Математическая морфология - Mathematical morphology

Форма (синий) и ее морфологическое расширение (зеленый) и эрозия (желтый) ромбовидным структурирующим элементом.

Математическая морфология (ММ) - теория и методика анализа и обработки геометрический конструкции, основанные на теория множеств, теория решетки, топология, и случайные функции. ММ чаще всего применяется к цифровые изображения, но его можно использовать и на графики, поверхностные сетки, твердые вещества, и многие другие пространственные конструкции.

Топологический и геометрический непрерывный -пространственные понятия, такие как размер, форма, выпуклость, возможность подключения, и геодезическое расстояние, были введены ММ как на непрерывной, так и на непрерывной дискретные пространства. ММ также является основой морфологического обработка изображений, который состоит из набора операторов, преобразующих изображения в соответствии с приведенными выше характеристиками.

Основные морфологические операторы: эрозия, расширение, открытие и закрытие.

ММ изначально разрабатывался для двоичные изображения, а позже был расширен до оттенки серого функции и изображения. Последующее обобщение на полные решетки сегодня широко используется в качестве теоретической основы ММ.

История

Еще с 1960-х годов всевозможные схемы нелинейной обработки изображений обсуждаются и используются в определенных сообществах. Примером, изначально популярным в науках о Земле и окружающей среде, является математическая морфология, основанная на «расширении» данных, состоящих из нулей и единиц, с «структурирующим элементом» σ в соответствии со знаком [ListConvolve [σ, data, 1, 0]] (как а так же двойная операция "эрозия").^[1] Математическая морфология была разработана в 1964 году совместной работой Жорж Матерон и Жан Серра, на École des Mines de Paris, Франция. Матерон руководил кандидат наук Тезис Серры, посвященный количественной оценке минеральных характеристик из тонких поперечные сечения, и эта работа привела к новому практическому подходу, а также к теоретическим достижениям в интегральная геометрия и топология.

В 1968 г. Centre de Morphologie Mathématique была основана École des Mines de Paris в Фонтенбло Франция, во главе с Матероном и Серрой.

В течение оставшейся части 1960-х и большей части 1970-х годов ММ в основном занималась двоичные изображения, рассматриваемый как наборы, и сгенерировал большое количество бинарные операторы и техники: Преобразование попадания или промаха, расширение, эрозия, открытие, закрытие, гранулометрия, прореживание, скелетонизация, окончательная эрозия, условная биссектриса, и другие. Был также разработан случайный подход, основанный на новых моделях изображений. Большая часть произведений того периода была разработана в Фонтенбло.

С середины 1970-х до середины 1980-х годов ММ была обобщена на оттенки серого функции и изображений также. Помимо расширения основных понятий (таких как расширение, эрозия и т. Д.) На функции, это обобщение привело к появлению новых операторов, таких как морфологические градиенты, преобразование в цилиндр и Водораздел (Основная сегментация подход).

В 1980-х и 1990-х годах ММ получила более широкое признание, поскольку исследовательские центры в нескольких странах начали применять и исследовать этот метод. ММ начали применять для решения большого количества задач и приложений для обработки изображений.

В 1986 году Серра еще больше обобщил ММ, на этот раз до теоретической основы, основанной на полные решетки. Это обобщение внесло гибкость в теорию, сделав возможным ее применение к гораздо большему количеству структур, включая цветные изображения, видео и т. Д. графики, сетки и т. д. В то же время Матерон и Серра также сформулировали теорию морфологического фильтрация, основанный на новом решетчатом каркасе.

В 1990-е и 2000-е годы также произошел дальнейший теоретический прогресс, в том числе концепции связи и выравнивания.

В 1993 г. состоялся первый Международный симпозиум по математической морфологии (ISMM) в г. Барселона, Испания. С тех пор ISMM организуются каждые 2–3 года: Фонтенбло, Франция (1994); Атланта, Соединенные Штаты Америки (1996); Амстердам, Нидерланды (1998); Пало-Альто, CA, Соединенные Штаты Америки (2000); Сидней, Австралия (2002); Париж, Франция (2005); Рио де Жанейро, Бразилия (2007); Гронинген, Нидерланды (2009); Интра (Вербания ), Италия (2011); Упсала, Швеция (2013); Рейкьявик, Исландия (2015 г.); и Фонтенбло, Франция (2017).

Рекомендации

• «Вступление» Пьера Сойля в (Серра и другие. (Ред.) 1994 ), стр. 1-4.
• «Приложение A:« Центр морфологии математики », обзор» Жана Серра, в (Серра и другие. (Ред.) 1994 ), стр. 369-374.
• «Предисловие» в (Ронсе и другие. (Ред.) 2005 г. )

Бинарная морфология

В бинарной морфологии изображение рассматривается как подмножество из Евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ или целочисленная сетка ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$, для некоторого измерения d.

Структурирующий элемент

Основная идея бинарной морфологии состоит в том, чтобы исследовать изображение с помощью простой, заранее заданной формы, делая выводы о том, как эта форма соответствует или не соответствует формам на изображении. Этот простой «зонд» называется структурирующий элемент, и сам по себе является двоичным изображением (то есть подмножеством пространства или сетки).

Вот несколько примеров широко используемых элементов структурирования (обозначенных B):

• Позволять ${\displaystyle E=\mathbb {R} ^{2}}$; B открытый диск радиуса рс центром в начале координат.
• Позволять ${\displaystyle E=\mathbb {Z} ^{2}}$; B представляет собой квадрат 3 × 3, то есть B = {(−1, −1), (−1, 0), (−1, 1), (0, −1), (0, 0), (0, 1), (1, −1), (1, 0), (1, 1)}.
• Позволять ${\displaystyle E=\mathbb {Z} ^{2}}$; B это "крест", данный B = {(−1, 0), (0, −1), (0, 0), (0, 1), (1, 0)}.

Основные операторы

Основные операции инвариантны относительно сдвига (инвариант перевода ) операторы, сильно связанные с Дополнение Минковского.

Позволять E быть евклидовым пространством или целочисленной сеткой, и А двоичное изображение в E.

Эрозия

Эрозия темно-синего квадрата диском, в результате чего получился голубой квадрат.

В эрозия двоичного изображения А структурирующим элементом B определяется

${\displaystyle A\ominus B=\{z\in E|B_{z}\subseteq A\},}$

куда B_z это перевод B по вектору z, т.е. ${\displaystyle B_{z}=\{b+z\mid b\in B\}}$, ${\displaystyle \forall z\in E}$.

Когда структурирующий элемент B имеет центр (например, B диск или квадрат), и этот центр расположен в начале координат E, затем размывание А к B можно понимать как локус точек, достигнутых центром B когда B движется внутрь А. Например, эрозия квадрата со стороной 10 с центром в начале координат диском с радиусом 2, также центрированным в начале координат, представляет собой квадрат со стороной 6 с центром в начале координат.

Эрозия А к B также дается выражением ${\displaystyle A\ominus B=\bigcap _{b\in B}A_{-b}}$.

Пример заявки: Предположим, мы получили факс с темной фотокопией. Все выглядит так, будто написано пером, которое кровоточит. Процесс эрозии позволит более толстым линиям стать тонкими и обнаружить дыру внутри буквы «о».

Расширение

Расширение синего квадрата диском, в результате получается голубой квадрат с закругленными углами.

В расширение из А структурирующим элементом B определяется

${\displaystyle A\oplus B=\bigcup _{b\in B}A_{b}.}$

Расширение коммутативно, также задается ${\displaystyle A\oplus B=B\oplus A=\bigcup _{a\in A}B_{a}}$.

Если B имеет центр в начале координат, как и раньше, то расширение А к B можно понимать как геометрическое место точек, покрытых B когда центр B движется внутрь А. В приведенном выше примере расширение квадрата стороны 10 диском радиуса 2 представляет собой квадрат стороны 14 с закругленными углами с центром в начале координат. Радиус скругленных углов - 2.

Расширение также можно получить с помощью ${\displaystyle A\oplus B=\{z\in E\mid (B^{s})_{z}\cap A\neq \varnothing \}}$, куда B^s обозначает симметричный из B, то есть, ${\displaystyle B^{s}=\{x\in E\mid -x\in B\}}$.

Пример применения: дилатация - это двойная операция эрозии. Фигуры, которые нарисованы очень слабо, становятся толстыми при «расширении». Самый простой способ описать это - представить, что тот же факс / текст написан более толстым пером.

Открытие

Размыкание темно-синего квадрата диском, в результате получается голубой квадрат с закругленными углами.

В открытие из А к B получается эрозией А к B, с последующим растяжением полученного изображения на B:

${\displaystyle A\circ B=(A\ominus B)\oplus B.}$

Открытие также дано ${\displaystyle A\circ B=\bigcup _{B_{x}\subseteq A}B_{x}}$, что означает, что это место переводов структурирующего элемента B внутри изображения А. В случае квадрата стороны 10 и диска с радиусом 2 в качестве структурирующего элемента проем представляет собой квадрат со стороной 10 со скругленными углами, где радиус угла равен 2.

Пример применения: предположим, что кто-то написал записку на не промокшей бумаге, и надпись выглядит так, как будто на ее поверхности растут крошечные волосатые корни. Открытие по существу устраняет внешние крошечные "волосяные утечки" и восстанавливает текст. Побочный эффект в том, что он завершает все. Острые края начинают исчезать.

Закрытие

Замыкание темно-синей фигуры (объединение двух квадратов) диском, в результате чего объединяются темно-синяя фигура и голубые области.

В закрытие из А к B получается расширением А к Bс последующим размывом получившейся структуры на B:

${\displaystyle A\bullet B=(A\oplus B)\ominus B.}$

Закрытие также может быть получено ${\displaystyle A\bullet B=(A^{c}\circ B^{s})^{c}}$, куда Икс^c обозначает дополнять из Икс относительно E (то есть, ${\displaystyle X^{c}=\{x\in E\mid x\notin X\}}$). Вышесказанное означает, что закрытие является дополнением локуса переводов симметричного структурирующего элемента за пределы изображения. А.

Свойства основных операторов

Вот некоторые свойства основных бинарных морфологических операторов (расширение, эрозия, открытие и закрытие):

• Они есть инвариант перевода.
• Они есть увеличение, то есть если ${\displaystyle A\subseteq C}$, тогда ${\displaystyle A\oplus B\subseteq C\oplus B}$, и ${\displaystyle A\ominus B\subseteq C\ominus B}$, так далее.
• Расширение коммутативный: ${\displaystyle A\oplus B=B\oplus A}$ .
• Если происхождение E принадлежит к элементу структурирования B, тогда ${\displaystyle A\ominus B\subseteq A\circ B\subseteq A\subseteq A\bullet B\subseteq A\oplus B}$.
• Расширение ассоциативный, т.е. ${\displaystyle (A\oplus B)\oplus C=A\oplus (B\oplus C)}$. Кроме того, эрозия удовлетворяет ${\displaystyle (A\ominus B)\ominus C=A\ominus (B\oplus C)}$.
• Эрозия и расширение удовлетворяют двойственность ${\displaystyle A\oplus B=(A^{c}\ominus B^{s})^{c}}$.
• Открытие и закрытие удовлетворяют двойственность ${\displaystyle A\bullet B=(A^{c}\circ B^{s})^{c}}$.
• Расширение распределительный над установить союз
• Эрозия распределительный над установить пересечение
• Расширение - это псевдообратный эрозии, и наоборот, в следующем смысле: ${\displaystyle A\subseteq (C\ominus B)}$ если и только если ${\displaystyle (A\oplus B)\subseteq C}$.
• Открытие и закрытие идемпотент.
• Открытие антиэкстенсивный, т.е. ${\displaystyle A\circ B\subseteq A}$, а закрытие обширный, т.е. ${\displaystyle A\subseteq A\bullet B}$.

Другие операторы и инструменты

• Преобразование попадания или промаха
• Преобразование обрезки
• Морфологический скелет
• Фильтрация по реконструкции
• Окончательные эрозии и условные биссектрисы
• Гранулометрия
• Функции геодезического расстояния

Морфология оттенков серого

Водораздел градиента сердечного изображения

В оттенки серого морфология, изображения функции отображение Евклидово пространство или сетка E в ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}}$, куда ${\displaystyle \mathbb {R} }$ это набор реалы, ${\displaystyle \infty }$ является элементом больше любого действительного числа, и ${\displaystyle -\infty }$ это элемент меньше любого действительного числа.

Структурирующие элементы шкалы серого также являются функциями того же формата, называемыми «функциями структурирования».

Обозначение изображения ж(Икс) и структурирующей функцией б(Икс), расширение оттенков серого ж к б дан кем-то

${\displaystyle (f\oplus b)(x)=\sup _{y\in E}[f(y)+b(x-y)],}$

где "sup" обозначает супремум.

Точно так же эрозия ж к б дан кем-то

${\displaystyle (f\ominus b)(x)=\inf _{y\in E}[f(y)-b(y-x)],}$

где "inf" обозначает инфимум.

Как и в бинарной морфологии, открытие и закрытие задаются соответственно

${\displaystyle f\circ b=(f\ominus b)\oplus b,}$

${\displaystyle f\bullet b=(f\oplus b)\ominus b.}$

Функции плоского структурирования

Плоские структурирующие элементы часто используются в морфологических приложениях. Функции плоского структурирования - это функции б(Икс) в виде

${\displaystyle b(x)={\begin{cases}0,&x\in B,\\-\infty &{\text{otherwise}},\end{cases}}}$

куда ${\displaystyle B\subseteq E}$.

В этом случае расширение и эрозия значительно упрощены и соответственно задаются

${\displaystyle (f\oplus b)(x)=\sup _{z\in B^{s}}f(x+z),}$

${\displaystyle (f\ominus b)(x)=\inf _{z\in B}f(x+z).}$

В ограниченном дискретном случае (E это сетка и B ограничен), супремум и инфимум операторы можно заменить на максимум и минимум. Таким образом, расширение и эрозия являются частными случаями статистика заказов фильтры, с расширением, возвращающим максимальное значение в пределах движущегося окна (симметричный элемент поддержки функции структурирования B), а эрозия возвращает минимальное значение в движущемся окне B.

В случае плоского структурирующего элемента морфологические операторы зависят только от относительного упорядочения пиксель значения, независимо от их числовых значений, и поэтому особенно подходят для обработки двоичные изображения и изображения в оттенках серого чей световая передаточная функция не известно.

Другие операторы и инструменты

• Морфологические градиенты
• Преобразование в цилиндре
• Алгоритм водораздела

Комбинируя эти операторы, можно получить алгоритмы для многих задач обработки изображений, таких как обнаружение функции, сегментация изображения, резкость изображения, фильтрация изображений, и классификация. Вдоль этой строки следует также обратить внимание на Непрерывная морфология ^[2]

Математическая морфология на полных решетках

Полные решетки находятся частично упорядоченные наборы, где каждое подмножество имеет инфимум и супремум. В частности, он содержит наименьший элемент и величайший элемент (также обозначается «вселенная»).

Приросты (расширение и эрозия)

Позволять ${\displaystyle (L,\leq )}$ - полная решетка, нижняя и верхняя грань которой символизируются ${\displaystyle \wedge }$ и ${\displaystyle \vee }$, соответственно. Его вселенная и наименьший элемент символизируются U и ${\displaystyle \emptyset }$, соответственно. Кроме того, пусть ${\displaystyle \{X_{i}\}}$ быть набором элементов из L.

Расширение - это любой оператор ${\displaystyle \delta \colon L\rightarrow L}$ который распределяется по супремуму и сохраняет наименьший элемент. То есть:

• ${\displaystyle \bigvee _{i}\delta (X_{i})=\delta \left(\bigvee _{i}X_{i}\right)}$,
• ${\displaystyle \delta (\emptyset )=\emptyset }$.

Эрозия - это любой оператор ${\displaystyle \varepsilon \colon L\rightarrow L}$ который распределяет по инфимуму и сохраняет вселенную. То есть:

• ${\displaystyle \bigwedge _{i}\varepsilon (X_{i})=\varepsilon \left(\bigwedge _{i}X_{i}\right)}$,
• ${\displaystyle \varepsilon (U)=U}$.

Форма дилатаций и эрозий Связи Галуа. То есть для каждого расширения ${\displaystyle \delta }$ есть одна и только одна эрозия ${\displaystyle \varepsilon }$ это удовлетворяет

${\displaystyle X\leq \varepsilon (Y)\Leftrightarrow \delta (X)\leq Y}$

для всех ${\displaystyle X,Y\in L}$.

Точно так же для каждой эрозии есть одно и только одно расширение, удовлетворяющее вышеуказанной связи.

Кроме того, если два оператора удовлетворяют соединению, то ${\displaystyle \delta }$ должно быть расширение, и ${\displaystyle \varepsilon }$ эрозия.

Пары эрозий и дилатаций, удовлетворяющие вышеуказанной связи, называются «присоединениями», а эрозия называется сопутствующей эрозией расширения и наоборот.

Открытие и закрытие

Для каждого примыкания ${\displaystyle (\varepsilon ,\delta )}$, морфологическое отверстие ${\displaystyle \gamma \colon L\to L}$ и морфологическое закрытие ${\displaystyle \phi \colon L\to L}$ определяются следующим образом:

${\displaystyle \gamma =\delta \varepsilon ,}$

${\displaystyle \phi =\varepsilon \delta .}$

Морфологическое открытие и закрытие - частные случаи алгебраическое открытие (или просто открытие) и алгебраическое замыкание (или просто закрытие). Алгебраические открытия - это операторы в L которые являются идемпотентными, увеличивающимися и антиэкстенсивными. Алгебраические замыкания - это операторы в L которые являются идемпотентными, растущими и обширными.

Частные случаи

Бинарная морфология - это частный случай морфологии решетки, где L это набор мощности из E (Евклидово пространство или сетка), то есть L - это множество всех подмножеств E, и ${\displaystyle \leq }$ это установить включение. В этом случае нижняя грань равна установить пересечение, а супремум установить союз.

Точно так же морфология оттенков серого - это еще один частный случай, когда L набор функций отображения E в ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}}$, и ${\displaystyle \leq }$, ${\displaystyle \vee }$, и ${\displaystyle \wedge }$, - точечный порядок, супремум и инфимум соответственно. То есть ж и грамм функции в L, тогда ${\displaystyle f\leq g}$ если и только если ${\displaystyle f(x)\leq g(x),\forall x\in E}$; инфимум ${\displaystyle f\wedge g}$ дан кем-то ${\displaystyle (f\wedge g)(x)=f(x)\wedge g(x)}$; и супремум ${\displaystyle f\vee g}$ дан кем-то ${\displaystyle (f\vee g)(x)=f(x)\vee g(x)}$.

Смотрите также

• Преобразование H-максимума

Примечания

1. Вольфрам, Стивен (2002). Новый вид науки. Wolfram Media, Inc. стр.1077. ISBN  1-57955-008-8.
2. Г. Сапиро, Р. Киммел, Д. Шакед, Б. Кимиа и А. М. Брукштейн. Реализация морфологии непрерывного масштаба через эволюцию кривой. Распознавание образов, 26 (9): 1363–1372, 1993.

Рекомендации

• Анализ изображений и математическая морфология Жан Серра, ISBN  0-12-637240-3 (1982)
• Анализ изображений и математическая морфология, Том 2: Теоретические достижения Жан Серра, ISBN  0-12-637241-1 (1988)
• Введение в морфологическую обработку изображений Эдвард Р. Догерти, ISBN  0-8194-0845-X (1992)
• Морфологический анализ изображений; Принципы и применение Пьер Сойль, ISBN  3-540-65671-5 (1999), 2-е издание (2003)
• Математическая морфология и ее применение к обработке сигналов, J. Serra и Ph. Salembier (Eds.), Материалы 1-го Международного семинара по математической морфологии и ее приложениям к обработке сигналов (ISMM'93), ISBN  84-7653-271-7 (1993)
• Математическая морфология и ее приложения к обработке изображений, J. Serra и P. Soille (Eds.), Труды 2-го международного симпозиума по математической морфологии (ISMM'94), ISBN  0-7923-3093-5 (1994)
• Математическая морфология и ее приложения к обработке изображений и сигналов, Хенк Дж.А.М. Хейманс и Джос Б.Т.М. Рёрдинка (ред.), Труды 4-го международного симпозиума по математической морфологии (ISMM'98), ISBN  0-7923-5133-9 (1998)
• Математическая морфология: 40 лет спустя, Кристиан Ронс, Лоран Наджман и Этьен Десенсьер (ред.), ISBN  1-4020-3442-3 (2005)
• Математическая морфология и ее приложения к обработке сигналов и изображений, Джеральд Дж. Ф. Банон, Джуниор Баррера, Улисс М. Брага-Нето (ред.), Материалы 8-го международного симпозиума по математической морфологии (ISMM'07), ISBN  978-85-17-00032-4 (2007)
• Математическая морфология: от теории к приложениям, Лоран Наджман и Хьюг Талбот (редакторы). ISTE-Wiley. ISBN  978-1-84821-215-2. (520 стр.) Июнь 2010 г.

внешняя ссылка

• Онлайн-курс по математической морфологии, Жан Серра (на английском, французском и испанском языках)
• Центр математической морфологии, Парижская горная школа
• История математической морфологии, Жорж Матерон и Жан Серра
• Morphology Digest, информационный бюллетень по математической морфологии, Пьер Сойль
• Лекции по обработке изображений: сборник из 18 лекций в формате pdf из Университета Вандербильта. Лекции 16-18 посвящены математической морфологии., Алан Питерс
• Математическая морфология; из лекций по компьютерному зрению, к Робин Оуэнс
• Бесплатная оптимизированная библиотека обработки изображений SIMD
• Демонстрация Java-апплета
• ФИЛЬТРЫ: бесплатная библиотека обработки изображений с открытым исходным кодом
• Быстрые морфологические эрозии, расширения, открытия и закрытия
• Морфологический анализ нейронов с помощью Matlab