Способ оплаты имиджа - Method of image charges - Wikipedia

Смотрите также: Метод изображений

В метод оплаты имиджа (также известный как метод изображений и метод зеркальных зарядов) является основным инструментом решения проблем в электростатика. Название происходит от замены определенных элементов в исходной компоновке мнимыми зарядами, что повторяет граничные условия задачи (см. Граничные условия Дирихле или же Граничные условия Неймана ).

Обоснованность метода взимания имиджа основывается на следствии теорема единственности, который утверждает, что электрический потенциал в объеме V определяется однозначно, если и плотность заряда во всей области, и значение электрический потенциал по всем границам указаны. В качестве альтернативы, применение этого следствия к дифференциальной форме Закон Гаусса показывает, что в томе V окруженное проводниками и содержащее заданную плотность заряда ρ, электрическое поле определяется однозначно, если задан полный заряд на каждом проводнике. Зная либо электрический потенциал, либо электрическое поле и соответствующие граничные условия, мы можем поменять рассматриваемое распределение заряда на распределение с конфигурацией, которую легче анализировать, если она удовлетворяет Уравнение Пуассона в интересующей области и принимает правильные значения на границах.^[1]

Отражение в проводящей плоскости

Поле положительного заряда над плоской проводящей поверхностью, найденное методом изображений.

Метод изображений электрического дипольного момента в проводящей плоскости

Точечные начисления

Простейшим примером метода зарядов изображения является точечный заряд с зарядом q, расположен в ${\displaystyle (0,0,a)}$ над бесконечным заземленный (то есть: ${\displaystyle V=0}$) проводящая пластина в ху-самолет. Чтобы упростить эту задачу, мы можем заменить пластину эквипотенциального заряда на заряд -q, расположен в ${\displaystyle (0,0,-a)}$. Такое расположение будет создавать такое же электрическое поле в любой точке, для которой ${\displaystyle z>0}$ (т.е. над проводящей пластиной) и удовлетворяет граничному условию, согласно которому потенциал вдоль пластины должен быть равен нулю. Эта ситуация эквивалентна исходной установке, поэтому сила, действующая на реальный заряд, теперь может быть рассчитана с помощью Закон Кулона между двумя точечными зарядами.^[2]

Потенциал в любой точке пространства из-за этих двух точечных зарядов +q при +а и -q в -а на zось, указана в цилиндрические координаты в качестве

${\displaystyle V\left(\rho ,\varphi ,z\right)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{\sqrt {\rho ^{2}+\left(z-a\right)^{2}}}}+{\frac {-q}{\sqrt {\rho ^{2}+\left(z+a\right)^{2}}}}\right)\,}$

В плотность поверхностного заряда на заземленной плоскости, следовательно, задается

${\displaystyle \sigma =-\epsilon _{0}{\frac {\partial V}{\partial z}}{\Bigg |}_{z=0}={\frac {-qa}{2\pi \left(\rho ^{2}+a^{2}\right)^{3/2}}}}$

В дополнение общий заряд, индуцированный на проводящей плоскости, будет интегралом плотности заряда по всей плоскости, поэтому:

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{t}&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }\sigma \left(\rho \right)\,\rho \,d\rho \,d\theta \\[6pt]&={\frac {-qa}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\infty }{\frac {\rho \,d\rho }{\left(\rho ^{2}+a^{2}\right)^{3/2}}}\\[6pt]&=-q\end{aligned}}}$

Суммарный заряд, индуцированный на плоскости, оказывается просто –Q. Это также видно из Закон Гаусса, учитывая, что поле диполя убывает на кубе расстояния на больших расстояниях, и, следовательно, полный поток поля через бесконечно большую сферу обращается в нуль.

Поскольку электрические поля удовлетворяют принцип суперпозиции, проводящая плоскость под несколькими точечными зарядами может быть заменена зеркальным отображением каждого из зарядов по отдельности, без каких-либо других необходимых модификаций.

Электрические дипольные моменты

Изображение электрического дипольного момента п в ${\displaystyle (0,0,a)}$ над бесконечной заземленной проводящей плоскостью в ху-плоскость - дипольный момент при ${\displaystyle (0,0,-a)}$ с одинаковой величиной и направлением, повернутые азимутально на π. То есть дипольный момент с декартовыми составляющими ${\displaystyle (p\sin \theta \cos \phi ,p\sin \theta \sin \phi ,p\cos \theta )}$ будет иметь в изображении дипольный момент ${\displaystyle (-p\sin \theta \cos \phi ,-p\sin \theta \sin \phi ,p\cos \theta )}$. Диполь испытывает силу в z направление, данное

${\displaystyle F=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {3p^{2}}{16a^{4}}}(1+\cos ^{2}\theta )}$

и крутящий момент в плоскости, перпендикулярной диполю и проводящей плоскости,

${\displaystyle \tau =-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {p^{2}}{16a^{3}}}\sin 2\theta }$

Отражение в диэлектрической планарной границе раздела.

Подобно проводящей плоскости, случай плоской границы раздела между двумя разными диэлектрик СМИ можно рассматривать. Если точечный заряд ${\displaystyle q}$ помещен в диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ${\displaystyle \epsilon _{1}}$, то граница раздела (с диэлектриком, имеющим диэлектрическую проницаемость ${\displaystyle \epsilon _{2}}$) разовьет связанный поляризационный заряд. Можно показать, что результирующее электрическое поле внутри диэлектрика, содержащего частицу, модифицируется таким образом, что его можно описать зарядом изображения внутри другого диэлектрика. Однако внутри другого диэлектрика заряд изображения отсутствует.^[3]

В отличие от корпуса из металла, изображение заряда ${\displaystyle q'}$ не совсем противоположно реальному заряду: ${\displaystyle q'={\frac {\epsilon _{1}-\epsilon _{2}}{\epsilon _{1}+\epsilon _{2}}}q}$. Он может даже иметь такой же знак, если заряд находится внутри более прочного диэлектрического материала (заряды отталкиваются от областей с более низкой диэлектрической проницаемостью). Это видно из формулы.

Отражение в проводящей сфере

Диаграмма, иллюстрирующая метод изображения для уравнения Лапласа для сферы радиуса R. Зеленая точка - это заряд q, лежащий внутри сферы на расстоянии p от начала координат, красная точка - это изображение этой точки, имеющей заряд -qR / p , лежащая вне сферы на расстоянии R²/ p из источника. Потенциал, создаваемый двумя зарядами, равен нулю на поверхности сферы.

Силовые линии вне заземленной сферы для заряда, размещенного вне сферы.

Для нескольких поверхностей требуется бесконечная серия зарядов точечных изображений.

Точечные начисления

Метод изображений можно применить и к сфере.^[4] Фактически, случай зарядов изображения на плоскости является частным случаем изображения для сферы. Обращаясь к рисунку, мы хотим найти потенциал внутри заземленная сфера радиуса рс центром в начале координат за счет точечного заряда внутри сфера в позиции ${\displaystyle \mathbf {p} }$ (Для противоположного случая, когда потенциал вне сферы из-за заряда вне сферы, метод применяется аналогичным образом). На рисунке это обозначено зеленой точкой. Позволять q быть обвинением этой точки. Изображение этого заряда относительно заземленной сферы показано красным цветом. Он несет ответственность за q '= - qR / p и лежит на линии, соединяющей центр сферы и внутренний заряд в векторной позиции ${\displaystyle (R^{2}/p^{2})\mathbf {p} }$. Видно, что потенциал в точке, заданной радиус-вектором ${\displaystyle \mathbf {r} }$ только за счет обоих зарядов дается суммой потенциалов:

${\displaystyle 4\pi \epsilon _{0}V(\mathbf {r} )={\frac {q}{|\mathbf {r} _{1}|}}+{\frac {(-qR/p)}{|\mathbf {r} _{2}|}}={\frac {q}{\sqrt {r^{2}+p^{2}-2\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} }}}+{\frac {(-qR/p)}{\sqrt {r^{2}+{\frac {R^{4}}{p^{2}}}-{\frac {2R^{2}}{p^{2}}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} }}}}$

Умножение на крайнее правое выражение дает:

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {q}{\sqrt {r^{2}+p^{2}-2\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} }}}-{\frac {q}{\sqrt {{\frac {r^{2}p^{2}}{R^{2}}}+R^{2}-2\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} }}}\right]}$

и видно, что на поверхности сферы (т.е. когда r = R) потенциал обращается в нуль. Таким образом, потенциал внутри сферы определяется приведенным выше выражением для потенциала двух зарядов. Этот потенциал НЕ будет действителен вне сферы, поскольку заряд изображения на самом деле не существует, а скорее «заменяет» поверхностные плотности заряда, индуцированные на сфере внутренним зарядом при ${\displaystyle \mathbf {p} }$. Потенциал вне заземленной сферы будет определяться только распределением заряда вне сферы и не будет зависеть от распределения заряда внутри сферы. Если для простоты предположить (без ограничения общности), что внутренний заряд лежит на оси z, то плотность индуцированного заряда будет просто функцией полярный угол θ и определяется как:

${\displaystyle \sigma (\theta )=\epsilon _{0}{\frac {\partial V}{\partial r}}{\Bigg |}_{r=R}={\frac {-q(R^{2}-p^{2})}{4\pi R(R^{2}+p^{2}-2pR\cos \theta )^{3/2}}}}$

Полный заряд на сфере может быть найден интегрированием по всем углам:

${\displaystyle Q_{t}=\int _{0}^{\pi }d\theta \int _{0}^{2\pi }d\phi \,\,\sigma (\theta )R^{2}\sin \theta =-q}$

Обратите внимание, что обратная задача также решается этим методом. Если у нас есть заряд q в векторной позиции ${\displaystyle \mathbf {p} }$ вне заземленной сферы радиуса р, потенциал вне сферы определяется суммой потенциалов заряда и заряда его изображения внутри сферы. Как и в первом случае, заряд изображения будет иметь заряд -qR / p и будет располагаться в векторной позиции ${\displaystyle (R^{2}/p^{2})\mathbf {p} }$. Потенциал внутри сферы будет зависеть только от истинного распределения заряда внутри сферы. В отличие от первого случая интеграл будет иметь значение -qR / p.

Электрические дипольные моменты

Образ электрический точечный диполь немного сложнее. Если диполь изображен в виде двух больших зарядов, разделенных небольшим расстоянием, то изображение диполя не только будет иметь заряды, измененные описанной выше процедурой, но также будет изменено расстояние между ними. Следуя описанной выше процедуре, обнаруживается, что диполь с дипольным моментом ${\displaystyle M\,}$ в векторной позиции ${\displaystyle \mathbf {p} }$ лежащий внутри сферы радиуса р будет иметь изображение, расположенное в векторной позиции ${\displaystyle (R^{2}/p^{2})\mathbf {p} }$ (т.е. так же, как и для простого заряда) и будет иметь простой заряд:

${\displaystyle q'={\frac {R\mathbf {p} \cdot \mathbf {M} }{p^{3}}}}$

и дипольный момент:

${\displaystyle \mathbf {M} '=\left({\frac {R}{p}}\right)^{3}\left[-\mathbf {M} +{\frac {2\mathbf {p} (\mathbf {p} \cdot \mathbf {M} )}{p^{2}}}\right]}$

Метод инверсии

Метод изображений для сферы непосредственно ведет к методу инверсии.^[5] Если у нас есть гармоническая функция позиции ${\displaystyle \Phi (r,\theta ,\phi )}$ куда ${\displaystyle r,\theta ,\phi }$ являются сферические координаты положения, то изображение этой гармонической функции в сфере радиуса р о происхождении будет

${\displaystyle \Phi '(r,\theta ,\phi )={\frac {R}{r}}\Phi \left({\frac {R^{2}}{r}},\theta ,\phi \right)}$

Если потенциал ${\displaystyle \Phi }$ возникает из набора зарядов величины ${\displaystyle q_{i}\,}$ на позициях ${\displaystyle (r_{i},\theta _{i},\phi _{i})\,}$, то потенциал изображения будет результатом серии зарядов величиной ${\displaystyle Rq_{i}/r_{i}\,}$ на позициях ${\displaystyle (R^{2}/r_{i},\theta _{i},\phi _{i})\,}$. Отсюда следует, что если потенциал ${\displaystyle \Phi }$ возникает из-за плотности заряда ${\displaystyle \rho (r,\theta ,\phi )\,}$, то потенциал изображения будет результатом плотности заряда ${\displaystyle \rho '(r,\theta ,\phi )=(R/r)^{5}\rho (R^{2}/r,\theta ,\phi )\,}$.

Смотрите также

• Преобразование Кельвина
• Закон Кулона
• Теорема расходимости
• Поток
• Гауссова поверхность
• Принцип отражения Шварца
• Теорема единственности для уравнения Пуассона

Рекомендации

1. Гриффитс, Дэвид Дж. (2013). Введение в электродинамику (4-е изд.). Пирсон. п. 121. ISBN  978-0-321-85656-2.
2. Джинсы 1908, п. 186
3. Джексон 1962, п. 111
4. Тихонов, Андрей Н.; Самарский, Александр А. (1963). Уравнения математической физики. Нью-Йорк: Dover Publications. п. 354. ISBN  0-486-66422-8.
5. Джексон 1962, п. 35 год

• Джексон, Джон Д. (1962). Классическая электродинамика. Джон Уайли и сыновья.
• Джинсы, Джеймс Х. (1908). Математическая теория электричества и магнетизма. Издательство Кембриджского университета.

дальнейшее чтение

• Фейнман, Ричард; Лейтон, Роберт Б.; Пески, Мэтью (1989). Лекции Фейнмана по физике, В основном электромагнетизм и материя. Эддисон-Уэсли. ISBN  0-201-51003-0.
• Ландау, Лев Д.; Лифшиц, Евгений М.; Питаевский, Лев П. (1960). Электродинамика сплошных сред, 2-е издание. Лондон: Эльзевир. ISBN  978-0-7506-2634-7.
• Перселл, Эдвард М. Курс физики Беркли, Том 2: Электричество и магнетизм (2-е изд.). Макгроу-Хилл.