Метод квантовых характеристик - Method of quantum characteristics - Wikipedia

Квантовые характеристики - траектории фазового пространства, возникающие в формулировка фазового пространства из квантовая механика сквозь Преобразование Вигнера операторов Гейзенберга канонических координат и импульсов. Эти траектории подчиняются уравнениям Гамильтона в квантовой форме и играют роль характеристики через которые могут быть выражены зависящие от времени символы квантовых операторов Вейля. в классический предел, квантовые характеристики сводятся к классическим траекториям. Знание квантовых характеристик эквивалентно знанию квантовой динамики.

Правило ассоциации Вейля-Вигнера

В Гамильтонова динамика, классические системы с ${\displaystyle n}$ степени свободы описываются ${\displaystyle 2n}$ канонические координаты и импульсы

${\displaystyle ^{\;}\xi ^{i}=(x^{1},...,x^{n},p_{1},...,p_{n})\in \mathbb {R} ^{2n},}$

образующие систему координат в фазовом пространстве. Эти переменные удовлетворяют Скобка Пуассона связи

${\displaystyle ^{\;}\{\xi ^{k},\xi ^{l}\}=-I^{kl}.}$

Кососимметричная матрица ${\displaystyle ^{\;}I^{kl}}$,

${\displaystyle \left\|I\right\|=\left\|{\begin{array}{ll}0&-E_{n}\\E_{n}&0\end{array}}\right\|,}$

куда ${\displaystyle ^{\;}E_{n}}$ это ${\displaystyle n\times n}$ единичная матрица, определяет невырожденную 2-форму в фазовом пространстве. При этом фазовое пространство приобретает структуру симплектическое многообразие. Фазовое пространство не является метрическим пространством, поэтому расстояние между двумя точками не определено. Скобку Пуассона двух функций можно интерпретировать как ориентированную область параллелограмма, смежные стороны которого являются градиентами этих функций. Вращения в Евклидово пространство оставьте расстояние между двумя точками неизменным. Канонические преобразования в симплектическом многообразии оставляем площади инвариантными.

В квантовой механике канонические переменные ${\displaystyle ^{\;}\xi }$ связаны с операторами канонических координат и импульсов

${\displaystyle {\hat {\xi }}^{i}=({\hat {x}}^{1},...,{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}_{1},...,{\hat {p}}_{n})\in \operatorname {Op} (L^{2}(\mathbb {R} ^{n})).}$

Эти операторы действуют в Гильбертово пространство и подчиняться коммутационным соотношениям

${\displaystyle [{\hat {\xi }}^{k},{\hat {\xi }}^{l}]=-i\hbar I^{kl}.}$

Weyl’s правило ассоциации^[1] расширяет переписку ${\displaystyle \xi ^{i}\rightarrow {\hat {\xi }}^{i}}$ произвольным функциям и операторам фазового пространства.

Расширение Тейлора

Правило односторонней ассоциации ${\displaystyle f(\xi )\to {\hat {f}}}$ был сформулирован Вейлем первоначально с помощью Расширение Тейлора функций операторов канонических переменных

${\displaystyle {\hat {f}}=f({\hat {\xi }})\equiv \sum _{s=0}^{\infty }{\frac {1}{s!}}{\frac {\partial ^{s}f(0)}{\partial \xi ^{i_{1}}...\partial \xi ^{i_{s}}}}{\hat {\xi }}^{i_{1}}...{\hat {\xi }}^{i_{s}}.}$

Операторы ${\displaystyle {\hat {\xi }}}$ не коммутируют, поэтому разложение Тейлора не определено однозначно. В приведенном выше рецепте используются симметризованные произведения операторов. Действительные функции соответствуют эрмитовым операторам. Функция ${\displaystyle ^{\;}f(\xi )}$ называется символом Вейля оператора ${\displaystyle {\hat {f}}}$.

Под обратной связью ${\displaystyle f(\xi )\leftarrow {\hat {f}}}$, то матрица плотности обращается к Функция Вигнера.^[2]Функции Вигнера находят множество приложений в квантовой физике многих тел, кинетической теории, теории столкновений, квантовой химии.

Уточненная версия правила ассоциации Вейля-Вигнера предложена Гроенвольдом.^[3] и Стратонович.^[4]

Операторская база

Множество операторов, действующих в гильбертовом пространстве, замкнуто относительно умножения операторов на ${\displaystyle c}$-числа и суммирование. Такой набор составляет векторное пространство ${\displaystyle \mathbb {V} }$. Правило ассоциации, сформулированное с использованием разложения Тейлора, сохраняет операции над операторами. Соответствие можно проиллюстрировать следующей схемой:

${\displaystyle \left.{\begin{array}{c}{\begin{array}{c}\left.{\begin{array}{ccc}f(\xi )&\longleftrightarrow &{\hat {f}}\\g(\xi )&\longleftrightarrow &{\hat {g}}\\c\times f(\xi )&\longleftrightarrow &c\times {\hat {f}}\\f(\xi )+g(\xi )&\longleftrightarrow &{\hat {f}}+{\hat {g}}\end{array}}\right\}\;{\text{vector space}}\;\;\mathbb {V} \end{array}}\\{\begin{array}{ccc}{f(\xi )\star g(\xi )}&{\longleftrightarrow }&\;\;{{\hat {f}}{\hat {g}}}\end{array}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\end{array}}\right\}{\text{algebra}}}$

Здесь, ${\displaystyle ^{\;}f(\xi )}$ и ${\displaystyle ^{\;}g(\xi )}$ функции и ${\displaystyle {\hat {f}}}$ и ${\displaystyle {\hat {g}}}$ являются ассоциированными операторами.

Элементы основы ${\displaystyle ^{\;}\mathbb {V} }$ помечены каноническими переменными ${\displaystyle ^{\;}\xi _{i}}$. Обычно используемый базис Греневольда-Стратоновича выглядит как

${\displaystyle {\hat {B}}(\xi )=\int {\frac {d^{2n}\eta }{(2\pi \hbar )^{n}}}\exp(-{\frac {i}{\hbar }}\eta _{k}(\xi -{\hat {\xi }})^{k})\in \mathbb {V} .}$

Правило двусторонней ассоциации Вейля-Вигнера для функции ${\displaystyle ^{\;}f(\xi )}$ и оператор ${\displaystyle {\hat {f}}}$ имеет форму

${\displaystyle f(\xi )=\operatorname {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {f}}],}$

${\displaystyle {\hat {f}}=\int {\frac {d^{2n}\xi }{(2\pi \hbar )^{n}}}f(\xi ){\hat {B}}(\xi ).}$

Функция ${\displaystyle ^{\;}f(\xi )}$ предоставляет координаты оператора ${\displaystyle {\hat {f}}}$ в основе ${\displaystyle {\hat {B}}(\xi )}$. Основание полное и ортогональное:

${\displaystyle \int {\frac {d^{2n}\xi }{(2\pi \hbar )^{n}}}{\hat {B}}(\xi )\operatorname {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {f}}]={\hat {f}},}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {B}}(\xi ^{\prime })]=(2\pi \hbar )^{n}\delta ^{2n}(\xi -\xi ^{\prime }).}$

Обсуждаются также альтернативные операторские базы.^[5]Свобода выбора операторного базиса более известна как проблема упорядочения операторов. Координаты траекторий частиц в фазовом пространстве зависят от операторного базиса.

Звездный продукт

Набор операторов ${\displaystyle Op(L^{2}(\mathbb {R} ^{n}))}$ замкнуто относительно умножения операторов. Векторное пространство ${\displaystyle \mathbb {V} }$ тем самым наделяется структурой ассоциативной алгебры. Учитывая две функции

${\displaystyle f(\xi )=Tr[{\hat {B}}(\xi ){\hat {f}}]~~\mathrm {and} ~~g(\xi )=Tr[{\hat {B}}(\xi ){\hat {g}}],}$

можно построить третью функцию

${\displaystyle f(\xi )\star g(\xi )=Tr[{\hat {B}}(\xi ){\hat {f}}{\hat {g}}]}$

называется ${\displaystyle \star }$-товар.^[3]Это явно задается

${\displaystyle f(\xi )\star g(\xi )=f(\xi )\exp({\frac {i\hbar }{2}}{\mathcal {P}})g(\xi ).}$

куда

${\displaystyle {\mathcal {P}}=-{I}^{kl}{\overleftarrow {\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}}{\overrightarrow {\frac {\partial }{\partial \xi ^{l}}}}}$

- оператор Пуассона. В ${\displaystyle \star }$-продукт разбивается на симметричную и кососимметричную части

${\displaystyle f\star g=f\circ g+{\frac {i\hbar }{2}}f\wedge g.}$

В ${\displaystyle \circ }$-продукт не ассоциативен. В классическом пределе ${\displaystyle \circ }$-продукт становится скалярным продуктом. Кососимметричная часть ${\displaystyle f\wedge g}$ известен под именем Кронштейн Мойял. ^[6] Это символ коммутатора Вейля. В классическом пределе скобка Мойала становится скобкой Пуассона. Кронштейн Мойял квантовая деформация скобки Пуассона.

Квантовые характеристики

Переписка ${\displaystyle \xi \leftrightarrow {\hat {\xi }}}$ показывает, что преобразования координат в фазовом пространстве сопровождаются преобразованиями операторов канонических координат и импульсов и наоборот. Позволять ${\displaystyle \mathbf {\hat {U}} }$ - оператор эволюции,

${\displaystyle {\hat {U}}=\exp {\Bigl (}-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\tau {\Bigr )},}$

и ${\displaystyle {\hat {H}}}$ гамильтоново. Рассмотрим следующую схему:

${\displaystyle \xi {\stackrel {q}{\longrightarrow }}{\acute {\xi }}}$

${\displaystyle \updownarrow \;\;\;\;\;\;\updownarrow }$

${\displaystyle {\hat {\xi }}{\stackrel {\hat {U}}{\longrightarrow }}{\acute {\hat {\xi }}},}$

Квантовая эволюция преобразует векторы в гильбертовом пространстве и, согласно правилу ассоциации Вигнера, координаты в фазовом пространстве. В Представительство Гейзенберга, операторы канонических переменных преобразуются как

${\displaystyle {\hat {\xi }}^{i}\rightarrow {\acute {{\hat {\xi }}^{i}}}={\hat {U}}^{+}{\hat {\xi }}^{i}{\hat {U}}.}$

Координаты фазового пространства ${\displaystyle {\acute {\xi }}^{i}}$ которые соответствуют новым операторам ${\displaystyle {\acute {{\hat {\xi }}^{i}}}}$ в старом основании ${\displaystyle {\hat {B}}(\xi )}$ даны

${\displaystyle \xi ^{i}\rightarrow {\acute {\xi }}^{i}=q^{i}(\xi ,\tau )=Tr[{\hat {B}}(\xi ){\hat {U}}^{+}{\hat {\xi }}^{i}{\hat {U}}],}$

с начальными условиями

${\displaystyle ^{\;}q^{i}(\xi ,0)=\xi ^{i}.}$

Функции ${\displaystyle ^{\;}q^{i}(\xi ,\tau )}$ определять квантовый фазовый поток. В общем случае он каноничен до первого порядка по ${\displaystyle \tau }$.^[7]

Звездная функция

Набор операторов канонических переменных является полным в том смысле, что любой оператор может быть представлен как функция операторов ${\displaystyle {\hat {\xi }}}$. Трансформации

${\displaystyle {\hat {f}}\rightarrow {\acute {\hat {f}}}={\hat {U}}^{+}{\hat {f}}{\hat {U}}}$

индуцировать согласно правилу ассоциации Вигнера преобразования функций фазового пространства:

${\displaystyle f(\xi ){\stackrel {q}{\longrightarrow }}{\acute {f}}(\xi )=Tr[{\hat {B}}(\xi ){\hat {U}}^{+}{\hat {f}}{\hat {U}}]}$

${\displaystyle \updownarrow \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\updownarrow }$

${\displaystyle {\hat {f}}\;\;\;\;{\stackrel {\hat {U}}{\longrightarrow }}\,{\acute {\hat {f}}}\;\;\;\;\;={\hat {U}}^{+}{\hat {f}}{\hat {U}}}$

Используя разложение Тейлора, преобразование функции ${\displaystyle ^{\;}f(\xi )}$ при эволюции можно найти

${\displaystyle f(\xi )\rightarrow {\acute {f}}(\xi )\equiv Tr[{\hat {B}}(\xi ){\hat {U^{+}}}f({\hat {\xi }}){\hat {U}}]=\sum _{s=0}^{\infty }{\frac {1}{s!}}{\frac {\partial ^{s}f(0)}{\partial \xi ^{i_{1}}...\partial \xi ^{i_{s}}}}q^{i_{1}}(\xi ,\tau )\star ...\star q^{i_{s}}(\xi ,\tau )\equiv f(\star q(\xi ,\tau )).}$

Составная функция, определенная таким образом, называется ${\displaystyle \star }$-функция. Закон композиции отличается от классического. Однако полуклассическое расширение ${\displaystyle f(\star q(\xi ,\tau ))}$ вокруг ${\displaystyle f(q(\xi ,\tau ))^{\;}}$ формально хорошо определен и включает четные степени ${\displaystyle \hbar }$ Только. Это уравнение показывает, что при построении квантовых характеристик физические наблюдаемые могут быть найдены без дальнейшего обращения к гамильтониану. Функции ${\displaystyle ^{\;}q^{i}(\xi ,\tau )}$ играть роль характеристик^[8] аналогично классические характеристики используется для решения классических Уравнение Лиувилля.

Квантовое уравнение Лиувилля

Преобразование Вигнера эволюционного уравнения для матрицы плотности в представлении Шредингера приводит к квантовому уравнению Лиувилля для функции Вигнера. Преобразование Вигнера эволюционного уравнения для операторов в представлении Гейзенберга,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}{\hat {f}}=-{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {f}},{\hat {H}}],}$

приводит к тому же уравнению с напротив знака (плюс) в правой части:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}f(\xi ,\tau )=f(\xi ,\tau )\wedge H(\xi ).}$

${\displaystyle \star }$-функция решает это уравнение в терминах квантовых характеристик:

${\displaystyle f(\xi ,\tau )=f(\star q(\xi ,\tau ),0).}$

Точно так же эволюция функции Вигнера в представлении Шредингера определяется выражением

${\displaystyle W(\xi ,\tau )=W(\star q(\xi ,-\tau ),0).}$

В Теорема Лиувилля классической механики не работает до такой степени, что локально плотность «вероятности» в фазовом пространстве не сохраняется во времени.

Квантовые уравнения Гамильтона

Квантовые уравнения Гамильтона можно получить, применяя преобразование Вигнера к уравнениям эволюции операторов Гейзенберга канонических координат и импульсов.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}q^{i}(\xi ,\tau )=\{\zeta ^{i},H(\zeta )\}|_{\zeta =\star q(\xi ,\tau )}.}$

Правая часть рассчитывается как в классической механике. Однако составная функция ${\displaystyle \star }$-функция. В ${\displaystyle \star }$-продукт нарушает каноничность фазового потока сверх первого порядка по ${\displaystyle \tau }$.

Консервация брекета Мойял

Антисимметричные произведения четного числа операторов канонических переменных являются c-числами как следствие коммутационных соотношений. Эти произведения остаются инвариантными с помощью унитарных преобразований и, в частности,

${\displaystyle q^{i}(\xi ,\tau )\wedge q^{j}(\xi ,\tau )=\xi ^{i}\wedge \xi ^{j}=-{I}^{ij}.}$

Преобразования фазового пространства, индуцированные оператором эволюции, сохраняют скобку Мойала и не сохраняют скобку Пуассона, поэтому отображение эволюции

${\displaystyle \xi \rightarrow {\acute {\xi }}=q(\xi ,\tau ),}$

не каноничен.^[8] Свойства преобразования канонических переменных и функций фазового пространства при унитарных преобразованиях в гильбертовом пространстве имеют важные отличия от случая канонических преобразований в фазовом пространстве:

Закон о составе

Квантовые характеристики вряд ли можно визуально рассматривать как траектории движения физических частиц. Причина кроется в законе звездного состава.

${\displaystyle q(\xi ,\tau _{1}+\tau _{2})=q(\star q(\xi ,\tau _{1}),\tau _{2}),}$

который нелокален и отличается от закона композиции точек классической механики.

Энергосбережение

Сохранение энергии подразумевает

${\displaystyle H(\xi )=H(\star q(\xi ,\tau ))}$,

куда

${\displaystyle H(\xi )=Tr[{\hat {B}}(\xi ){\hat {H}}]}$

- функция Гамильтона. В обычном геометрическом смысле ${\displaystyle ^{\;}H(\xi )}$ не сохраняется по квантовым характеристикам.

Резюме

Происхождение метода характеристик восходит к матричной механике Гейзенберга. Предположим, что мы решили в матричной механике уравнения эволюции операторов канонических координат и импульсов в представлении Гейзенберга. Эти операторы эволюционируют согласно

${\displaystyle {\hat {\xi }}^{i}\rightarrow {\hat {\xi }}^{i}(\tau )={\hat {U}}^{+}{\hat {\xi }}^{i}{\hat {U}}.}$

Известно, что для любого оператора ${\displaystyle {\hat {f}}}$ можно найти функцию f (ξ), через которую${\displaystyle {\hat {f}}}$ представлен в виде ${\displaystyle f({\hat {\xi }})}$. Тот же оператор ${\displaystyle {\hat {f}}}$ в момент времени τ равно

${\displaystyle {\hat {f}}(\tau )=U^{+}{\hat {f}}U=U^{+}f({\hat {\xi }})U=f(U^{+}{\hat {\xi }}U)=f({\hat {\xi }}(\tau )).}$

Это уравнение показывает, что ${\displaystyle {\hat {\xi }}(\tau )}$ являются характеристиками, определяющими эволюцию всех операторов в Op(L²(р^п)). Это свойство полностью передается фазовому пространству при квантовании деформации и в пределе час → 0, в классическая механика.

КЛАССИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА против КВАНТОВОЙ ДИНАМИКИ

Уравнение Лиувилля
PDE первого порядка	УЧП бесконечного порядка
${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}\rho (\xi ,\tau )=-\{\rho (\xi ,\tau ),{\mathcal {H}}(\xi )\}}$	${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}W(\xi ,\tau )=-W(\xi ,\tau )\wedge H(\xi )}$
Уравнения Гамильтона
ОДУ конечного порядка	УЧП бесконечного порядка
${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}c^{i}(\xi ,\tau )=\{\zeta ^{i},{\mathcal {H}}(\zeta )\}|_{\zeta =c(\xi ,\tau )}}$	${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}q^{i}(\xi ,\tau )=\{\zeta ^{i},H(\zeta )\}|_{\zeta =\star q(\xi ,\tau )}}$
Первоначальные условия	Первоначальные условия
${\displaystyle ^{\;}c^{i}(\xi ,0)=\xi ^{i}}$	${\displaystyle ^{\;}q^{i}(\xi ,0)=\xi ^{i}}$
Закон о составе
Точечная композиция	${\displaystyle \star }$-сочинение
${\displaystyle ^{\;}c(\xi ,\tau _{1}+\tau _{2})=c(c(\xi ,\tau _{1}),\tau _{2})}$	${\displaystyle q(\xi ,\tau _{1}+\tau _{2})=q(\star q(\xi ,\tau _{1}),\tau _{2})}$
Инвариантность
Скобка Пуассона	Кронштейн Мойял
${\displaystyle ^{\;}\{c^{i}(\xi ,\tau ),c^{j}(\xi ,\tau )\}=\{\xi ^{i},\xi ^{j}\}}$	${\displaystyle q^{i}(\xi ,\tau )\wedge q^{j}(\xi ,\tau )=\xi ^{i}\wedge \xi ^{j}}$
Энергосбережение
Точечная композиция	${\displaystyle \star }$-сочинение
${\displaystyle ^{\;}H(\xi )=H(c(\xi ,\tau ))}$	${\displaystyle ^{\;}H(\xi )=H(\star q(\xi ,\tau ))}$
Решение уравнения Лиувилля
Точечная композиция	${\displaystyle \star }$-сочинение
${\displaystyle ^{\;}\rho (\xi ,\tau )=\rho (c(\xi ,-\tau ),0)}$	${\displaystyle ^{\;}W(\xi ,\tau )=W(\star q(\xi ,-\tau ),0)}$

В таблице сравниваются свойства характеристик в классической и квантовой механике. PDE и ODE указывают уравнения в частных производных и обыкновенные дифференциальные уравнения, соответственно. Квантовое уравнение Лиувилля представляет собой преобразование Вейля-Вигнера эволюционного уравнения фон Неймана для матрицы плотности в Представление Шредингера. Квантовые уравнения Гамильтона представляют собой преобразования Вейля-Вигнера эволюционных уравнений для операторов канонических координат и импульсов в Представительство Гейзенберга.

В классических системах характеристики ${\displaystyle ^{\;}c^{i}(\xi ,\tau )}$ обычно удовлетворяют ОДУ первого порядка, например, классическим уравнениям Гамильтона, и решают ОДУ первого порядка, например, классическое уравнение Лиувилля. Функции ${\displaystyle ^{\;}q^{i}(\xi ,\tau )}$ тоже характеристики, несмотря на то, что ${\displaystyle ^{\;}q^{i}(\xi ,\tau )}$ и ${\displaystyle ^{\;}f(\xi ,\tau )}$ подчиняющиеся УЧП бесконечного порядка.

Квантовый фазовый поток содержит всю информацию о квантовой эволюции. Квазиклассическое разложение квантовых характеристик и ${\displaystyle \star }$-функции квантовых характеристик в степенном ряду в ${\displaystyle \hbar }$ позволяет вычислять средние значения зависящих от времени физических наблюдаемых путем решения связанной системы ОДУ конечного порядка для траекторий фазового пространства и полей Якоби.^[9][10] Порядок системы ОДУ зависит от усечения степенного ряда.Эффект туннелирования непертурбативен в ${\displaystyle \hbar }$ и не охвачен расширением. Плотность квантовой вероятностной жидкости не сохраняется в фазовом пространстве, поскольку квантовая жидкость диффундирует. ^[6]Следовательно, квантовые характеристики необходимо отличать от обеих траекторий движения теория де Бройля - Бома ^[11] и траектории метода интегралов по путям в фазовом пространстве для амплитуд ^[12]и функция Вигнера.^[13][14] К настоящему времени только несколько квантовых систем решены явно с использованием метода квантовых характеристик.^[15][16]

Смотрите также

• Метод характеристик
• Преобразование Вигнера – Вейля
• Теория деформации
• Функция распределения Вигнера
• Модифицированная функция распределения Вигнера
• Распределение квазивероятностей Вигнера
• Отрицательная вероятность

Рекомендации

1. Вейль, Х. (1927). "Quantenmechanik und gruppentheorie". Zeitschrift für Physik. 46 (1–2): 1–46. Bibcode:1927ZPhy ... 46 .... 1Вт. Дои:10.1007 / BF02055756.
2. Вигнер, Э. (1932). «О квантовой поправке за термодинамическое равновесие». Физический обзор. 40 (5): 749–759. Bibcode:1932PhRv ... 40..749Вт. Дои:10.1103 / PhysRev.40.749. HDL:10338.dmlcz / 141466.
3. Groenewold, H.J. (1946). «О принципах элементарной квантовой механики». Physica. 12 (7): 405–460. Bibcode:1946Phy .... 12..405G. Дои:10.1016 / S0031-8914 (46) 80059-4.
4. Стратонович Р. Л., Сов. Phys. ЖЭТФ 4, 891 (1957).
5. Мехта, К. Л. (1964). "Фазово-пространственная формулировка динамики канонических переменных". Журнал математической физики. 5 (5): 677–686. Bibcode:1964JMP ..... 5..677M. Дои:10.1063/1.1704163.
6. Мойал, Дж. Э. (1949). «Квантовая механика как статистическая теория». Математические труды Кембриджского философского общества. 45 (1): 99–124. Bibcode:1949PCPS ... 45 ... 99M. Дои:10.1017 / S0305004100000487.
7. П. А. М. Дирак, Принципы квантовой механики, Первое издание (Oxford: Clarendon Press, 1930).
8. Криворученко, М. И .; Фесслер, А. (2007). «Символы Вейля операторов Гейзенберга канонических координат и импульсов как квантовые характеристики». Журнал математической физики. 48 (5): 052107. arXiv:Quant-ph / 0604075. Bibcode:2007JMP .... 48e2107K. Дои:10.1063/1.2735816.
9. Криворученко, М. И .; Fuchs, C .; Фесслер, А. (2007). «Квазиклассическое разложение квантовых характеристик для задачи потенциального рассеяния многих тел». Annalen der Physik. 519 (9): 587–614. arXiv:ядерный / 0605015. Bibcode:2007AnP ... 519..587K. Дои:10.1002 / andp.200610251.
10. Максимов, С. (2009). «Об особой картине динамической эволюции нелинейных квантовых систем в фазовом представлении». Physica D. 238 (18): 1937–1950. Bibcode:2009PhyD..238.1937M. Дои:10.1016 / j.physd.2009.07.001.
11. П. Р. Холланд, Квантовая теория движения: описание причинной интерпретации де Бройля-Бома квантовой механики, (Издательство Кембриджского университета, 1993), ISBN  0-521-35404-8.
12. Березин, Ф.А. (1980). «Интегралы Фейнмана по траекториям в фазовом пространстве». Успехи СССР.. 23 (11): 763–788. Bibcode:1980СвФУ..23..763Б. Дои:10.1070 / PU1980v023n11ABEH005062.
13. Маринов, М. С. (1991). «Новый тип интеграла по траекториям в фазовом пространстве». Письма о физике A. 153 (1): 5–11. Bibcode:1991ФЛА..153 .... 5М. Дои:10.1016/0375-9601(91)90352-9.
14. Вонг, К. Ю. (2003). «Явное решение временной эволюции функции Вигнера». Журнал оптики B: Квантовая и полуклассическая оптика. 5 (3): S420 – S428. arXiv:Quant-ph / 0210112. Bibcode:2003JOptB ... 5S.420W. Дои:10.1088/1464-4266/5/3/381.
15. Браунс, Г. (2013). «Квантовая динамика в фазовом пространстве: Мои траектории 2». Журнал математической физики. 54 (1): 012105. Bibcode:2013JMP .... 54a2105B. Дои:10.1063/1.4773229.
16. Браунс, Г. (2017). «Квантовая динамика в фазовом пространстве: Мои траектории 3». Журнал математической физики. 58 (6): 062104. Bibcode:2017JMP .... 58f2104B. Дои:10.1063/1.4984592.

Учебники

• Х. Вейль, Теория групп и квантовая механика, (Dover Publications, New York Inc., 1931).
• В. И. Арнольд, Математические методы классической механики, (2-е изд. Springer-Verlag, New York Inc., 1989).
• Карасев М.В. и Маслов В.П., Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование. Переводы математических монографий, 119. (Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1993).