Частота мацубары - Matsubara frequency - Wikipedia

В тепловая квантовая теория поля, то Частота мацубары суммирование (названо в честь Такео Мацубара ) - суммирование по дискретным мнимым частотам. Он принимает следующий вид

${\displaystyle S_{\eta }={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{n}}g(i\omega _{n}),}$

куда ${\displaystyle \beta =\hbar /k_{B}T}$ - обратная температура, а частоты ${\displaystyle \omega _{n}}$ обычно берутся из любого из следующих двух наборов (с ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$):

бозонные частоты: ${\displaystyle \omega _{n}={\frac {2n\pi }{\beta }},}$

фермионные частоты: ${\displaystyle \omega _{n}={\frac {(2n+1)\pi }{\beta }},}$

Суммирование сходится, если ${\displaystyle g(z=i\omega )}$ стремится к 0 в ${\displaystyle z\to \infty }$ ограничивать быстрее, чем ${\displaystyle z^{-1}}$. Суммирование по бозонным частотам обозначается как ${\displaystyle S_{B}}$ (с ${\displaystyle \eta =+1}$), а по фермионным частотам обозначается как ${\displaystyle S_{F}}$ (с ${\displaystyle \eta =-1}$). ${\displaystyle \eta }$ - статистический знак.

В дополнение к тепловой квантовой теории поля метод суммирования частот Мацубары также играет важную роль в схематическом подходе к физике твердого тела, а именно, если рассматривать диаграммы при конечной температуре.^[1][2]

Вообще говоря, если ${\displaystyle T=0\,{\text{K}}}$, определенный Диаграмма Фейнмана представлен интегралом ${\displaystyle \int _{T=0}\mathrm {d} \omega \ g(\omega )}$, при конечной температуре она определяется суммой ${\displaystyle S_{\eta }}$.

Суммирование частот Мацубары

Общий формализм

Рисунок 1.

Фигура 2.

Уловка для оценки суммирования частот Мацубары заключается в использовании весовой функции Мацубары. час_η(z) который имеет простой полюса расположен точно в ${\displaystyle z=i\omega }$. Весовые функции в бозонном случае η = +1 и фермионный случай η = −1 различаются. О выборе весовой функции мы поговорим позже. С помощью весовой функции суммирование может быть заменено контурным интегралом, окружающим мнимую ось.

${\displaystyle S_{\eta }={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega }g(i\omega )={\frac {1}{2\pi i\beta }}\oint g(z)h_{\eta }(z)\,dz,}$

Как и на рис. 1, весовая функция генерирует полюса (красные кресты) на мнимой оси. Контурный интеграл подбирает остаток этих полюсов, что эквивалентно суммированию.

Путем деформации контурных линий охватить полюса грамм(z) (зеленый крест на рис.2), суммирование формально можно произвести, суммируя остаток грамм(z)час_η(z) по всем полюсам грамм(z),

${\displaystyle S_{\eta }=-{\frac {1}{\beta }}\sum _{z_{0}\in g(z){\text{ poles}}}\operatorname {Res} g(z_{0})h_{\eta }(z_{0}).}$

Обратите внимание, что появляется знак минус, потому что контур деформируется, чтобы охватить полюса по часовой стрелке, что приводит к отрицательному остатку.

Выбор весовой функции Мацубары

Для создания простых полюсов на частотах бозонов ${\displaystyle z=i\omega _{n}}$, можно выбрать любой из следующих двух типов весовых функций Мацубары

${\displaystyle h_{B}^{(1)}(z)={\frac {\beta }{1-e^{-\beta z}}}=-\beta n_{B}(-z)=\beta (1+n_{B}(z)),}$

${\displaystyle h_{B}^{(2)}(z)={\frac {-\beta }{1-e^{\beta z}}}=\beta n_{B}(z),}$

в зависимости от того, в какой полуплоскости нужно контролировать сходимость. ${\displaystyle h_{B}^{(1)}(z)}$ контролирует сходимость в левой полуплоскости (Rez <0), а ${\displaystyle h_{B}^{(2)}(z)}$ контролирует сходимость в правой полуплоскости (Rez > 0). Здесь ${\displaystyle n_{B}(z)=(e^{\beta z}-1)^{-1}}$ это Бозе-Эйнштейн функция распределения.

Аналогичный случай для частот фермионов. Есть также два типа весовых функций Мацубары, которые производят простые полюса на ${\displaystyle z=i\omega _{m}}$

${\displaystyle h_{F}^{(1)}(z)={\frac {\beta }{1+e^{-\beta z}}}=\beta n_{F}(-z)=\beta (1-n_{F}(z)),}$

${\displaystyle h_{F}^{(2)}(z)={\frac {-\beta }{1+e^{\beta z}}}=-\beta n_{F}(z).}$

${\displaystyle h_{F}^{(1)}(z)}$ контролирует сходимость в левой полуплоскости (Rez <0), а ${\displaystyle h_{F}^{(2)}(z)}$ контролирует сходимость в правой полуплоскости (Rez > 0). Здесь ${\displaystyle n_{F}(z)=(e^{\beta z}+1)^{-1}}$ это Ферми – Дирак функция распределения.

В приложении к вычислению функции Грина грамм(z) всегда имеют структуру

${\displaystyle g(z)=G(z)e^{-z\tau },}$

который расходится в левой полуплоскости при 0 <τ < β. Для контроля сходимости всегда выбирается весовая функция первого типа. ${\displaystyle h_{\eta }(z)=h_{\eta }^{(1)}(z)}$. Однако нет необходимости контролировать сходимость, если суммирование Мацубары не расходится, в этом случае любой выбор весовой функции Мацубары приведет к идентичным результатам.

Таблица суммирования частот Мацубары

Следующая таблица завершает суммирование частот Мацубары для некоторых простых рациональные функции грамм(z).

${\displaystyle S_{\eta }={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega }g(i\omega ).}$

η = ± 1 обозначает статистический знак.

${\displaystyle g(i\omega )}$	${\displaystyle S_{\eta }}$
${\displaystyle (i\omega -\xi )^{-1}}$	${\displaystyle -\eta n_{\eta }(\xi )}$^[1]
${\displaystyle (i\omega -\xi )^{-2}}$	${\displaystyle -\eta n_{\eta }^{\prime }(\xi )=\beta n_{\eta }(\xi )(\eta +n_{\eta }(\xi ))}$
${\displaystyle (i\omega -\xi )^{-n}}$	${\displaystyle -{\frac {\eta }{(n-1)!}}\partial _{\xi }^{n-1}n_{\eta }(\xi )}$
${\displaystyle {\frac {1}{(i\omega -\xi _{1})(i\omega -\xi _{2})}}}$	${\displaystyle -{\frac {\eta (n_{\eta }(\xi _{1})-n_{\eta }(\xi _{2}))}{\xi _{1}-\xi _{2}}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{(i\omega -\xi _{1})^{2}(i\omega -\xi _{2})^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {\eta }{(\xi _{1}-\xi _{2})^{2}}}\left({\frac {2(n_{\eta }(\xi _{1})-n_{\eta }(\xi _{2}))}{\xi _{1}-\xi _{2}}}-(n_{\eta }^{\prime }(\xi _{1})+n_{\eta }^{\prime }(\xi _{2}))\right)}$
${\displaystyle {\frac {1}{(i\omega -\xi _{1})^{2}-\xi _{2}^{2}}}}$	${\displaystyle \eta c_{\eta }(\xi _{1},\xi _{2})}$
${\displaystyle {\frac {1}{(i\omega )^{2}-\xi ^{2}}}}$	${\displaystyle \eta c_{\eta }(0,\xi )=-{\frac {1}{2\xi }}(1+2\eta n_{\eta }(\xi ))}$
${\displaystyle {\frac {(i\omega )^{2}}{(i\omega )^{2}-\xi ^{2}}}}$	${\displaystyle -{\frac {\xi }{2}}(1+2\eta n_{\eta }(\xi ))}$^[1]
${\displaystyle {\frac {1}{((i\omega )^{2}-\xi ^{2})^{2}}}}$	${\displaystyle -{\frac {\eta }{2\xi ^{2}}}(c_{\eta }(0,\xi )+n_{\eta }^{\prime }(\xi ))}$
${\displaystyle {\frac {(i\omega )^{2}}{((i\omega )^{2}-\xi ^{2})^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {\eta }{2}}(c_{\eta }(0,\xi )-n_{\eta }^{\prime }(\xi ))}$
${\displaystyle {\frac {(i\omega )^{2}+\xi ^{2}}{((i\omega )^{2}-\xi ^{2})^{2}}}}$	${\displaystyle -\eta n_{\eta }^{\prime }(\xi )=\beta n_{\eta }(\xi )(\eta +n_{\eta }(\xi ))}$
${\displaystyle {\frac {1}{((i\omega )^{2}-\xi _{1}^{2})((i\omega )^{2}-\xi _{2}^{2})}}}$	${\displaystyle {\frac {\eta (c_{\eta }(0,\xi _{1})-c_{\eta }(0,\xi _{2}))}{\xi _{1}^{2}-\xi _{2}^{2}}}}$
${\displaystyle \left({\frac {1}{(i\omega )^{2}-\xi _{1}^{2}}}+{\frac {1}{(i\omega )^{2}-\xi _{2}^{2}}}\right)^{2}}$	${\displaystyle \eta \left({\frac {3\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}}{2\xi _{1}^{2}(\xi _{1}^{2}-\xi _{2}^{2})}}c_{\eta }(0,\xi _{1})-{\frac {n_{\eta }^{\prime }(\xi _{1})}{2\xi _{1}^{2}}}\right)+(1\leftrightarrow 2)}$^[2]
${\displaystyle \left({\frac {1}{(i\omega )^{2}-\xi _{1}^{2}}}-{\frac {1}{(i\omega )^{2}-\xi _{2}^{2}}}\right)^{2}}$	${\displaystyle \eta \left(-{\frac {5\xi _{1}^{2}-\xi _{2}^{2}}{2\xi _{1}^{2}(\xi _{1}^{2}-\xi _{2}^{2})}}c_{\eta }(0,\xi _{1})-{\frac {n_{\eta }^{\prime }(\xi _{1})}{2\xi _{1}^{2}}}\right)+(1\leftrightarrow 2)}$^[2]

[1] Поскольку суммирование не сходится, результат может отличаться при другом выборе весовой функции Мацубары.

[2] (1 ↔ 2) обозначает то же выражение, что и предыдущее, но с замененными индексами 1 и 2.

Приложения в физике

Предел нулевой температуры

В этом пределе ${\displaystyle \beta \rightarrow \infty }$, суммирование частот Мацубары эквивалентно интегрированию мнимой частоты по мнимой оси.

${\displaystyle {\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega }=\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\mathrm {d} (i\omega )}{2\pi }}.}$

Некоторые интегралы не сходятся. Их следует упорядочить, введя частоту отсечки ${\displaystyle \Omega }$, а затем вычитая расходящуюся часть (${\displaystyle \Omega }$-зависимый) от интеграла до перехода к пределу ${\displaystyle \Omega \rightarrow \infty }$. Например, свободная энергия получается интегралом от логарифма,

${\displaystyle \eta \lim _{\Omega \rightarrow \infty }\left[\int _{-i\Omega }^{i\Omega }{\frac {\mathrm {d} (i\omega )}{2\pi }}\left(\ln(-i\omega +\xi )-{\frac {\pi \xi }{2\Omega }}\right)-{\frac {\Omega }{\pi }}(\ln \Omega -1)\right]=\left\{{\begin{array}{cc}0&\xi \geq 0,\\-\eta \xi &\xi <0,\end{array}}\right.}$

Это означает, что при нулевой температуре свободная энергия просто связана с внутренней энергией ниже химического потенциала. Также функция распределения получается следующим интегралом

${\displaystyle \eta \lim _{\Omega \rightarrow \infty }\int _{-i\Omega }^{i\Omega }{\frac {\mathrm {d} (i\omega )}{2\pi }}\left({\frac {1}{-i\omega +\xi }}-{\frac {\pi }{2\Omega }}\right)=\left\{{\begin{array}{cc}0&\xi \geq 0,\\-\eta &\xi <0,\end{array}}\right.}$

который показывает поведение ступенчатой ​​функции при нулевой температуре.

Связанные с функцией Грина

Область времени

Рассмотрим функцию грамм(τ), заданный на мнимом интервале времени (0,β). Его можно выразить в виде ряда Фурье,

${\displaystyle G(\tau )={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega }G(i\omega )e^{-i\omega \tau },}$

где частота принимает только дискретные значения с интервалом 2π/β.

Конкретный выбор частоты зависит от граничного условия функции грамм(τ). В физике грамм(τ) обозначает представление в мнимом времени функции Грина

${\displaystyle G(\tau )=-\langle {\mathcal {T}}_{\tau }\psi (\tau )\psi ^{*}(0)\rangle .}$

Он удовлетворяет периодическому граничному условию грамм(τ+β)=грамм(τ) для бозонного поля. В то время как для фермионного поля граничное условие антипериодично грамм(τ + β) = −грамм(τ).

Учитывая функцию Грина грамм(iω) в частотной области его представление мнимого времени грамм(τ) можно оценить суммированием частот Мацубары. В зависимости от суммируемых частот бозонов или фермионов полученный грамм(τ) могут быть разными. Чтобы различить, определите

${\displaystyle G_{\eta }(\tau )={\begin{cases}G_{B}(\tau ),&{\text{if }}\eta =+1,\\G_{F}(\tau ),&{\text{if }}\eta =-1,\end{cases}}}$

с

${\displaystyle G_{B}(\tau )={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{n}}G(i\omega _{n})e^{-i\omega _{n}\tau },}$

${\displaystyle G_{F}(\tau )={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{m}}G(i\omega _{m})e^{-i\omega _{m}\tau }.}$

Обратите внимание, что τ ограничена в главном интервале (0,β). Граничное условие можно использовать для расширения грамм(τ) вне основного интервала. Некоторые часто используемые результаты приведены в следующей таблице.

${\displaystyle G(i\omega )}$	${\displaystyle G_{\eta }(\tau )}$
${\displaystyle (i\omega -\xi )^{-1}}$	${\displaystyle -e^{\xi (\beta -\tau )}n_{\eta }(\xi )}$
${\displaystyle (i\omega -\xi )^{-2}}$	${\displaystyle e^{\xi (\beta -\tau )}n_{\eta }(\xi )\left(\tau +\eta \beta n_{\eta }(\xi )\right)}$
${\displaystyle (i\omega -\xi )^{-3}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}e^{\xi (\beta -\tau )}n_{\eta }(\xi )\left(\tau ^{2}+\eta \beta (\beta +2\tau )n_{\eta }(\xi )+2\beta ^{2}n_{\eta }^{2}(\xi )\right)}$
${\displaystyle (i\omega -\xi _{1})^{-1}(i\omega -\xi _{2})^{-1}}$	${\displaystyle -{\frac {e^{\xi _{1}(\beta -\tau )}n_{\eta }(\xi _{1})-e^{\xi _{2}(\beta -\tau )}n_{\eta }(\xi _{2})}{\xi _{1}-\xi _{2}}}}$
${\displaystyle (\omega ^{2}+m^{2})^{-1}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-m\tau }}{2m}}+{\frac {\eta }{m}}\cosh {m\tau }\;n_{\eta }(m)}$
${\displaystyle i\omega (\omega ^{2}+m^{2})^{-1}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-m\tau }}{2}}-\eta \,\sinh {m\tau }\;n_{\eta }(m)}$

Эффект переключения оператора

Здесь решающую роль играет малое воображаемое время. Порядок операторов изменится, если малое мнимое время изменит знак.

${\displaystyle \langle \psi \psi ^{*}\rangle =\langle {\mathcal {T}}_{\tau }\psi (\tau =0^{+})\psi ^{*}(0)\rangle =-G_{\eta }(\tau =0^{+})=-{\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega }G(i\omega )e^{-i\omega 0^{+}}}$

${\displaystyle \langle \psi ^{*}\psi \rangle =\eta \langle {\mathcal {T}}_{\tau }\psi (\tau =0^{-})\psi ^{*}(0)\rangle =-\eta G_{\eta }(\tau =0^{-})=-{\frac {\eta }{\beta }}\sum _{i\omega }G(i\omega )e^{i\omega 0^{+}}}$

Функция распределения

Оценка функции распределения становится сложной из-за разрыва функции Грина грамм(τ) в τ = 0. Чтобы оценить суммирование

${\displaystyle G(0)=\sum _{i\omega }(i\omega -\xi )^{-1},}$

оба варианта весовой функции приемлемы, но результаты разные. Это можно понять, если нажать грамм(τ) далеко от τ = 0 немного, то для контроля сходимости нужно взять ${\displaystyle h_{\eta }^{(1)}(z)}$ как весовая функция для ${\displaystyle G(\tau =0^{+})}$, и ${\displaystyle h_{\eta }^{(2)}(z)}$ за ${\displaystyle G(\tau =0^{-})}$.

Бозоны

${\displaystyle G_{B}(\tau =0^{-})={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{n}}{\frac {e^{i\omega _{n}0^{+}}}{i\omega _{n}-\xi }}=-n_{B}(\xi ),}$

${\displaystyle G_{B}(\tau =0^{+})={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{n}}{\frac {e^{-i\omega _{n}0^{+}}}{i\omega _{n}-\xi }}=-(n_{B}(\xi )+1).}$

Фермионы

${\displaystyle G_{F}(\tau =0^{-})={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{m}}{\frac {e^{i\omega _{m}0^{+}}}{i\omega _{m}-\xi }}=n_{F}(\xi ),}$

${\displaystyle G_{F}(\tau =0^{+})={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{m}}{\frac {e^{-i\omega _{m}0^{+}}}{i\omega _{m}-\xi }}=-(1-n_{F}(\xi )).}$

Свободная энергия

Бозоны

${\displaystyle {\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{n}}\ln(\beta (-i\omega _{n}+\xi ))={\frac {1}{\beta }}\ln(1-e^{-\beta \xi }),}$

Фермионы

${\displaystyle -{\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{m}}\ln(\beta (-i\omega _{m}+\xi ))=-{\frac {1}{\beta }}\ln(1+e^{-\beta \xi }).}$

Оценка диаграмм

Часто встречающиеся диаграммы оцениваются здесь с настройкой одного режима. Проблема множественных мод может быть решена с помощью интеграла спектральной функции.

Собственная энергия фермиона

${\displaystyle \Sigma (i\omega _{m})=-{\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{n}}{\frac {1}{i\omega _{m}+i\omega _{n}-\varepsilon }}{\frac {1}{i\omega _{n}-\Omega }}={\frac {n_{F}(\varepsilon )-n_{F}(\Omega )}{i\omega _{m}-\varepsilon +\Omega }}.}$

Пузырь с отверстиями для частиц

${\displaystyle \Pi (i\omega _{n})={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{m}}{\frac {1}{i\omega _{m}+i\omega _{n}-\varepsilon }}{\frac {1}{i\omega _{m}-\varepsilon '}}=-{\frac {n_{F}(\varepsilon )-n_{F}\left(\varepsilon '\right)}{i\omega _{n}-\varepsilon +\varepsilon '}}.}$

Пузырь частицы-частицы

${\displaystyle \Pi (i\omega _{n})=-{\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{m}}{\frac {1}{i\omega _{m}+i\omega _{n}-\epsilon }}{\frac {1}{-i\omega _{m}-\epsilon '}}={\frac {1-n_{F}(\epsilon )-n_{F}\left(\epsilon '\right)}{i\omega _{n}-\epsilon -\epsilon '}}.}$

Приложение: Свойства функций распределения

Функции распределения

Общие обозначения ${\displaystyle n_{\eta }}$ обозначает либо Bose (η = +1) или Ферми (η = −1) функция распределения

${\displaystyle n_{\eta }(\xi )={\frac {1}{e^{\beta \xi }-\eta }}.}$

При необходимости специальные обозначения п_B и п_F используются для обозначения функций распределения Бозе и Ферми соответственно

${\displaystyle n_{\eta }(\xi )={\begin{cases}n_{B}(\xi ),&{\text{if }}\eta =+1,\\n_{F}(\xi ),&{\text{if }}\eta =-1.\end{cases}}}$

Связь с гиперболическими функциями

Функция распределения Бозе связана с гиперболической функцией котангенса соотношением

${\displaystyle n_{B}(\xi )={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {\beta \xi }{2}}-1\right).}$

Функция распределения Ферми связана с функцией гиперболического тангенса соотношением

${\displaystyle n_{F}(\xi )={\frac {1}{2}}\left(1-\operatorname {tanh} {\frac {\beta \xi }{2}}\right).}$

Паритет

Обе функции распределения не имеют определенной четности,

${\displaystyle n_{\eta }(-\xi )=-\eta -n_{\eta }(\xi ).}$

Другая формула выражается в ${\displaystyle c_{\eta }}$ функция

${\displaystyle n_{\eta }(-\xi )=n_{\eta }(\xi )+2\xi c_{\eta }(0,\xi ).}$

Однако их производные имеют определенный паритет.

Бозе-фермиевская трансмутация

Функции распределения Бозе и Ферми трансмутируются при сдвиге переменной на фермионную частоту,

${\displaystyle n_{\eta }(i\omega _{m}+\xi )=-n_{-\eta }(\xi ).}$

Однако сдвиг по бозонным частотам не имеет значения.

Производные

Первый заказ

${\displaystyle n_{B}^{\prime }(\xi )=-{\frac {\beta }{4}}\mathrm {csch} ^{2}{\frac {\beta \xi }{2}},}$

${\displaystyle n_{F}^{\prime }(\xi )=-{\frac {\beta }{4}}\mathrm {sech} ^{2}{\frac {\beta \xi }{2}}.}$

По продукту:

${\displaystyle n_{\eta }^{\prime }(\xi )=-\beta n_{\eta }(\xi )(1+\eta n_{\eta }(\xi )).}$

В пределе нулевой температуры:

${\displaystyle n_{\eta }^{\prime }(\xi )=\eta \delta (\xi ){\text{ as }}\beta \rightarrow \infty .}$

Второго порядка

${\displaystyle n_{B}^{\prime \prime }(\xi )={\frac {\beta ^{2}}{4}}\operatorname {csch} ^{2}{\frac {\beta \xi }{2}}\operatorname {coth} {\frac {\beta \xi }{2}},}$

${\displaystyle n_{F}^{\prime \prime }(\xi )={\frac {\beta ^{2}}{4}}\operatorname {sech} ^{2}{\frac {\beta \xi }{2}}\operatorname {tanh} {\frac {\beta \xi }{2}}.}$

Формула различия

${\displaystyle n_{\eta }(a+b)-n_{\eta }(a-b)=-{\frac {\mathrm {sinh} \beta b}{\mathrm {cosh} \beta a-\eta \,\mathrm {cosh} \beta b}}.}$

Дело а = 0

${\displaystyle n_{B}(b)-n_{B}(-b)=\mathrm {coth} {\frac {\beta b}{2}},}$

${\displaystyle n_{F}(b)-n_{F}(-b)=-\mathrm {tanh} {\frac {\beta b}{2}}.}$

Дело а → 0

${\displaystyle n_{B}(a+b)-n_{B}(a-b)=\operatorname {coth} {\frac {\beta b}{2}}+n_{B}^{\prime \prime }(b)a^{2}+\cdots ,}$

${\displaystyle n_{F}(a+b)-n_{F}(a-b)=-\operatorname {tanh} {\frac {\beta b}{2}}+n_{F}^{\prime \prime }(b)a^{2}+\cdots .}$

Дело б → 0

${\displaystyle n_{B}(a+b)-n_{B}(a-b)=2n_{B}^{\prime }(a)b+\cdots ,}$

${\displaystyle n_{F}(a+b)-n_{F}(a-b)=2n_{F}^{\prime }(a)b+\cdots .}$

Функция c_η

Определение:

${\displaystyle c_{\eta }(a,b)\equiv -{\frac {n_{\eta }(a+b)-n_{\eta }(a-b)}{2b}}.}$

Для типа Bose и Fermi:

${\displaystyle c_{B}(a,b)\equiv c_{+}(a,b),}$

${\displaystyle c_{F}(a,b)\equiv c_{-}(a,b).}$

Связь с гиперболическими функциями

${\displaystyle c_{\eta }(a,b)={\frac {\sinh \beta b}{2b(\cosh \beta a-\eta \cosh \beta b)}}.}$

Очевидно, что ${\displaystyle c_{F}(a,b)}$ положительно определен.

Чтобы избежать переполнения при численном расчете, используются функции tanh и coth.

${\displaystyle c_{B}(a,b)={\frac {1}{4b}}\left(\operatorname {coth} {\frac {\beta (a-b)}{2}}-\operatorname {coth} {\frac {\beta (a+b)}{2}}\right),}$

${\displaystyle c_{F}(a,b)={\frac {1}{4b}}\left(\operatorname {tanh} {\frac {\beta (a+b)}{2}}-\operatorname {tanh} {\frac {\beta (a-b)}{2}}\right).}$

Дело а = 0

${\displaystyle c_{B}(0,b)=-{\frac {1}{2b}}\operatorname {coth} {\frac {\beta b}{2}},}$

${\displaystyle c_{F}(0,b)={\frac {1}{2b}}\operatorname {tanh} {\frac {\beta b}{2}}.}$

Дело б = 0

${\displaystyle c_{B}(a,0)={\frac {\beta }{4}}\operatorname {csch} ^{2}{\frac {\beta a}{2}},}$

${\displaystyle c_{F}(a,0)={\frac {\beta }{4}}\operatorname {sech} ^{2}{\frac {\beta a}{2}}.}$

Предел низкой температуры

За а = 0: ${\displaystyle c_{F}(0,b)={\frac {1}{2|b|}}.}$

За б = 0: ${\displaystyle c_{F}(a,0)=\delta (a).}$

В целом,

${\displaystyle c_{F}(a,b)={\begin{cases}{\frac {1}{2|b|}},&{\text{if }}|a|<|b|\\0,&{\text{if }}|a|>|b|\end{cases}}}$

Смотрите также

• Мнимое время
• Теория теплового квантового поля

внешняя ссылка

Агустин Ньето: Оценка сумм по частотам мацубары. arXiv: hep-ph / 9311210

Репозиторий Github: MatsubaraSum Пакет Mathematica для суммирования частот Мацубары.

А. Тахеридехкорди, С. Курно, J.P.F. ЛеБлан: Алгоритмическая интеграция Мацубары для моделей типа Хаббарда.. arXiv: cond-mat / 1808.05188

Рекомендации

1. А. Абрикосов, Л. Горьков, И. Дзялошинский: Методы квантовой теории поля в статистической физике., Нью-Йорк, Dover Publ., 1975, ISBN  0-486-63228-8
2. [Пирс Коулман]: Введение в физику многих тел., Cambridge University Press., 2015, ISBN  978-0-521-86488-6