Уравнение Пуассона - Poissons equation - Wikipedia

Симеон Дени Пуассон

Уравнение Пуассона является эллиптическое уравнение в частных производных широкого применения в теоретическая физика. Например, решением уравнения Пуассона является потенциальное поле, вызванное заданным электрическим зарядом или распределением плотности массы; зная потенциальное поле, можно вычислить электростатическое или гравитационное (силовое) поле. Это обобщение Уравнение Лапласа, что также часто встречается в физике. Уравнение названо в честь французского математика и физика. Симеон Дени Пуассон.^[1][2]

Постановка уравнения

Уравнение Пуассона имеет вид

${\displaystyle \Delta \varphi =f}$

куда ${\displaystyle \Delta }$ это Оператор Лапласа, и ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle \varphi }$ находятся настоящий или же сложный -значен функции на многообразие. Обычно, ${\displaystyle f}$ дан и ${\displaystyle \varphi }$ ищется. Когда коллектор Евклидово пространство, оператор Лапласа часто обозначается как ∇² и поэтому уравнение Пуассона часто записывается как

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =f.}$

В трехмерном Декартовы координаты, он принимает вид

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).}$

Когда ${\displaystyle f=0}$ тождественно получаем Уравнение Лапласа.

Уравнение Пуассона можно решить с помощью Функция Грина:

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} )=-\iiint {\frac {f(\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\!r',}$

где интеграл ведется по всему пространству. Общее изложение функции Грина для уравнения Пуассона дается в статье о экранированное уравнение Пуассона. Существуют различные методы численного решения, такие как метод релаксации, итерационный алгоритм.

Ньютоновская гравитация

Основные статьи: гравитационное поле и Закон Гаусса для гравитации

В случае гравитационного поля грамм из-за притягивающего массивного объекта плотности ρ, Закон Гаусса для гравитации в дифференциальной форме может быть использован для получения соответствующего уравнения Пуассона для гравитации,

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho ~.}$

Поскольку гравитационное поле консервативно (и безвихревый ), его можно выразить через скалярный потенциал Φ,

${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \phi ~.}$

Подставляя в закон Гаусса

${\displaystyle \nabla \cdot (-\nabla \phi )=-4\pi G\rho }$

дает Уравнение Пуассона для гравитации,

${\displaystyle {\nabla }^{2}\phi =4\pi G\rho .}$

Если плотность массы равна нулю, уравнение Пуассона сводится к уравнению Лапласа. В соответствующая функция Грина можно использовать для расчета потенциала на расстоянии р из центральной точечной массы м (т.е. фундаментальное решение ). В третьем измерении потенциал равен

${\displaystyle \phi (r)={\dfrac {-Gm}{r}}.}$

что эквивалентно Закон всемирного тяготения Ньютона.

Электростатика

Основная статья: Электростатика

Один из краеугольных камней электростатика ставит и решает задачи, описываемые уравнением Пуассона. Решение уравнения Пуассона сводится к нахождению электрический потенциал φ для данного обвинять распределение ${\displaystyle \rho _{f}}$.

Математические детали уравнения Пуассона в электростатике следующие (SI единицы используются, а не Гауссовы единицы, которые также часто используются в электромагнетизм ).

Начиная с Закон Гаусса за электричество (также один из Уравнения Максвелла ) в дифференциальной форме имеем

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}}$

куда ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot }$ это оператор дивергенции, D = электрическое поле смещения, и ρ_ж = свободный заряд объем плотность (с описанием предъявленных извне обвинений).

Предполагая, что среда линейная, изотропная и однородная (см. плотность поляризации ) имеем конститутивное уравнение,

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} }$

куда ε = диэлектрическая проницаемость среды и E = электрическое поле.

Подставляя это в закон Гаусса и принимая ε пространственно постоянна в интересующей области дает

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon }}~.}$

куда ${\displaystyle {\rho }}$ - полная объемная плотность заряда. В электростатическом поле мы предполагаем, что магнитное поле отсутствует (следующий аргумент справедлив и при наличии постоянного магнитного поля). Тогда у нас есть это

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =0,}$

где ∇ × - оператор curl и т самое время. Это уравнение означает, что мы можем записать электрическое поле как градиент скалярной функции φ (называемый электрическим потенциалом), поскольку ротор любого градиента равен нулю. Таким образом, мы можем написать,

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi ,}$

где знак минус введен так, чтобы φ определяется как потенциальная энергия на единицу заряда.

Вывести уравнение Пуассона в этих условиях несложно. Подставляя градиент потенциала для электрического поля,

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot (-\nabla \varphi )=-{\nabla }^{2}\varphi ={\frac {\rho }{\varepsilon }},}$

непосредственно производит Уравнение Пуассона для электростатики, которая

${\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi =-{\frac {\rho }{\varepsilon }}.}$

Решение уравнения Пуассона для потенциала требует знания распределения плотности заряда. Если плотность заряда равна нулю, то Уравнение Лапласа полученные результаты. Если плотность заряда соответствует Распределение Больцмана, то Уравнение Пуассона-Больцмана полученные результаты. Уравнение Пуассона – Больцмана играет роль в развитии Теория Дебая – Хюккеля разбавленных растворов электролитов.

Используя функцию Грина, потенциал на расстоянии р от центральной точки заряда Q (то есть: фундаментальное решение):

${\displaystyle \varphi (r)={\dfrac {Q}{4\pi \varepsilon r}}.}$

который Закон электростатики Кулона. (По историческим причинам и в отличие от модели гравитации выше, ${\displaystyle 4\pi }$ фактор появляется здесь, а не в законе Гаусса.)

Приведенное выше обсуждение предполагает, что магнитное поле не изменяется во времени. То же уравнение Пуассона возникает, даже если оно меняется во времени, пока Кулоновский калибр используется. В этом более общем контексте вычисления φ уже недостаточно для расчета E, поскольку E также зависит от магнитный векторный потенциал А, которые необходимо вычислить независимо. Видеть Уравнение Максвелла в потенциальной формулировке для получения дополнительной информации φ и А в уравнениях Максвелла и как в этом случае получается уравнение Пуассона.

Потенциал гауссовой плотности заряда

Если есть статический сферически-симметричный Гауссовский плотность заряда

${\displaystyle \rho _{f}(r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})},}$

куда Q - полный заряд, то решение φ(р) уравнения Пуассона,

${\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi =-{\rho _{f} \over \varepsilon }}$,

дан кем-то

${\displaystyle \varphi (r)={1 \over 4\pi \varepsilon }{\frac {Q}{r}}\,{\mbox{erf}}\left({\frac {r}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)}$

где erf (Икс) это функция ошибки.

Это решение можно проверить явно, вычислив ∇²φ.

Обратите внимание, что для р намного больше, чем σфункция erf приближается к единице, а потенциал φ(р) приближается к точечный заряд потенциал

${\displaystyle \varphi \approx {1 \over 4\pi \varepsilon }{Q \over r}}$,

как и следовало ожидать. Более того, функция erf очень быстро приближается к 1 по мере увеличения аргумента; на практике для р > 3σ относительная погрешность меньше одной тысячи.

Реконструкция поверхности

Реконструкция поверхности - это обратная задача. Цель состоит в том, чтобы в цифровом виде восстановить гладкую поверхность по большому количеству точек. п_я (а облако точек ), где каждая точка также несет оценку локального нормальная поверхность п_я.^[3] Уравнение Пуассона можно использовать для решения этой проблемы с помощью метода, называемого реконструкцией поверхности Пуассона.^[4]

Цель этой техники - реконструировать неявная функция ж значение которого равно нулю в точках п_я и градиент которого в точках п_я равен нормальным векторам п_я. Набор (п_я, п_я) таким образом моделируется как непрерывный вектор поле V. Неявная функция ж найден интеграция векторное поле V. Поскольку не каждое векторное поле является градиент функции, проблема может иметь или не иметь решения: необходимое и достаточное условие для гладкого векторного поля V быть градиентом функции ж это то завиток из V должен быть тождественно нулевым. В случае, если это условие трудно наложить, можно выполнить наименьших квадратов подходит, чтобы минимизировать разницу между V и градиент ж.

Чтобы эффективно применить уравнение Пуассона к задаче восстановления поверхности, необходимо найти хорошую дискретизацию векторного поля V. Основной подход - связать данные с сеткой конечных разностей. Для функции, оцениваемой в узлах такой сетки, ее градиент может быть представлен как оцененный на шахматных сетках, то есть на сетках, узлы которых лежат между узлами исходной сетки. Удобно определить три сетки, расположенные в шахматном порядке, каждая из которых смещена в одном и только в одном направлении, соответствующем компонентам нормальных данных. На каждой шахматной сетке мы выполняем [трилинейную интерполяцию] на множестве точек. Затем веса интерполяции используются для распределения величины соответствующего компонента п_я на узлы конкретной шахматной ячейки сетки, содержащей п_я. Каждан с соавторами предлагают более точный метод дискретизации с использованием адаптивной конечно-разностной сетки, то есть ячейки сетки меньше (сетка более мелко разделена) там, где больше точек данных.^[4] Предлагают реализовать эту технику с помощью адаптивного октодерево.

Динамика жидкостей

Для несжимаемого Уравнения Навье – Стокса, предоставленный:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial {\bf {v}} \over {\partial t}}+{\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}&=-{1 \over {\rho }}\nabla p+\nu \Delta {\bf {v}}+{\bf {g}}\\\nabla \cdot {\bf {v}}&=0\end{aligned}}}$

Уравнение для поля давления ${\displaystyle p}$ является примером нелинейного уравнения Пуассона:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta p&=-\rho \nabla \cdot ({\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}})\\&=-\rho (\nabla {\bf {v}})^{T}:\nabla {\bf {v}}\equiv -\rho \|\nabla {\bf {v}}\|_{F}^{2}\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle \|\cdot \|_{F}}$ это Норма Фробениуса.

Смотрите также

• Дискретное уравнение Пуассона
• Уравнение Пуассона – Больцмана.
• Уравнение Гельмгольца
• Теорема единственности для уравнения Пуассона
• Слабая формулировка

Рекомендации

1. Джексон, Джулия А .; Mehl, James P .; Нойендорф, Клаус К. Э., ред. (2005), Глоссарий геологии, Американский геологический институт, Springer, стр. 503, г. ISBN  9780922152766
2. Пуассон (1823 г.). "Mémoire sur la théorie du magnétisme en mouvement" [Воспоминания о теории магнетизма в движении]. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France (На французском). 6: 441–570.Из п. 463: "Donc, d'après ce qui précède, nous aurons enfin:
   ${\displaystyle {\frac {{\partial ^{2}}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {{\partial ^{2}}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {{\partial ^{2}}V}{\partial z^{2}}}=0,=-2k\pi ,=-4k\pi ,}$
   selon que le point M sera situé en dehors, à la surface ou en dedans du volume que l'on considère ». (Таким образом, согласно тому, что было сказано выше, мы, наконец, будем иметь:
   ${\displaystyle {\frac {{\partial ^{2}}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {{\partial ^{2}}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {{\partial ^{2}}V}{\partial z^{2}}}=0,=-2k\pi ,=-4k\pi ,}$
   в зависимости от того, находится ли точка M снаружи, на поверхности или внутри рассматриваемого объема.) V определяется (стр. 462) как:
   ${\displaystyle V=\iiint {\frac {k'}{\rho }}\,dx'\,dy'\,dz'}$
   где в случае электростатики интеграл проводится по объему заряженного тела, координаты точек, находящихся внутри или в объеме заряженного тела, обозначаются как ${\displaystyle (x',y',z')}$, ${\displaystyle k'}$ заданная функция ${\displaystyle (x',y,'z')}$ и в электростатике, ${\displaystyle k'}$ будет мерой плотности заряда, а ${\displaystyle \rho }$ определяется как длина радиуса, простирающегося от точки M до точки, лежащей внутри или на заряженном теле. Координаты точки M обозначим через ${\displaystyle (x,y,z)}$ и ${\displaystyle k}$ обозначает значение ${\displaystyle k'}$ (плотность заряда) при М.
3. Калакли, Фатих; Таубин, Габриэль (2011). «Реконструкция гладкой подписанной дистанционной поверхности» (PDF). Тихоокеанская Графика. 30 (7).
4. Каждан, Михаил; Болито, Мэтью; Хоппе, Хьюз (2006). «Реконструкция пуассоновской поверхности». Материалы четвертого симпозиума Eurographics по обработке геометрии (SGP '06). Еврографическая ассоциация, Aire-la-Ville, Швейцария. С. 61–70. ISBN  3-905673-36-3.

дальнейшее чтение

• Эванс, Лоуренс К. (1998). Уравнения с частными производными. Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое общество. ISBN  0-8218-0772-2.
• Мэтьюз, Джон; Уокер, Роберт Л. (1970). Математические методы физики (2-е изд.). Нью-Йорк: В. А. Бенджамин. ISBN  0-8053-7002-1.
• Полянин, Андрей Д. (2002). Справочник по линейным дифференциальным уравнениям с частными производными для инженеров и ученых. Бока-Ратон (Флорида): Chapman & Hall / CRC Press. ISBN  1-58488-299-9.

внешняя ссылка

• «Уравнение Пуассона», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Уравнение Пуассона в EqWorld: мир математических уравнений
• Уравнение Пуассона на PlanetMath.