Topos - Topos

В математика, а топос (Великобритания: /ˈтɒпɒs/, нас: /ˈтoʊпoʊs,ˈтoʊпɒs/; множественное число Topoi /ˈтoʊпɔɪ/ или же /ˈтɒпɔɪ/, или же топы) это категория что ведет себя как категория снопы из наборы на топологическое пространство (или в более общем смысле: на сайт ). Топои ведут себя так же, как категория наборов и владеть понятием локализации; они являются прямым обобщением точечная топология.^[1] В Grothendieck topoi найти приложения в алгебраическая геометрия; более общий элементарные топои используются в логика.

Grothendieck topoi (топои в геометрии)

С момента введения пучков в математику в 1940-х годах основной темой стало изучение пространства путем изучения пучков на пространстве. Эта идея была изложена Александр Гротендик введя понятие «топос». Основная полезность этого понятия заключается в большом количестве ситуаций в математике, где топологическая эвристика очень эффективна, но честного топологического пространства не хватает; иногда можно найти топос, формализующий эвристику. Важным примером этой программной идеи является étale topos из схема. Другой иллюстрацией способности Гротендика воплощать «сущность» различных математических ситуаций является их использование в качестве мостов для соединения теорий, которые, хотя и написаны, возможно, на очень разных языках, имеют общее математическое содержание. ^[2] ^[3].

Эквивалентные определения

Топос Гротендика - это категория C который удовлетворяет любому из следующих трех свойств. (А теорема из Жан Жиро заявляет, что все указанные ниже свойства эквивалентны.)

Существует малая категория D и включение C ↪ Преш (D), допускающая конечноеограничивающий левый смежный.
C - категория пучков на Гротендик сайт.
C удовлетворяет аксиомам Жиро, приведенным ниже.

Здесь Преш (D) обозначает категорию контравариантные функторы из D в разряд наборов; такой контравариантный функтор часто называют предпучка.

Аксиомы Жиро

Аксиомы Жиро для категория C находятся:

C имеет небольшой набор генераторы, и допускает все мелкие копределы. Более того, продукты из волокна распространять по побочным продуктам. То есть с учетом набора я, я-индексированное отображение копродукции на А, и морфизм А ' → А, откат - это я-индексированный копродукт откатов:

{displaystyle left (coprod _ {iin I} B_ {i} ight) imes _ {A} A'cong coprod _ {iin I} (B_ {i} imes _ {A} A ')}

.

Суммы в C не пересекаются. Другими словами, волокнистый продукт Икс и Y по их сумме исходный объект в C.
Все отношения эквивалентности в C находятся эффективный.

Последняя аксиома требует наибольшего пояснения. Если Икс является объектом C, "отношение эквивалентности" р на Икс это карта р → Икс × Икс в Cтакое, что для любого объекта Y в C, индуцированное отображение Hom (Y, р) → Hom (Y, Икс) × Hom (Y, Икс) дает обычное отношение эквивалентности на множестве Hom (Y, Икс). С C имеет копределы, мы можем сформировать коэквалайзер из двух карт р → Икс; назови это Икс/р. Отношение эквивалентности «эффективно», если каноническое отображение

{displaystyle R o X imes _ {X / R} X ,!}

является изоморфизмом.

Примеры

Теорема Жиро уже дает «пучки на узлах» в качестве полного списка примеров. Обратите внимание, однако, что неэквивалентные сайты часто дают эквивалентные топои. Как указано во введении, пучки на обычных топологических пространствах служат мотивом для многих основных определений и результатов теории топосов.

В категория множества множеств - важный частный случай: он играет роль точки в теории топосов. В самом деле, множество можно представить себе как пучок на точке.

Более экзотические примеры, и смысл теории топосов, пришли из алгебраической геометрии. К схеме и даже куча можно связать эталь топос, fppf топос, а Нисневич topos ... Еще один важный пример topos взят из кристаллический участок.

Контрпримеры

Теория Топоса в некотором смысле является обобщением классической точечной топологии. Поэтому следует ожидать увидеть старые и новые экземпляры патологический поведение. Например, есть пример из-за Пьер Делинь нетривиального топоса, не имеющего точек (определение точек топоса см. ниже).

Геометрические морфизмы

Если Икс и Y топои, а геометрический морфизм ты : Икс → Y пара присоединенные функторы (ты^∗,ты_∗) (куда ты^∗ : Y → Икс слева примыкает к ты_∗ : Икс → Y) такие, что ты^∗ сохраняет конечные пределы. Обратите внимание, что ты^∗ автоматически сохраняет копределы в силу наличия правого сопряженного.

К Теорема Фрейда о присоединенном функторе, чтобы дать геометрический морфизм Икс → Y это дать функтор ты^∗: Y → Икс который сохраняет конечные пределы и все малые копределы. Таким образом, геометрические морфизмы топоев можно рассматривать как аналоги отображений локации.

Если Икс и Y топологические пространства и ты является непрерывным отображением между ними, то операции возврата и продвижения на пучки приводят к геометрическому морфизму между соответствующими топоями.

Очки топоев

Точка топоса Икс определяется как геометрический морфизм от топосов множеств к Икс.

Если Икс это обычное пространство и Икс это точка Икс, то функтор, принимающий пучок F к его стеблю F_Икс имеет сопряженный справа (функтор "пучок небоскребов"), поэтому обычная точка Икс также определяет точку в теории топоса. Они могут быть построены как откат-толчок по непрерывной карте. Икс: 1 → Икс.

Точнее, это Глобальный точки. Сами по себе они неадекватны для отображения пространственного аспекта топоса, потому что нетривиальный топос может его не иметь. Обобщенный точки - это геометрические морфизмы из топоса Y (в стадия определения) к Икс. Их достаточно, чтобы отобразить космический аспект. Например, если Икс это классификация топосов S[Т] для геометрической теории Т, то универсальное свойство говорит, что его точки являются моделями Т (на любом этапе определения Y).

Основные геометрические морфизмы

Геометрический морфизм (ты^∗,ты_∗) является существенный если ты^∗ имеет еще левый сопряженный ты_!, или, что то же самое (по теореме о присоединенном функторе), если ты^∗ сохраняет не только конечные, но и все малые пределы.

Кольчатые топои

А окольцованный топос пара (X, R), куда Икс это топос и р коммутативный кольцо объект в Икс. Большинство построек окольцованные пространства пройти за окольцованными топоями. Категория р-модуль объекты в Икс является абелева категория с достаточным количеством инъекций. Более полезная абелева категория - подкатегория квазикогерентный р-модули: это р-модули, допускающие презентацию.

Другой важный класс окольцованных топосов, помимо окольцованных пространств, - это этальные топои Стеки Делиня-Мамфорда.

Гомотопическая теория топоев

Майкл Артин и Барри Мазур связанный с сайтом, лежащим в основе топоса про-симплициальный набор (вплоть до гомотопия ).^[4] (Лучше рассмотреть это в Хо (про-СС); см. Эдвардс) Используя это обратная система симплициальных множеств можно иногда ассоциировать с гомотопический инвариант в классической топологии - обратная система инвариантов в теории топосов. Изучение про-симплициального множества, связанного с этальными топосами схемы, называется этальная теория гомотопии.^[5] В хороших случаях (если схема Нётерян и геометрически разветвленный ) это про-симплициальное множество конечный.

Элементарные топои (топои в логике)

Вступление

Традиционная аксиоматическая основа математики теория множеств, в котором все математические объекты в конечном итоге представлены множествами (включая функции, которые отображают между наборами). Более поздние работы в области теории категорий позволяют обобщить эту основу с помощью топоев; каждый топос полностью определяет свою математическую основу. Категория множеств образует знакомый топос, и работа в этом топосе эквивалентна использованию традиционной теоретико-множественной математики. Но вместо этого можно было выбрать работу со многими альтернативными топоями. Стандартная формулировка аксиома выбора имеет смысл в любых топосах, и есть топосы, в которых он недействителен. Конструктивисты будет интересно работать в топосе без закон исключенного среднего. Если симметрия относительно определенного группа грамм важно, можно использовать топос, состоящий из всех грамм-наборы.

Также возможно закодировать алгебраическая теория, такие как теория групп, как топос, в виде классификация топосов. Тогда отдельные модели теории, т.е. группы в нашем примере, соответствуют функторы от кодирования topos к категории наборов, которые соответствуют структуре topos.

Формальное определение

При использовании для фундаментальной работы топос будет определен аксиоматически; Тогда теория множеств рассматривается как частный случай теории топосов. Основываясь на теории категорий, существует несколько эквивалентных определений топоса. Следующее имеет преимущество быть кратким:

Топос - это категория, которая имеет следующие два свойства:

Все пределы взятые по конечным индексным категориям существуют.
У каждого объекта есть объект силы. Это играет роль powerset в теории множеств.

Формально энергетический объект объекта ${displaystyle X}$ пара ${displaystyle (PX, i _ {X})}$ с ${displaystyle {i _ {X}} subteq PX imes X}$ , который классифицирует отношения в следующем смысле. Сначала обратите внимание, что для каждого объекта ${displaystyle I}$ , морфизм ${displaystyle rcolon I o PX}$ («семейство подмножеств») индуцирует подобъект ${displaystyle {(i, x) ~ | ~ xin r (i)} подэтап I imes X}$ . Формально это определяется отступлением ${displaystyle i _ {X}}$ вдоль ${displaystyle rimes X: I imes X o PX imes X}$ . Универсальным свойством объекта власти является то, что каждое отношение возникает таким образом, обеспечивая биективное соответствие между отношениями. ${displaystyle Rsubseteq I imes X}$ и морфизмы ${displaystyle rcolon I o PX}$ .

Из конечных пределов и объектов мощности можно вывести, что

Все копределы взятые по конечным индексным категориям существуют.
В категории есть классификатор подобъектов.
Категория Декартово закрыто.

В некоторых приложениях роль классификатора подобъектов является ключевой, тогда как энергетические объекты - нет. Таким образом, некоторые определения меняют роли того, что определено, и того, что получено.

Логические функторы

А логический функтор является функтором между топосами, который сохраняет конечные пределы и объекты мощности. Логические функторы сохраняют структуры, которые имеют топозы. В частности, они сохраняют конечные копределы, классификаторы подобъектов, и экспоненциальные объекты.^[6]

Объяснение

Топос, как определено выше, может пониматься как декартова закрытая категория, для которой понятие подобъекта объекта имеет элементарный или определение первого порядка. Это понятие, как естественная категориальная абстракция понятий подмножество набора, подгруппа группы, и в более общем плане подалгебра любой алгебраическая структура, предшествует понятию topos. Его можно определить в любой категории, а не только в топоях, в второго порядка языка, т.е. в терминах классов морфизмов вместо индивидуальных морфизмов, следующим образом. Учитывая два моника м, п из соответственно Y и Z к Иксмы говорим, что м ≤ п когда существует морфизм п: Y → Z для которого нп = м, вызывая Предварительный заказ на моники Икс. Когда м ≤ п и п ≤ м мы говорим, что м и п эквивалентны. Подобъекты Икс являются результирующими классами эквивалентности моник ему.

В топосе «подобъект» становится, по крайней мере неявно, понятием первого порядка следующим образом.

Как было сказано выше, топос - это категория C имеющий все конечные пределы и, следовательно, в частности, пустой предел или конечный объект 1. Тогда естественно рассматривать морфизмы вида Икс: 1 → Икс в качестве элементы Икс ∈ Икс. Морфизмы ж: Икс → Y таким образом соответствуют функциям, отображающим каждый элемент Икс ∈ Икс к элементу FX ∈ Y, с аппликацией, реализованной по композиции.

Тогда можно подумать об определении подобъекта Икс как класс эквивалентности моников м: ИКС' → Икс имея такой же изображение { mx | Икс ∈ ИКС' }. Загвоздка в том, что два или более морфизма могут соответствовать одной и той же функции, то есть мы не можем предположить, что C конкретен в том смысле, что функтор C(1,-): C → Набор верен. Например категория Grph из графики и связанные с ними гомоморфизмы является топосом, конечным объектом 1 которого является граф с одной вершиной и одним ребром (петля), но он не является конкретным, поскольку элементы 1 → грамм графа грамм соответствуют только петлям, а не остальным ребрам и вершинам без петель. В то время как определение второго порядка делает грамм и подграф всех петель грамм (с их вершинами) различные подобъекты грамм (если каждое ребро и каждая вершина не является петлей), то это основанное на изображении не имеет. Эту проблему можно решить для примера графика и связанных примеров с помощью Йонеда Лемма как описано в Дальнейшие примеры раздел ниже, но тогда он перестает быть приоритетным. Topoi предлагают более абстрактное, общее решение первого порядка.

Рисунок 1. м как откат родового подобъекта т вдоль ж.

Как отмечалось выше, топос C имеет классификатор подобъектов Ω, а именно объект C с элементом т ∈ Ω, то общий подобъект из C, обладающий тем свойством, что каждый моник м: ИКС' → Икс возникает как откат родового подобъекта по уникальному морфизму ж: Икс → Ω, как показано на рисунке 1. Теперь возврат моники является моникой, и все элементы, включая т являются мониками, поскольку существует только один морфизм к 1 от любого заданного объекта, откуда откат т вдоль ж: Икс → Ω - моника. Моники в Икс поэтому находятся в противоречии с откатами т вдоль морфизмов из Икс к Ω. Последние морфизмы разбивают моники на классы эквивалентности, каждый из которых определяется морфизмом ж: Икс → Ω, характеристический морфизм этого класса, который мы считаем подобъектом Икс охарактеризован или назван ж.

Все это относится к любым топосам, будь то бетон или нет. В конкретном случае, а именно C(1, -) верный, например, категория множеств, ситуация сводится к знакомому поведению функций. Здесь моники м: ИКС' → Икс - это в точности инъекции (функции один-один) из ИКС' к Икс, и с заданным изображением { mx | Икс ∈ ИКС' } составляют подобъект Икс соответствующий морфизму ж: Икс → Ω, для которого ж⁻¹(т) это изображение. Моники подобъекта, как правило, имеют много доменов, однако все они взаимно однозначны.

Подводя итог, это понятие первого порядка классификатора подобъектов неявно определяет для топоса то же отношение эквивалентности на мониках и Икс как ранее было явно определено понятием подобъекта второго порядка для любой категории. Понятие отношения эквивалентности в классе морфизмов само по себе является вторым порядком, который определение топоса аккуратно обходит стороной, явно определяя только понятие подобъекта. классификатор Ω, оставив понятие подобъекта Икс как неявное следствие, характеризуемое (и, следовательно, именуемое) связанным с ним морфизмом ж: Икс → Ω.

Дальнейшие примеры

Каждый топос Гротендика является элементарным топосом, но обратное неверно (поскольку каждый топос Гротендика является кополным, что не требуется от элементарного топоса).

Категории конечных множеств, конечных грамм-наборы (действия группы грамм на конечном множестве), а конечных графов - это элементарные топои, не являющиеся топоями Гротендика.

Если C малая категория, то категория функторов Набор^C (состоящий из всех ковариантных функторов из C в наборы, с естественные преобразования как морфизмы) является топосом. Например, категория Grph графов, допускающих наличие нескольких ориентированных ребер между двумя вершинами, является топосом. Граф состоит из двух наборов: набора ребер и набора вершин, а также двух функций. с, т между этими наборами, присваивая каждому ребру е его источник s(е) и цель т(е). Grph таким образом эквивалент в категорию функторов Набор^C, куда C это категория с двумя объектами E и V и два морфизма с, т: E → V давая соответственно источник и цель каждого ребра.

Лемма Йонеды утверждает, что C^op встраивается в Набор^C как полная подкатегория. В примере с графом вложение представляет C^op как подкатегория Набор^C чьи два объекта V ' как одновершинный безреберный граф и E ' как двухвершинный однореберный граф (оба как функторы), и два неединичных морфизма которого являются двумя гомоморфизмами графов из V ' к E ' (оба как естественные преобразования). Естественные превращения из V ' к произвольному графу (функтору) грамм составляют вершины грамм в то время как те из E ' к грамм составляют его края. Несмотря на то что Набор^C, который мы можем идентифицировать с Grph, не бетонируется ни V ' или же E ' один, функтор U: Grph → Набор² отправка объекта грамм к паре множеств (Grph(V ' ,грамм), Grph(E ' ,грамм)) и морфизм час: грамм → ЧАС к паре функций (Grph(V ' ,час), Grph(E ' ,час)) верен. То есть морфизм графов можно понимать как пара функций, одна отображает вершины, а другая - ребра, причем приложение все еще реализовано как композиция, но теперь с несколькими видами обобщенный элементы. Это показывает, что традиционная концепция конкретной категории как категории, объекты которой имеют базовый набор, может быть обобщена для обслуживания более широкого диапазона топоев, позволяя объекту иметь несколько базовых наборов, то есть быть мультисортированными.

Смотрите также

Примечания

^ Иллюзия 2004
^ Карамелло, Оливия (2016). Гротендик позиционирует себя как объединяющие "мосты" в математике (PDF) (HDR). Парижский университет Дидро (Париж 7).
^ Карамелло, Оливия (2017). Теории, сайты, топосы: связь и изучение математических теорий через теоретико-топологические "мосты". Издательство Оксфордского университета. Дои:10.1093 / oso / 9780198758914.001.0001. ISBN 9780198758914.
^ Артин, Майкл; Мазур, Барри (1969). Etale гомотопия. Конспект лекций по математике. 100. Springer-Verlag. Дои:10.1007 / BFb0080957. ISBN 978-3-540-36142-8.
^ Фридлендер, Эрик М. (1982), Этальная гомотопия симплициальных схем, Анналы математических исследований, 104, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08317-9
^ Макларти 1992, п.159