Форма Пфистера - Pfister form

В математика, а Форма Пфистера это особый вид квадратичная форма, представлен Альбрехт Пфистер в 1965 г. В дальнейшем квадратичные формы рассматриваются над поле F из характеристика не 2. Для натурального числа п, n-кратная форма Пфистера над F является квадратичной формой размерности 2^п это можно записать как тензорное произведение квадратичных форм

${\displaystyle \langle \!\langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\rangle \!\rangle \cong \langle 1,-a_{1}\rangle \otimes \langle 1,-a_{2}\rangle \otimes \cdots \otimes \langle 1,-a_{n}\rangle ,}$

для некоторых ненулевых элементов а₁, ..., а_п из F.^[1] (Некоторые авторы опускают знаки в этом определении; обозначения здесь упрощают отношение к Милнор К-теория, обсуждается ниже.) п-кратная форма Пфистера также может быть построена индуктивно по (п-1) -кратная форма Пфистера q и ненулевой элемент а из F, в качестве ${\displaystyle q\oplus (-a)q}$.

Итак, 1-кратная и 2-кратная формы Pfister выглядят так:

${\displaystyle \langle \!\langle a\rangle \!\rangle \cong \langle 1,-a\rangle =x^{2}-ay^{2}}$.

${\displaystyle \langle \!\langle a,b\rangle \!\rangle \cong \langle 1,-a,-b,ab\rangle =x^{2}-ay^{2}-bz^{2}+abw^{2}.}$

За п ≤ 3, п-складчатые формы Пфистера являются нормальными формами композиционные алгебры.^[2] В этом случае два п-складные формы Pfister изоморфный тогда и только тогда, когда соответствующие композиционные алгебры изоморфны. В частности, это дает классификацию октонионные алгебры.

В п-сложенные формы Pfister аддитивно генерируют п-я степень я^п фундаментального идеала Кольцо Witt из F.^[2]

Характеристики

Квадратичная форма q над полем F является мультипликативный если для векторов неопределенных Икс и у, мы можем написать q(Икс).q(у) = q(z) для некоторого вектора z из рациональные функции в Икс и у над F. Изотропные квадратичные формы мультипликативны.^[3] За анизотропные квадратичные формы, Формы Пфистера мультипликативны, и наоборот.^[4]

За пскладывать формы Pfister с п ≤ 3, известно с XIX века; в таком случае z можно считать билинейным в Икс и у, по свойствам композиционных алгебр. Пфистер сделал замечательное открытие: пскладные формы Pfister для всех п являются здесь мультипликативными в более общем смысле, включая рациональные функции. Например, он вывел, что для любого поля F и любое натуральное число п, набор сумм 2^п квадраты в F замкнута относительно умножения, используя квадратичную форму ${\displaystyle x_{1}^{2}+\cdots +x_{2^{n}}^{2}}$является п-складная форма Пфистера (а именно, ${\displaystyle \langle \!\langle -1,\ldots ,-1\rangle \!\rangle }$).^[5]

Еще одна поразительная особенность форм Пфистера заключается в том, что каждая изотропная форма Пфистера на самом деле гиперболическая, то есть изоморфна прямой сумме копий гиперболической плоскости. ${\displaystyle \langle 1,-1\rangle }$. Это свойство также характеризует формы Пфистера следующим образом. Если q является анизотропной квадратичной формой над полем F, и если q становится гиперболическим над каждым полем расширения E такой, что q становится изотропным по E, тогда q изоморфен аφ для некоторого ненулевого а в F и некоторая форма Пфистера φ над F.^[6]

Связь с K-теория

Позволять k_п(F) быть п-й Милнор K-группа по модулю 2. Имеется гомоморфизм из k_п(F) к частному я^п/я^п+1 в кольце Витта F, данный

${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}\mapsto \langle \!\langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\rangle \!\rangle ,}$

где изображение пскладная форма Пфистера.^[7] Гомоморфизм сюръективен, поскольку формы Пфистера аддитивно порождают я^п. Одна часть Гипотеза Милнора, доказано Орловым, Вишиком и Воеводский, утверждает, что этот гомоморфизм на самом деле является изоморфизмом k_п(F) ≅ я^п/я^п+1.^[8] Это дает явное описание абелевой группы я^п/я^п+1 генераторами и отношениями. Другая часть гипотезы Милнора, доказанная Воеводским, гласит, что k_п(F) (и поэтому я^п/я^п+1) изоморфно отображается в Когомологии Галуа группа ЧАС^п(F, F₂).

Соседи Пфистера

А Пфистер сосед является анизотропной формой σ, которая изоморфна подформе аφ для некоторого ненулевого а в F и некоторая форма Пфистера φ с dim φ <2 dim σ.^[9] Ассоциированная форма Пфистера φ определяется с точностью до изоморфизма по σ. Каждая анизотропная форма размерности 3 является соседом Пфистера; анизотропная форма размерности 4 является соседом Пфистера тогда и только тогда, когда ее дискриминант в F^*/(F^*)² тривиально.^[10] Поле F обладает тем свойством, что любая пятимерная анизотропная форма над F является соседом Пфистера тогда и только тогда, когда он связанное поле.^[11]

Примечания

1. Эльман, Карпенко, Меркурьев (2008), раздел 9.B.
2. Лам (2005) стр. 316
3. Лам (2005) стр. 324
4. Лам (2005) стр. 325
5. Лам (2005) стр. 319
6. Эльман, Карпенко, Меркурьев (2008), следствие 23.4.
7. Эльман, Карпенко, Меркурьев (2008), раздел 5.
8. Орлов, Вишик, Воеводский (2007).
9. Эльман, Карпенко, Меркурьев (2008), Определение 23.10.
10. Лам (2005) стр. 341
11. Лам (2005) стр. 342

Рекомендации

• Элман, Ричард; Карпенко, Никита; Меркурьев Александр (2008), Алгебраическая и геометрическая теория квадратичных форм, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-4329-1, МИСТЕР  2427530
• Лам, Цит-Юэн (2005), Введение в квадратичные формы над полями, Аспирантура по математике, 67, Американское математическое общество, ISBN  0-8218-1095-2, МИСТЕР  2104929, Zbl  1068.11023, Гл. 10
• Орлов Дмитрий; Вишик, Александр; Воеводский, Владимир (2007), "Точная последовательность для K_*^M/ 2 с приложениями к квадратичным формам », Анналы математики, 165: 1–13, arXiv:математика / 0101023, Дои:10.4007 / annals.2007.165.1, МИСТЕР  2276765