Милнор К-теория - Milnor K-theory

В математика, Милнор К-теория инвариант поля определяется Джон Милнор  (1970 ). Первоначально рассматривался как приближение к алгебраическая K-теория К-теория Милнора оказалась самостоятельным важным инвариантом.

Определение

В расчет K₂ поля к Хидэя Мацумото привели Милнора к следующему, казалось бы, наивному определению понятия «высшее». K-группы поля F:

${\displaystyle K_{*}^{M}(F):=T^{*}F^{\times }/(a\otimes (1-a)),}$

частное от тензорная алгебра над целыми числами мультипликативная группа ${\displaystyle F^{\times }}$ посредством двусторонний идеал создано:

${\displaystyle \left\{a\otimes (1-a):0,1\neq a\in F\right\}.}$

В пth Милнор К-групп ${\displaystyle K_{n}^{M}(F)}$ это пй оцененный кусок этого градуированное кольцо; Например, ${\displaystyle K_{0}^{M}(F)=\mathbb {Z} }$ и ${\displaystyle K_{1}^{M}(F)=F^{\times }.}$ Существует естественный гомоморфизм

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)\to K_{n}(F)}$

от K-групп Милнора поля к Дэниел Квиллен K-группы, что является изоморфизмом для п ≤ 2, но не для больших п, в целом. Для ненулевых элементов ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ в F, то символ ${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$ в ${\displaystyle K_{n}^{M}(F)}$ означает изображение а₁ ⊗ ... ⊗ а_п в тензорной алгебре. Каждый элемент K-теории Милнора можно записать в виде конечной суммы символов. Дело в том, что {а, 1−а} = 0 дюйм ${\displaystyle K_{2}^{M}(F)}$за а в F - {0,1} иногда называют Соотношение Стейнберга.

Кольцо ${\displaystyle K_{*}^{M}(F)}$ является градуированный коммутативный.^[1]

Примеры

У нас есть ${\displaystyle K_{n}^{M}(\mathbb {F} _{q})=0}$ зап > 2, а ${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {C} )}$ является бесчисленный однозначно делимая группа.^[2] Также, ${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {R} )}$ это прямая сумма из циклическая группа из порядок 2 и несчетная однозначно делимая группа; ${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {Q} _{p})}$ прямая сумма мультипликативной группы ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ и несчетная однозначно делимая группа; ${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {Q} )}$ является прямой суммой циклической группы порядка 2 и циклических групп порядка ${\displaystyle p-1}$ для всех нечетных простых чисел ${\displaystyle p}$.

Приложения

K-теория Милнора играет фундаментальную роль в теория поля высшего класса, заменяя ${\displaystyle K_{1}^{M}(F)=F^{\times }}$ в одномерном теория поля классов.

К-теория Милнора вписывается в более широкий контекст мотивационные когомологии, через изоморфизм

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)\cong H^{n}(F,\mathbb {Z} (n))}$

K-теории Милнора поля с некоторой группой мотивных когомологий.^[3] В этом смысле кажущееся специальным определение K-теории Милнора становится теоремой: некоторые мотивные группы когомологий поля могут быть явно вычислены с помощью генераторов и соотношений.

Гораздо более глубокий результат - гипотеза Блоха-Като (также называемая теорема об изоморфизме вычетов по норме ), связывает K-теорию Милнора с Когомологии Галуа или же этальные когомологии:

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)/r\cong H_{\mathrm {et} }^{n}(F,\mathbb {Z} /r(n)),}$

для любого положительного целого числа р обратимый в поле F. Это было доказано Владимир Воеводский, при участии Маркус Рост и другие.^[4] Сюда входит теорема Александр Меркурьев и Андрей Суслин и Гипотеза Милнора как частные случаи (случаи, когда ${\displaystyle n=2}$ и ${\displaystyle r=2}$, соответственно).

Наконец, существует связь между K-теорией Милнора и квадратичные формы. Для поля F из характеристика не 2, определить фундаментальный идеал я в Кольцо Witt квадратичных форм над F быть ядром гомоморфизма ${\displaystyle W(F)\to \mathbb {Z} /2}$ задается размерностью квадратичной формы по модулю 2. Милнор определил гомоморфизм:

${\displaystyle {\begin{cases}K_{n}^{M}(F)/2\to I^{n}/I^{n+1}\\\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}\mapsto \langle \langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle \rangle =\langle 1,-a_{1}\rangle \otimes \cdots \otimes \langle 1,-a_{n}\rangle \end{cases}}}$

куда ${\displaystyle \langle \langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\rangle \rangle }$ обозначает класс п-складывать Форма Пфистера.^[5]

Орлов, Вишик и Воеводский доказали другое утверждение, называемое гипотезой Милнора, а именно, что этот гомоморфизм ${\displaystyle K_{n}^{M}(F)/2\to I^{n}/I^{n+1}}$ является изоморфизмом.^[6]

Смотрите также

• Адзумая алгебра

Рекомендации

1. Гилле и Самуэли (2006), стр. 184.
2. Абелева группа - это однозначно делимый если это векторное пространство над рациональное число.
3. Мацца, Воеводский, Вейбель (2005), теорема 5.1.
4. Воеводского (2011).
5. Эльман, Карпенко, Меркурьев (2008), разделы 5 и 9. Б.
6. Орлов, Вишик, Воеводский (2007).

• Элман, Ричард; Карпенко, Никита; Меркурьев Александр (2008), Алгебраическая и геометрическая теория квадратичных форм, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-4329-1, МИСТЕР  2427530
• Жиль, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006). Центральные простые алгебры и когомологии Галуа. Кембриджские исследования в области высшей математики. 101. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-86103-9. МИСТЕР  2266528. Zbl  1137.12001.
• Мацца, Карло; Воеводский, Владимир; Вейбель, Чарльз (2006), Лекции по мотивационной когомологии, Clay Mathematical Monographs, Vol. 2, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-3847-1, МИСТЕР  2242284
• Милнор, Джон Уиллард (1970), с приложением Дж. Тейт, "Алгебраическая K-теория и квадратичные формы », Inventiones Mathematicae, 9: 318–344, Bibcode:1970InMat ... 9..318M, Дои:10.1007 / BF01425486, ISSN  0020-9910, МИСТЕР  0260844, Zbl  0199.55501
• Орлов Дмитрий; Вишик, Александр; Воеводский, Владимир (2007), "Точная последовательность для K_*^M/ 2 с приложениями к квадратичным формам », Анналы математики, 165: 1–13, arXiv:математика / 0101023, Дои:10.4007 / annals.2007.165.1, МИСТЕР  2276765
• Воеводский, Владимир (2011), «О мотивационных когомологиях с Z / l-коэффициентами», Анналы математики, 174 (1): 401–438, arXiv:0805.4430, Дои:10.4007 / летопись.2011.174.1.11, МИСТЕР  2811603