икс : Конус (N, F) → Hom (N, FX) куда π_Икс(ψ) = ψ_Икс. Если дан предмет L из C вместе с естественный изоморфизм Φ : Hom (-, L) → Конус (-, F), предмет L будет предел F с ограничивающим конусом, заданным формулой Φ_L(я бы_L). Проще говоря, это означает, что предел F это представление функтора Cone (-, F) : C → Набор.

Вдвойне, если диаграмма F : J → C имеет копредел в C, обозначается colim F, существует единственный канонический изоморфизм

${displaystyle operatorname {Hom} (operatorname {colim} F,N)cong lim operatorname {Hom} (F-,N)}$

что естественно в переменной N и уважает ограничивающие конусы. Выявление предела Hom (F–, N) с множеством Cocone (F, N), это отношение можно использовать для определения копредела диаграммы F как представление функтора Cocone (F, –).

Обмен пределов и копределов множеств

Позволять я конечная категория и J быть маленьким отфильтрованная категория. Для любого бифунктор

${displaystyle F:I imes J o mathbf {Set} ,}$

Существует естественный изоморфизм

${displaystyle operatorname {colim} limits _{J}lim _{I}F(i,j)ightarrow lim _{I}operatorname {colim} limits _{J}F(i,j).}$

Словом, отфильтрованные копределы в Набор коммутируют с конечными пределами. Также верно, что малые пределы коммутируют с малыми пределами.^[1]

Функторы и пределы

Если F : J → C диаграмма в C и грамм : C → D это функтор то по композиции (напомним, что диаграмма - это просто функтор) получается диаграмма GF : J → D. Тогда возникает естественный вопрос:

«Каковы пределы GF связанные с теми из F?”

Сохранение лимитов

Функтор грамм : C → D индуцирует отображение из Cone (F) в конус (GF): если Ψ это конус из N к F тогда GΨ это конус из GN к GF. Функтор грамм говорят сохранять пределы F если (GL, Gφ) является пределом GF в любое время (L, φ) является пределом F. (Обратите внимание, что если предел F не существует, то грамм бессмысленно сохраняет пределы F.)

Функтор грамм говорят сохранять все пределы формы J если он сохраняет пределы всех диаграмм F : J → C. Например, можно сказать, что грамм сохраняет продукты, эквалайзеры, откаты и т. д. A непрерывный функтор тот, который сохраняет все маленький пределы.

Аналогичные определения можно сделать и для копределов. Например, функтор грамм сохраняет копределы F если грамм(L, φ) является копределом GF в любое время (L, φ) является копределом F. А коконепрерывный функтор тот, который сохраняет все маленький копределы.

Если C это полная категория, то по указанной теореме существования пределов функтор грамм : C → D является непрерывным тогда и только тогда, когда в нем сохраняются (небольшие) продукты и эквалайзеры. Вдвойне, грамм коконепрерывен тогда и только тогда, когда он сохраняет (маленькие) копроизведения и коуравновешивающие.

Важное свойство присоединенные функторы состоит в том, что каждый сопряженный справа функтор непрерывен, а каждый сопряженный слева функтор коконепрерывен. Поскольку сопряженных функторов существует множество, это дает множество примеров непрерывных и коконепрерывных функторов.

Для данной диаграммы F : J → C и функтор грамм : C → D, если оба F и GF имеют указанные пределы есть уникальный канонический морфизм

${displaystyle au _{F}:Glim F o lim GF}$

который соблюдает соответствующие предельные конусы. Функтор грамм сохраняет пределы F тогда и только тогда это отображение является изоморфизмом. Если категории C и D иметь все пределы формы J то lim - функтор и морфизмы τ_F сформировать компоненты естественная трансформация

${displaystyle au :Glim o lim G^{J}.}$

Функтор грамм сохраняет все пределы формы J тогда и только тогда, когда τ - естественный изоморфизм. В этом смысле функтор грамм можно сказать ездить с ограничениями (вплоть до канонический естественный изоморфизм).

Сохранение пределов и копределов - это концепция, которая применяется только к ковариантный функторы. За контравариантные функторы соответствующие понятия были бы функтором, который доводит копределы до пределов, или тем, который принимает пределы до копределов.

Снятие ограничений

Функтор грамм : C → D говорят пределы подъема для диаграммы F : J → C если всякий раз (L, φ) является пределом GF существует предел (L′, φ') из F такой, что грамм(L′, φ′) = (L, φ). Функтор грамм снимает ограничения формы J если он снимает ограничения для всех диаграмм формы J. Поэтому можно говорить о подъемных продуктах, уравнителях, откатах и ​​т. Д. Наконец, можно сказать, что грамм снимает ограничения если он снимет все ограничения. Существуют двойные определения подъема копределов.

Функтор грамм снимает ограничения однозначно для диаграммы F если существует единственный прообраз конуса (L′, φ′) Такая, что (L′, φ′) Является пределом F и грамм(L′, φ′) = (L, φ). Можно показать, что грамм снимает ограничения однозначно тогда и только тогда, когда он снимает ограничения и амнезиак.

Снятие лимитов явно связано с сохранением лимитов. Если грамм снимает ограничения для диаграммы F и GF имеет предел, то F также имеет предел и грамм сохраняет пределы F. Следует, что:

• Если грамм поднимает границы любой формы J и D имеет все пределы формы J, тогда C также имеет все пределы формы J и грамм сохраняет эти пределы.
• Если грамм снимает все маленькие ограничения и D завершено, тогда C также полный и грамм непрерывно.

Двойственные утверждения для копределов одинаково верны.

Создание и отражение ограничений

Позволять F : J → C быть диаграммой. Функтор грамм : C → D говорят

• создавать ограничения за F если всякий раз (L, φ) является пределом GF существует единственный конус (L′, φ') к F такой, что грамм(L′, φ′) = (L, φ), и, кроме того, этот конус является пределом F.
• отражать пределы за F если каждый конус F чье изображение под грамм это предел GF это уже предел F.

Попутно можно определить создание и отражение копределов.

Следующие утверждения легко считаются эквивалентными:

• Функтор грамм создает ограничения.
• Функтор грамм снимает ограничения однозначно и отражает ограничения.

Есть примеры функторов, которые однозначно снимают ограничения, но не создают и не отражают их.

Примеры

• Каждый представимый функтор C → Набор сохраняет пределы (но не обязательно копределы). В частности, для любого объекта А из C, это верно для ковариантной Hom функтор Hom (А,–) : C → Набор.
• В забывчивый функтор U : Grp → Набор создает (и сохраняет) все маленькие ограничения и отфильтрованные копределы; тем не мение, U не сохраняет побочные продукты. Эта ситуация типична для алгебраических функторов забывания.
• В свободный функтор F : Набор → Grp (который присваивает каждому набору S то свободная группа над S) остается сопряженным с забывчивым функтором U и, следовательно, коконепрерывен. Это объясняет, почему бесплатный продукт двух свободных групп грамм и ЧАС свободная группа, порожденная несвязный союз генераторов грамм и ЧАС.
• Функтор включения Ab → Grp создает ограничения, но не сохраняет копроизведения (копроизведение двух абелевых групп является прямая сумма ).
• Забывчивый функтор Вершина → Набор однозначно снимает ограничения и коллимиты, но не создает ни того, ни другого.
• Позволять Встретились_c быть категорией метрические пространства с непрерывные функции для морфизмов. Забывчивый функтор Встретились_c → Набор снимает конечные пределы, но не снимает их однозначно.

Примечание по терминологии

Старая терминология называла пределы «обратными пределами» или «проективными пределами», а копределы - «прямыми пределами» или «индуктивными пределами». Это было источником большой путаницы.

Есть несколько способов запомнить современную терминологию. Прежде всего,

• коядра,
• побочные продукты
• соэквалайзеры и
• кодомены

являются типами копределов, тогда как

• ядра,
• товары
• эквалайзеры и
• домены

это типы ограничений. Во-вторых, префикс «co» означает «первую переменную ${displaystyle operatorname {Hom} }$". Такие термины, как" когомология "и" кофибрация ", имеют несколько более сильную связь с первой переменной, т. Е. С контравариантной переменной ${displaystyle operatorname {Hom} }$ бифунктор.

Рекомендации

1. "предел". nLab.

• Адамек, Иржи; Хорст Херрлих; Джордж Э. Стрекер (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF). Джон Вили и сыновья. ISBN  0-471-60922-6.
• Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика. Тексты для выпускников по математике. 5 (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN  0-387-98403-8. Zbl  0906.18001.
• Борсё, Фрэнсис (1994). «Пределы». Справочник по категориальной алгебре. Энциклопедия математики и ее приложений 50-51, 53 [т.е. 52]. Том 1. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-44178-1.

внешняя ссылка

• Интерактивная веб-страница который порождает примеры пределов и копределов в категории конечных множеств. Написано Джоселин Пейн.
• Предел в nLab