Теорема Мороуса - Moreaus theorem - Wikipedia

В математика, Теорема Моро это результат выпуклый анализ. Это показывает, что достаточно хорошо воспитанный выпуклые функционалы на Гильбертовы пространства дифференцируемы, а производная хорошо аппроксимируется так называемым Приближение Иосиды, который определяется в терминах оператор резольвенты.

Формулировка теоремы

Позволять ЧАС - гильбертово пространство и пусть φ : ЧАС → р ∪ {+ ∞} быть правильный, выпуклые и нижний полунепрерывный расширенный функционал с действительными значениями на ЧАС. Позволять А стоять для ∂φ, то субпроизводный из φ; за α > 0 пусть J_α обозначим резольвенту:

${\displaystyle J_{\alpha }=(\mathrm {id} +\alpha A)^{-1};}$

и разреши А_α обозначить Приближение Иосиды к А:

${\displaystyle A_{\alpha }={\frac {1}{\alpha }}(\mathrm {id} -J_{\alpha }).}$

Для каждого α > 0 и Икс ∈ ЧАС, позволять

${\displaystyle \varphi _{\alpha }(x)=\inf _{y\in H}{\frac {1}{2\alpha }}\|y-x\|^{2}+\varphi (y).}$

потом

${\displaystyle \varphi _{\alpha }(x)={\frac {\alpha }{2}}\|A_{\alpha }x\|^{2}+\varphi (J_{\alpha }(x))}$

и φ_α выпуклый и Дифференцируемый по Фреше с производной dφ_α = А_α. Также для каждого Икс ∈ ЧАС (точечно), φ_α(Икс) сходится вверх к φ(Икс) в качестве α → 0.

Рекомендации

• Шоуолтер, Ральф Э. (1997). Монотонные операторы в банаховом пространстве и нелинейные уравнения в частных производных. Математические обзоры и монографии 49. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. 162–163. ISBN  0-8218-0500-2. МИСТЕР1422252 (Предложение IV.1.8)