Матье группа М24 - Mathieu group M24

Для общего фона и истории спорадических групп Матье см. Группа Матье.

В области современной алгебры, известной как теория групп, то Группа Матье M₂₄ это спорадическая простая группа из порядок

   2¹⁰ · 3³ · 5 · 7 · 11 · 23 = 244823040

≈ 2×10⁸.

История и свойства

M₂₄ является одной из 26 спорадических групп и была введена Матье  (1861, 1873 ). Это 5-переходный группа перестановок на 24 объекта. В Множитель Шура и группа внешних автоморфизмов оба банальный.

Группы Матье можно строить по-разному. Первоначально Матье и другие сконструировали их как группы перестановок. Было трудно увидеть, что M₂₄ действительно существовали, что его генераторы не просто генерировали переменную группу A₂₄. Этот вопрос прояснился, когда Эрнст Витт построил M₂₄ как группа автоморфизмов (симметрий) S (5,8,24) Система Штейнера W₂₄ (в Дизайн Витта ). M₂₄ - это группа перестановок, которые отображают каждый блок в этом проекте на какой-то другой блок. Подгруппы M₂₃ И м₂₂ тогда легко определяются как стабилизаторы одной точки и пары точек соответственно.

Конструкция как группа перестановок

M₂₄ является подгруппой S₂₄ который генерируется тремя перестановками:^[1]

• ${displaystyle (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23)}$
• ${displaystyle (3,17,10,7,9)(4,13,14,19,5)(8,18,11,12,23)(15,20,22,21,16)}$ и
• ${displaystyle (1,24)(2,23)(3,12)(4,16)(5,18)(6,10)(7,20)(8,14)(9,21)(11,17)(13,22)(15,19)}$.

M₂₄ также может быть порожден двумя перестановками:^[2]

• ${displaystyle (1,16,8,23,13,14,5)(2,7,11,19,20,24,12)(3,4,17,9,22,21,15)}$ и
• ${displaystyle (1,24)(2,21)(3,10)(4,22)(5,9)(6,23)(7,8)(11,18)(12,20)(13,14)(15,19)(16,17).}$

M₂₄ из PSL (3,4)

M₂₄ можно построить, начиная с PSL (3,4), проективная специальная линейная группа трехмерного пространства над конечным полем с 4 элементами (Диксон и Мортимер 1996 С. 192–205). Эта группа, которую иногда называют M₂₁, действует на проективная плоскость над полем F₄, система S (2,5,21), называемая W₂₁. Его 21 блок называется линии. Любые 2 линии пересекаются в одной точке.

M₂₁ имеет 168 простых подгрупп порядка 360 и 360 простых подгрупп порядка 168. В большей проективная общая линейная группа PGL (3,4) оба набора подгрупп образуют классы однократной сопряженности, но в M₂₁ оба набора разделены на 3 класса сопряженности. Подгруппы соответственно имеют 6 орбит, называемых гиперовалы, а орбиты 7, называемые Подпланы Fano. Эти наборы позволяют создавать новые блоки для более крупных систем Steiner. M₂₁ нормально в PGL (3,4), из индекс 3. PGL (3,4) имеет внешний автоморфизм, индуцированный транспонированием сопряженных элементов в F₄ (полевой автоморфизм). Таким образом, PGL (3,4) может быть расширен до группы PΓL (3,4) проективные полулинейные преобразования, которое является расщепленным расширением M₂₁ посредством симметричная группа S₃. PΓL (3,4) имеет вложение как максимальная подгруппа в M₂₄.(Грисс 1998, п. 55)

Гиперовал не имеет трех коллинеарных точек. Подплоскость Фано также удовлетворяет подходящим условиям единственности.

К W₂₁ добавим 3 новые точки и пусть автоморфизмы в PΓL (3,4), но не в M₂₁ переставьте эти новые точки. Система S (3,6,22) W₂₂ формируется добавлением только одной новой точки к каждой из 21 линии, а новые блоки представляют собой 56 гиперовалов, сопряженных относительно M₂₁.

Система S (5,8,24) будет иметь 759 блоков, или октады. Добавьте все 3 новые точки к каждой строке буквы W₂₁, разные новые точки для подплоскостей Фано в каждом из наборов по 120 и добавляем соответствующие пары новых точек ко всем гиперовалам. Это составляет все октады, кроме 210. Эти оставшиеся октады являются подмножествами W₂₁ и есть симметричные различия пар линий. Существует множество способов расширить группу PΓL (3,4) до M₂₄.

Группа автоморфизмов кода Голея

Группа M₂₄ также перестановка группа автоморфизмов из двоичный код Голея W, т.е. группа перестановок отображения координат W себе. Кодовые слова естественным образом соответствуют подмножествам набора из 24 объектов. (В теории кодирования термин «двоичный код Голея» часто относится к более короткому связанному коду длины 23, а используемый здесь код длины 24 называется «расширенным двоичным кодом Голея».) Те подмножества, соответствующие кодовым словам с 8 или 12 равными координатами до 1 называются октады или же додекады соответственно. Октады - это блоки системы Штейнера S (5,8,24), а двоичный код Голея - это векторное пространство над полем F₂ охватывается октадами системы Штейнера.

Простые подгруппы M₂₃, М₂₂, М₁₂, И м₁₁ можно определить как подгруппы в M₂₄, стабилизаторы соответственно одной координаты, упорядоченной пары координат, додекады и додекады вместе с одной координатой.

Между группами Матье и более крупными Конвей группы, поскольку двоичный код Голея и Решетка пиявки оба лежат в пространствах размерности 24. Группы Конвея, в свою очередь, находятся в Группа монстров. Роберт Грисс относится к 20 спорадическим группам, обнаруженным в Монстре, как Счастливая семья, а группам Матье как первое поколение.

Многогранные симметрии

M₂₄ можно построить из симметрий Кляйн квартика, дополненный (негеометрической) симметрией его погружения как малый кубокубооктаэдр.

M₂₄ можно построить, исходя из симметрий Кляйн квартика (симметрии мозаика поверхности рода три), то есть PSL (2,7), которая может быть дополнена дополнительной перестановкой. Эту перестановку можно описать, начиная с разбиения квартики Клейна 56 треугольниками (с 24 вершинами - 24 точками, на которые действует группа), затем формируя квадраты некоторых из 2 треугольников и восьмиугольники из 6 треугольников, с добавленной перестановкой «поменять местами две конечные точки тех ребер исходной треугольной мозаики, которые делят квадраты и восьмиугольники пополам».^[2] Это можно визуализировать с помощью раскраска треугольников - соответствующий тайлинг является топологически, но не геометрически т_0,1{4, 3, 3} черепица, и может быть (многогранно) погруженный в евклидовом трехмерном пространстве как малый кубокубооктаэдр (который также имеет 24 вершины).^[2]

Приложения

Теория темный самогон это частично предположительная связь между K3 поверхности И м₂₄.

В Конвей группа Co1, то Группа Fischer Fi24, а Янко группа J4 каждая из них имеет максимальные подгруппы, являющиеся расширением группы Матье M₂₄ группой 2¹¹. (Эти расширения не все одинаковы.)

Представления

Фробениус (1904) вычислил комплексную таблицу символов M₂₄.

Группа Матье M₂₄ имеет 5-кратное транзитивное представление перестановок в 24 точках. Соответствующее линейное представление над комплексными числами является суммой тривиального представления и 23-мерного неприводимого представления.

M₂₄ имеет два представления перестановок ранга 3: одна на 276 = 1 + 44 + 231 пара точек (или дуад) со стабилизатором M₂₂.2, и один на 1288 = 1 + 495 + 792 дуад, со стабилизатором M₁₂.2.

Фактор 24-мерного линейного представления перестановочного представления его одномерным фиксированным подпространством дает 23-мерное представление, которое неприводимо над любым полем характеристики, отличной от 2 или 3, и дает наименьшее точное представление над такими полями.

Уменьшение 24-мерного представления mod 2 дает действие на F²⁴
₂. У этого есть инвариантные подпространства размерности 1, 12 (код Голея) и 23. Подкоторая дают два неприводимых представления размерности 11 над полем с 2 элементами.

Максимальные подгруппы

Цой (1972b) найдено 9 классов сопряженности максимальных подгрупп группы M₂₄. Кертис (1977) дал краткое доказательство результата, описывая 9 классов с точки зрения комбинаторных данных по 24 точкам: подгруппы фиксируют точку, дуаду, октаду, дуум, секстет, триаду, трио, проективную линию или октерн, как описано ниже. Тодд (1966) дал таблицы символов M₂₄ (первоначально рассчитано Фробениус (1904) ) и 8 максимальных подгрупп, которые были известны в то время.

M₂₄ содержит неабелевы простые подгруппы 13 типов изоморфизма: пять классов группы A₅, четыре класса PSL (3,2), два класса A₆, два класса PSL (2,11), по одному классу A₇, PSL (2,23), М₁₁, PSL (3,4), А₈, М₁₂, М₂₂, М₂₃, И м₂₄. А₆ также указывается ниже как подфактор в подгруппе секстета.

Группа Матье действует на 2048 = 1 + 759 + 1288 точек кода Голея по модулю фиксированного пространства с 3-мя орбитами, на 4096 = 1 + 24 + 276 + 2024 + 1771 точки кокода с 5-ю орбитами, и подгруппы, фиксирующие нетривиальную точку кода или кокода, дают 6 из 9 классов максимальных подгрупп.

9 классов максимальных подгрупп следующие:

Подгруппа точек

M₂₃, заказ 10200960

Подгруппа Duad

Дуада - это пара очков. Подгруппа, фиксирующая дуаду, естьM₂₂: 2, порядок 887040, с орбитами 2 и 22.

Подгруппа Octad

Подгруппа, фиксирующая одну из 759 (= 3 · 11 · 23) октад кода Голея или системы Штейнера, является октадной группой 2⁴: А₈, порядок 322560, с орбитами размера 8 и 16. Линейная группа GL (4,2) имеет исключительный изоморфизм знакопеременной группе A₈. Точечный стабилизатор О октады - это абелева группа порядка 16, экспонента 2, каждая из инволюций которой перемещает все 16 точек за пределы октады. Стабилизатор октада - это расщепленное расширение O на A₈. (Томпсон 1983, стр. 197–208).

Подгруппа дуума

Дуум - это пара дополнительных додекад (наборов из 12 точек) в коде Голея. Подгруппа, фиксирующая дуаду, естьM₁₂: 2, порядок 190080, переходный и импримитивный. Эта подгруппа была открыта Фробениусом. Подгруппа M₁₂ действует по-разному на 2 наборах из 12, отражая внешний автоморфизм M₁₂.

Подгруппа секстетов

2⁶: (3.S₆), заказ 138240: секстетная группа

Рассмотрим тетрада, любой набор из 4 точек в системе Штейнера W₂₄. Октада определяется выбором пятой точки из оставшихся 20. Всего возможно 5 октад. Следовательно, любая тетрада определяет разбиение на 6 тетрад, называемых секстет, стабилизатор которого в M₂₄ называется секстетная группа.

Всего тетрад 24 * 23 * 22 * ​​21/4! = 23 * 22 * ​​21. Разделив это на 6, мы получим количество секстетов: 23 * 11 * 7 = 1771. Кроме того, группа секстетов является подгруппой венок порядка 6! * (4!)⁶, единственные простые делители которого равны 2, 3 и 5. Теперь мы знаем простые делители | M₂₄|, Дальнейший анализ определит порядок группы секстетов и, следовательно, | M₂₄|.

24 точки удобно расположить в массив 6 на 4:

А Д И М К У

B F J N R V

C G K O S W

D H L P T X

Кроме того, удобно использовать элементы поля F₄ пронумеровать строки: 0, 1, u, u².

Группа секстетов имеет нормальную абелеву подгруппу ЧАС порядка 64, изоморфный гексакод, векторное пространство длины 6 и размерности 3 над F₄. Ненулевой элемент в H выполняет двойные транспозиции в пределах 4 или 6 столбцов. Его действие можно рассматривать как добавление векторных координат к номерам строк.

Группа секстета - это расщепленное расширение H группой 3.S₆ (а удлинение штока ). Вот пример внутри групп Матье, где простая группа (A₆) это подчастный, а не подгруппа. 3.S₆ это нормализатор в M₂₄ подгруппы, порожденной р= (BCD) (FGH) (JKL) (NOP) (RST) (VWX), что можно представить как умножение номеров строк на u². Подгруппа 3.A₆ это централизатор из . Генераторы 3.А₆ находятся:

(AEI) (BFJ) (CGK) (DHL) (RTS) (VWX) (вращение первых 3 столбцов)

(AQ) (BS) (CT) (DR) (EU) (FX) (GV) (HW)

(AUEIQ) (BXGKT) (CVHLR) (DWFJS) (произведение двух предыдущих)

(FGH) (JLK) (MQU) (NRV) (OSW) (PTX) (вращение последних 3 столбцов).

Нечетная перестановка столбцов, скажем (CD) (GH) (KL) (OP) (QU) (RV) (SX) (TW), затем порождает 3.S₆.

Группа 3.А₆ изоморфна подгруппе SL (3,4), образ которой в PSL (3,4) отмечен выше как гиперовальная группа.

Апплет Могги имеет функцию, которая отображает секстеты в цвете.

Подгруппа триады

Триада - это набор из 3 точек. Подгруппа, фиксирующая триаду, - это PSL (3,4): S₃, заказ 120960, с размером орбит 3 и 21.

Подгруппа трио

Трио - это набор из 3 непересекающихся октад кода Голея. Подгруппа, фиксирующая трио, называется группой трио2⁶: (PSL (2,7) x S₃), порядок 64512, переходный и импримитивный.

Подгруппа проективных линий

Подгруппа, фиксирующая проективную линейную структуру на 24 точках, - это PSL (2,23), порядок 6072, действие которой дважды транзитивно. Эту подгруппу наблюдал Матье.

Подгруппа октерна

Октерн - это определенное разделение 24 точек на 8 блоков по 3. Подгруппа, фиксирующая октерн, - это группа октернов, изоморфная PSL.₂(7) порядка 168, простая, транзитивная и импримитивная, последняя максимальная подгруппа группы M₂₄ быть найденным.

Классы сопряженности

Всего 26 классов сопряженности. Все формы цикла сбалансированы в том смысле, что они остаются неизменными при изменении длины. k циклы на длину N/k циклы для некоторого целого числа N в зависимости от класса сопряженности.

Заказ	Кол-во элементов	Структура цикла
1 = 1	1	1^24
2 = 2	11385 = 3^2 · 5 · 11 · 23	1^82^8
	31878 = 2 · 3^2 · 7 · 11 · 23	2^12
3 = 3	226688 = 2^7 · 7 · 11 · 23	1^63^6
	485760 = 2^7 · 3 · 5 · 11 · 23	3^8
4 = 2^2	637560 = 2^3 · 3^2 · 5 · 7 · 11 · 23	2^44^4
	1912680 = 2^3 · 3^3 · 5 · 7 · 11 · 23	1^42^24^4
	2550240 = 2^5 · 3^2 · 5 · 7 · 11 · 23	4^6
5 = 5	4080384 = 2^8 · 3^3 · 7 · 11 · 23	1^45^4
6 = 2 · 3	10200960 = 2^7 · 3^2 · 5 · 7 · 11 · 23	1^22^23^26^2
	10200960 = 2^7 · 3^2 · 5 · 7 · 11 · 23	6^4
7 = 7	5829120 = 2^9 · 3^2 · 5 · 11 · 23	1^37^3	эквивалент мощности
	5829120 = 2^9 · 3^2 · 5 · 11 · 23	1^37^3
8 = 2^3	15301440 = 2^6 · 3^3 · 5 · 7 · 11 · 23	1^22·4·8^2
10 = 2 · 5	12241152 = 2^8 · 3^3 · 7 · 11 · 23	2^210^2
11 = 11	22256640 = 2^10 · 3^3 · 5 · 7 · 23	1^211^2
12 = 2^2 · 3	20401920 = 2^8 · 3^2 · 5 · 7 · 11 · 23	2 ·4·6·12
	20401920 = 2^8 · 3^2 · 5 · 7 · 11 · 23	12^2
14 = 2 · 7	17487360 = 2^9 · 3^3 · 5 · 11 · 23	1·2·7·14	эквивалент мощности
	17487360 = 2^9 · 3^3 · 5 · 11 · 23	1·2·7·14
15 = 3 · 5	16321536 = 2^10 · 3^2 · 7 · 11 · 23	1·3·5·15	эквивалент мощности
	16321536 = 2^10 · 3^2 · 7 · 11 · 23	1·3·5·15
21 = 3 · 7	11658240 = 2^10 · 3^2 · 5 · 11 · 23	3·21	эквивалент мощности
	11658240 = 2^10 · 3^2 · 5 · 11 · 23	3·21
23 = 23	10644480 = 2^10 · 3^3 · 5 · 7 · 11	1·23	эквивалент мощности
	10644480 = 2^10 · 3^3 · 5 · 7 · 11	1·23

Рекомендации

1. M24 в Groupprops
2. Рихтер, Дэвид. "Как сделать Матье Группой M₂₄". Дэвид А. Рихтер, доцент, политополог.

• Кэмерон, Питер Дж. (1999), Группы перестановок, Студенческие тексты Лондонского математического общества, 45, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-65378-7
• Кармайкл, Роберт Д. (1956) [1937], «Введение в теорию групп конечного порядка», Природа, Нью-Йорк: Dover Publications, 78 (2028): 442–443, Bibcode:1908Натура..78..442Г, Дои:10.1038 / 078442a0, ISBN  978-0-486-60300-1, МИСТЕР  0075938
• Чой, К. (май 1972a), "О подгруппах в M₂₄. I: Стабилизаторы подмножеств », Труды Американского математического общества, 167: 1–27, Дои:10.2307/1996123, JSTOR  1996123
• Чой, К. (май 1972b). "О подгруппах в M₂₄. II: максимальные подгруппы в M₂₄". Труды Американского математического общества. 167: 29–47. Дои:10.2307/1996124. JSTOR  1996124.
• Конвей, Джон Хортон (1971), «Три лекции об исключительных группах» в Powell, M. B .; Хигман, Грэм (ред.), Конечные простые группы, Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО), Оксфорд, сентябрь 1969 г., Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, стр. 215–247, ISBN  978-0-12-563850-0, МИСТЕР  0338152 Перепечатано в Конвей и Слоан (1999), 267–298)
• Конвей, Джон Хортон; Паркер, Ричард А .; Нортон, Саймон П .; Curtis, R.T .; Уилсон, Роберт А. (1985), Атлас конечных групп, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853199-9, МИСТЕР  0827219
• Конвей, Джон Хортон; Слоан, Нил Дж. А. (1999), «Сферические упаковки, решетки и группы», Zeitschrift für Kristallographie, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, 290 (3–4): 286, Bibcode:1990ЗК .... 191..286Ф, Дои:10.1524 / zkri.1990.191.3-4.286, ISBN  978-0-387-98585-5, МИСТЕР  0920369
• Кертис, Роберт Т. (1976), "Новый комбинаторный подход к M₂₄", Математические труды Кембриджского философского общества, 79 (1): 25–42, Bibcode:1976MPCPS..79 ... 25C, Дои:10.1017 / S0305004100052075, ISSN  0305-0041, МИСТЕР  0399247
• Кертис, Роберт Т. (1977), "Максимальные подгруппы в M₂₄", Математические труды Кембриджского философского общества, 81 (2): 185–192, Bibcode:1977MPCPS..81..185C, Дои:10.1017 / S0305004100053251, ISSN  0305-0041, МИСТЕР  0439926
• Кертис, Роберт Т. (2007), Симметричная генерация групп, Энциклопедия математики, Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-85721-5
• Кайперс, Ганс, Группы Матье и их геометрии (PDF)
• Диксон, Джон Д .; Мортимер, Брайан (1996), Группы перестановок, Тексты для выпускников по математике, 163, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-0731-3, ISBN  978-0-387-94599-6, МИСТЕР  1409812
• Фробениус, Фердинанд Георг (1904 г.), "Über die Charaktere der mehrfach transitiven Gruppen", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften (на немецком языке), Königliche Akademie der Wissenschaften, Берлин, 16: 558–571, ​​Печатается в третьем томе его собрания сочинений.
• Грисс, Роберт Л. мл. (1998), Двенадцать спорадических групп, Springer Monographs in Mathematics, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-62778-4, МИСТЕР  1707296
• Матье, Эмиль (1861), "Mémoire sur l'etude des fonctions de plusieurs Quantités, sur la manière de les previous et sur les замен, qui les laissent неизменные", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 6: 241–323
• Матье, Эмиль (1873 г.), "Sur la fonction cinq fois transitive de 24 Quantités", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (На французском), 18: 25–46, JFM  05.0088.01^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Миллер, Г. А. (1898 г.), «О предполагаемой пятикратной переходной функции 24 элементов и 19! / 48 значений», Посланник математики, 27: 187–190
• Миллер, Г. А. (1900), "Sur plusieurs groupes simples", Bulletin de la Société Mathématique de France, 28: 266–267, Дои:10.24033 / bsmf.635
• Ронан, Марк (2006), Симметрия и чудовище, Оксфорд, ISBN  978-0-19-280722-9 (введение для непрофессионального читателя, описывающее группы Матьё в историческом контексте)
• Томпсон, Томас М. (1983), От кодов с исправлением ошибок до сферических упаковок и простых групп, Математические монографии Каруса, 21, Математическая ассоциация Америки, ISBN  978-0-88385-023-7, МИСТЕР  0749038
• Тодд, Дж. А. (1966), "Представление группы Матье M₂₄ как группы коллинеаций", Annali di Matematica Pura ed Applicata, Серия 4, 71: 199–238, Дои:10.1007 / BF02413742, ISSN  0003-4622, МИСТЕР  0202854
• Витт, Эрнст (1938a), "über Steinersche Systeme", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 12: 265–275, Дои:10.1007 / BF02948948, ISSN  0025-5858
• Витт, Эрнст (1938b), "Die 5-fach transitiven Gruppen von Mathieu", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 12: 256–264, Дои:10.1007 / BF02948947

внешняя ссылка

• MathWorld: Группы Матье
• Атлас представлений конечных групп: M₂₄
• Рихтер, Дэвид А., Как сделать Mathieu Group M₂₄, получено 2010-04-15