Сеть (математика) - Net (mathematics)

Эта статья о сетях в топологических пространствах. О развертках многогранников см. Сеть (многогранник).

В математика, более конкретно в общая топология и смежные отрасли, a сеть или же Последовательность Мура – ​​Смита является обобщением понятия последовательность. По сути, последовательность - это функция с доменом натуральные числа, а в контексте топологии codomain этой функции обычно любая топологическое пространство. Однако в контексте топологии последовательности не полностью кодируют всю информацию о функции между топологическими пространствами. В частности, следующие два условия в общем случае не эквивалентны для отображения ж между топологическими пространствами Икс и Y:

1. Карта ж является непрерывный в топологическом смысле;
2. Учитывая любую точку Икс в Икс, и любая последовательность в Икс сходится к Икс, состав ж с этой последовательностью сходится к ж(Икс) (непрерывный в последовательном смысле).

Однако верно, что условие 1 влечет за собой условие 2. Трудность, возникающая при попытке доказать, что из условия 2 следует условие 1, заключается в том, что топологические пространства, в общем, не исчисляемый первым Если бы на рассматриваемые топологические пространства была наложена аксиома первой счетности, два вышеуказанных условия были бы эквивалентны. В частности, эти два условия эквивалентны для метрические пространства.

Назначение концепции сети, впервые введенной Э. Х. Мур и Герман Л. Смит в 1922 г.,^[1] состоит в том, чтобы обобщить понятие последовательности, чтобы подтвердить эквивалентность условий (с заменой «последовательность» на «net» в условии 2). В частности, вместо того, чтобы быть определенным на счетный линейно упорядоченный множество, сеть определяется на произвольной направленный набор. В частности, это позволяет теоремам, аналогичным утверждениям об эквивалентности условия 1 и условия 2, иметь место в контексте топологических пространств, которые не обязательно имеют счетное или линейно упорядоченное основа соседства вокруг точки. Следовательно, в то время как последовательности не кодируют достаточную информацию о функциях между топологическими пространствами, сети это делают, потому что наборы открытых множеств в топологических пространствах очень похожи на направленные наборы в поведении. Термин «сеть» был введен Джон Л. Келли.^[2][3]

Сети - один из многих инструментов, используемых в топология обобщить определенные концепции, которые могут быть достаточно общими только в контексте метрические пространства. Родственное понятие, понятие фильтр, был разработан в 1937 г. Анри Картан.

Определение

Пусть A будет направленный набор с отношением предварительного заказа ≥ и Икс быть топологическим пространством с топологией Т. Функция е: А → Х считается сеть.

Если А - направленное множество, мы часто пишем сеть из А к Икс в виде (Икс_α), что выражает тот факт, что элемент α из А отображается на элемент Икс_α в Икс.

А подсеть это не просто ограничение сети ж к направленному подмножеству А; см. определение на связанной странице.

Примеры сетей

Каждый непустой полностью заказанный набор направлено. Следовательно, каждая функция на таком множестве является сеткой. В частности, натуральные числа с обычным порядком образуют такой набор, а последовательность является функцией натуральных чисел, поэтому каждая последовательность является сетью.

Другой важный пример заключается в следующем. Учитывая точку Икс в топологическом пространстве, пусть N_Икс обозначим множество всех окрестности содержащий Икс. потом N_Икс - направленное множество, где направление задается обратным включением, так что S ≥ Т если и только если S содержится в Т. За S в N_Икс, позволять Икс_S быть точкой в S. Потом (Икс_S) является сеткой. В качестве S возрастает по ≥, точки Икс_S в сети вынуждены лежать в убывающих окрестностях Икс, так интуитивно говоря, мы приходим к мысли, что Икс_S должен стремиться к Икс в каком-то смысле. Мы можем уточнить эту ограничивающую концепцию.

Пределы сетей

Если Икс_• = (Икс_α)_{α ∈ А} сеть из направленного множества А в Икс, и если S это подмножество Икс, то мы говорим, что Икс_• является в конце концов в S (или же остаточно в S), если существует α ∈ А так что для каждого β ∈ А с β ≥ α, смысл Икс_β лежит в S.

Если Икс_• = (Икс_α)_{α ∈ А} сеть в топологическом пространстве Икс и Икс ∈ Икс тогда мы говорим, что сеть сходится к / к Икс, это имеет предел Икс, мы называем Икс а предел (точка) из Икс_•, и писать

Икс_• → Икс        или же        Икс_α → Икс        или же        Lim Икс_• → Икс        или же        Lim Икс_α → Икс

если и только если)

для каждого район U из Икс, Икс_• в конечном итоге в U.

Если Lim Икс_• → Икс и если этот предел Икс уникальна (уникальность означает, что если Lim Икс_• → у тогда обязательно Икс = у), то этот факт можно указать, написав

Lim Икс_• = Икс        или же        Lim Икс_α = Икс

вместо Lim Икс_• → Икс.^[4] В Пространство Хаусдорфа, каждая сеть имеет не более одного предела, поэтому предел сходящейся сети в хаусдорфовом пространстве всегда уникален.^[4] Некоторые авторы вместо этого используют обозначение "Lim Икс_• = Икс " значить Lim Икс_• → Икс сиз также требуется, чтобы ограничение было уникальным; однако, если это обозначение определено таким образом, то знак равенства = больше не гарантируется, чтобы обозначать переходные отношения и поэтому больше не означает равенство (например, если Икс, у ∈ Икс различны, а также оба предела Икс_• тогда несмотря на Lim Икс_• = Икс и Lim Икс_• = у записывается со знаком равенства =, это нет правда что Икс = у).

Интуитивно сходимость этой сети означает, что значения Икс_α приходи и оставайся так близко, как мы хотим Икс для достаточно большого α. Пример сети, приведенный выше на система соседства точки Икс действительно сходится к Икс согласно этому определению.

Учитывая подоснование B для топологии на Икс (где обратите внимание, что каждый основание для топологии также является подбазой) и с учетом точки Икс ∈ Икс, Чистая (Икс_α) в Икс сходится к Икс тогда и только тогда, когда это будет в каждом районе U ∈ B из Икс. Эта характеристика распространяется на подосновы соседства (а также базы соседства ) данной точки Икс.

Примеры пределов сетей

• Предел последовательности и предел функции: Смотри ниже.
• Пределы сетей Суммы Римана, в определении Интеграл Римана. В этом примере направленный набор - это набор перегородки интервала интеграции, частично упорядоченной включением.

Дополнительные определения

Пусть φ - сеть на Икс на основе направленного набора D и разреши А быть подмножеством Икс, то φ называется часто в (или же окончательно в) А если для каждого α из D существует некоторое β ≥ α, β в D, так что φ (β) принадлежит А.

Точка Икс в Икс считается точка накопления или же кластерная точка сети тогда (и только тогда, когда) для каждой окрестности U из Икс, сеть часто бывает в U.

Сеть φ на множестве Икс называется универсальный, или ультранет если для каждого подмножества А из Икс, либо φ в конечном итоге находится в А или φ в конечном итоге находится в Икс − А.

Примеры

Последовательность в топологическом пространстве

Последовательность (а₁, а₂, ...) в топологическом пространстве V можно считать сетью в V определено на N.

Сеть в конечном итоге попадает в подмножество Y из V если существует N в N так что для каждого п ≥ N, смысл а_п в Y.

У нас есть лим_п а_п = L тогда и только тогда, когда для каждого района Y из L, сеть в конечном итоге оказывается в Y.

Сеть часто входит в подмножество Y из V если и только если для каждого N в N есть некоторые п ≥ N такой, что а_п в Y, то есть тогда и только тогда, когда бесконечно много элементов последовательности находятся в Y. Таким образом, точка у в V является точкой кластера сети тогда и только тогда, когда каждая окрестность Y из у содержит бесконечно много элементов последовательности.

Функция из метрического пространства в топологическое пространство

Рассмотрим функцию из метрического пространства M в топологическое пространство V, и точка c из M. Мы направляем набор M{c} обратно в зависимости от расстояния от c, то есть отношение "имеет по крайней мере такое же расстояние до c как ", так что" достаточно большой "по отношению к отношению означает" достаточно близко к c". Функция ж это сеть в V определено на M{c}.

Сеть ж в конечном итоге входит в подмножество Y из V если существует а в M  {c} такой, что для каждого Икс в M  {c} с d (Икс,c) ≤ d (а,c) точка f (Икс) в Y.

У нас есть лим_{Икс → c} ж(Икс) = L тогда и только тогда, когда для каждого района Y из L, ж в конечном итоге в Y.

Сеть ж часто входит в подмножество Y из V если и только если для каждого а в M  {c} существует несколько Икс в M  {c} с d(Икс,c) ≤ d (а,c) такие, что f (x) в Y.

Точка у в V кластерная точка сети ж тогда и только тогда, когда для каждого района Y из у, сеть часто бывает в Y.

Функция из упорядоченного множества в топологическое пространство

Рассмотрим упорядоченный набор [0, c] с предельной точкой c, а функция ж из [0, c) в топологическое пространство V. Эта функция представляет собой сеть на [0, c).

В конечном итоге это подмножество Y из V если существует а в [0,c) такой, что для каждого Икс ≥ а, смысл ж(Икс) в Y.

У нас есть лим_{Икс → c} ж(Икс) = L тогда и только тогда, когда для каждого района Y из L, ж в конечном итоге в Y.

Сеть ж часто входит в подмножество Y из V если и только если для каждого а в [0,c) существует несколько Икс в [а, c) такие, что ж(Икс) в Y.

Точка у в V это кластерная точка сети ж тогда и только тогда, когда для каждого района Y из у, сеть часто бывает в Y.

Первый пример является частным случаем этого с c = ω.

Смотрите также порядково-индексированная последовательность.

Характеристики

Практически все концепции топологии можно перефразировать на языке сетей и пределов. Это может быть полезно для руководства интуицией, поскольку понятие предела сети очень похоже на понятие ограничения сети. предел последовательности. Следующий набор теорем и лемм помогает укрепить это сходство:

• Подгруппа S ⊆ Икс открыто тогда и только тогда, когда нет сети в Икс ∖ S сходится к точке S.^[5] Именно эта характеристика открытых подмножеств позволяет сетям характеризовать топологии.
• Если U это подмножество Икс, тогда Икс находится в закрытие из U тогда и только тогда, когда существует сеть (Икс_α) с лимитом Икс и такой, что Икс_α в U для всех α.
• Подмножество А из Икс закрыто тогда и только тогда, когда, всякий раз, когда (Икс_α) - сеть с элементами в А и ограничить Икс, тогда Икс в А.
• Функция ж : Икс → Y между топологическими пространствами непрерывный в момент Икс тогда и только тогда, когда для каждой сети (Икс_α) с

Lim Икс_α = Икс

у нас есть

Lim ж(Икс_α) = ж(Икс).

Эта теорема в общем случае неверна, если мы заменим «сеть» на «последовательность». Мы должны учитывать больше направленных множеств, чем просто натуральные числа, если Икс не является исчисляемый первым (или нет последовательный ).

Доказательство

Одно направление: Пусть f непрерывна в точке x, и пусть (xα) - сеть такая, что lim (xα) = х. Тогда для любой открытой окрестности U точки f (x) ее прообраз через f, V является окрестностью точки x (в силу непрерывности f в точке x). Таким образом интерьер точки V, int (V), является открытой окрестностью точки x и, следовательно, (xα) в конечном итоге находится в int (V). Следовательно, f (xα) в конечном итоге находится в f (int (V)) и, следовательно, также в конечном итоге в f (V), которое является подмножеством U. Таким образом, lim f (xα) = f (x), и это направление доказано. Другое направление: Пусть x - такая точка, что для каждой сети (xα) такое, что lim (xα) = x, lim f (xα) = f (x). Теперь предположим, что f не непрерывна в точке x. Тогда есть район U функции f (x), прообраз которой при отображении f, V не является окрестностью точки x. Однако обратите внимание, что, поскольку f (x) находится в U, x находится в V. Теперь множество открытых окрестностей x с сдерживание предварительный заказ - это направленный набор (поскольку пересечение любых двух таких окрестностей также является открытой окрестностью точки x). Строим сеть (xα) такая, что для любой открытой окрестности точки x с индексом α, xα - точка в этой окрестности, не принадлежащая V; То, что такая точка существует всегда, следует из того факта, что никакая открытая окрестность точки x не содержится в V (поскольку по нашему предположению V не является окрестностью точки x). Отсюда следует, что f (xα) не находится в U. Теперь для любой открытой окрестности W точки x эта окрестность является членом направленного множества, индекс которого мы обозначим α0. Для любого β ≥ α0, член направленного множества с индексом β содержится в W; поэтому xβ принадлежит W. Таким образом, lim (xα) = x и по нашему предположению lim f (xα) = f (x). Но int (U) - открытая окрестность f (x) и, значит, f (xα) в конечном итоге находится в int (U), а значит, и в U, что противоречит f (xα), не принадлежащий U ни для какого α. Таким образом, мы пришли к противоречию и вынуждены заключить, что f непрерывна по x. Так что доказано и другое направление.

• В общем, сетка в пространстве Икс может иметь более одного ограничения, но если Икс это Пространство Хаусдорфа, предел сети, если он существует, уникален. Наоборот, если Икс не хаусдорфова, то на Икс с двумя четкими пределами. Таким образом, единственность предела равна эквивалент условию Хаусдорфа на пространстве, и это действительно можно принять за определение. Этот результат зависит от условия направленности; набор, проиндексированный генералом Предварительный заказ или же частичный заказ могут иметь различные предельные точки даже в хаусдорфовом пространстве.
• Множество узловых точек сети равно множеству пределов ее сходящейся подсети.

Доказательство

Позволять Икс быть топологическим пространством, А направленный набор, ${displaystyle langle x_{alpha }angle _{alpha in A}}$ быть сетью в Икс, и ${displaystyle yin X.}$ Легко видеть, что если у это предел подсети ${displaystyle langle x_{alpha }angle _{alpha in A}}$, тогда у это кластерная точка ${displaystyle langle x_{alpha }angle _{alpha in A}}$. Наоборот, предположим, что у это кластерная точка ${displaystyle langle x_{alpha }angle _{alpha in A}}$.Позволять B быть множеством пар ${displaystyle (U,alpha )}$ куда U открытый район у в Икс и ${displaystyle alpha in A}$ таково, что ${displaystyle x_{alpha }in U}$.Карта ${displaystyle h:B o A}$ отображение ${displaystyle (U,alpha )}$ к ${displaystyle alpha }$ тогда конфинальна. B то заказ продукта (окрестности у упорядочены по включению) делает его направленным множеством, а сеть ${displaystyle langle y_{eta }angle _{eta in B}}$ определяется ${displaystyle y_{eta }=x_{h(eta )}}$ сходится к у.

• Сеть имеет ограничение тогда и только тогда, когда все ее подсети имеют ограничения. В этом случае каждый предел сети также является пределом каждой подсети.
• Пространство Икс является компактный тогда и только тогда, когда каждая сеть (Икс_α) в Икс имеет подсеть с ограничением в Икс. Это можно рассматривать как обобщение Теорема Больцано – Вейерштрасса и Теорема Гейне – Бореля.

Доказательство

Сначала предположим, что Икс компактный. Нам понадобится следующее наблюдение (см. Свойство конечного пересечения ). Позволять я быть любым набором и ${displaystyle {C_{i}}_{iin I}}$ быть набором замкнутых подмножеств Икс такой, что ${displaystyle igcap _{iin J}C_{i}eq emptyset }$ для каждого конечного ${displaystyle Jsubseteq I}$. потом ${displaystyle igcap _{iin I}C_{i}eq emptyset }$ также. Иначе, ${displaystyle {C_{i}^{c}}_{iin I}}$ было бы прикрытием для Икс без конечного подпокрытия, что противоречит компактности X. Позволять А быть направленным множеством и ${displaystyle langle x_{alpha }angle _{alpha in A}}$ быть сетью в ИКС. Для каждого ${displaystyle alpha in A}$ определять ${displaystyle E_{alpha } riangleq {x_{eta }:eta geq alpha }.}$ Коллекция ${displaystyle {operatorname {cl} (E_{alpha }):alpha in A}}$ обладает тем свойством, что каждая конечная подгруппа имеет непустое пересечение. Таким образом, согласно замечанию выше, мы имеем, что ${displaystyle igcap _{alpha in A}operatorname {cl} (E_{alpha })eq varnothing }$ и это в точности множество точек скопления ${displaystyle langle x_{alpha }angle _{alpha in A}}$. По указанному выше свойству он равен набору границ сходящихся подсетей ${displaystyle langle x_{alpha }angle _{alpha in A}}$. Таким образом ${displaystyle langle x_{alpha }angle _{alpha in A}}$ имеет конвергентную подсеть. Наоборот, предположим, что каждая сеть в Икс имеет конвергентную подсеть. Пусть для противоречия ${displaystyle {U_{i}:iin I}}$ быть открытой крышкой Икс без конечного дополнительного покрытия. Учитывать ${displaystyle D riangleq {Jsubset I:|J|<infty }}$. Заметьте, что D является направленным множеством при включении и для каждого ${displaystyle Cin D}$, существует ${displaystyle x_{C}in X}$ такой, что ${displaystyle x_{C}otin U_{a}}$ для всех ${displaystyle ain C}$. Рассмотрим сеть ${displaystyle langle x_{C}angle _{Cin D}}$. Эта сеть не может иметь конвергентную подсеть, потому что для каждой ${displaystyle xin X}$ Существует ${displaystyle cin I}$ такой, что ${displaystyle U_{c}}$ это район Икс; однако для всех ${displaystyle Bsupseteq {c}}$у нас есть это ${displaystyle x_{B}otin U_{c}}$. Противоречие завершает доказательство.

• Сеть в пространство продукта имеет предел тогда и только тогда, когда у каждой проекции есть предел. Символически, если (Икс_α) является сеткой в ​​продукте Икс = π_яИкс_я, то он сходится к Икс если и только если ${displaystyle pi _{i}(x_{alpha }) o pi _{i}(x)}$ для каждого я. Вооружившись этим наблюдением и приведенной выше характеристикой компактности в терминах сетей, можно дать отличное доказательство того, что Теорема Тихонова.
• Если ж : Икс → Y и (Икс_α) является ультрасетью на Икс, тогда (ж(Икс_α)) является ультрасетью на Y.

Сети Коши

А Сеть Коши обобщает понятие Последовательность Коши к сетям, определенным на равномерные пространства.^[6]

Чистая (Икс_α) является сетью Коши, если для каждого свита V существует такое γ, что для всех α, β ≥ γ, (Икс_α, Икс_β) является членом V.^[6][7] В общем, в Пространство Коши, Чистая (Икс_α) является Коши, если фильтр, порожденный сетью, является Фильтр Коши.

Отношение к фильтрам

Основная статья: Фильтры в топологии

А фильтр это еще одна идея в топологии, которая позволяет дать общее определение сходимости в общих топологических пространствах. Эти две идеи эквивалентны в том смысле, что они дают одну и ту же концепцию конвергенции.^[8] В частности, для каждого основание фильтра ан связанная сеть могут быть построены, и сходимость базы фильтра подразумевает сходимость ассоциированной сети - и наоборот (для каждой сети существует база фильтра, а сходимость сети подразумевает сходимость базы фильтра).^[9] Например, любая сеть ${displaystyle (x_{alpha })_{alpha in A}}$ в ${displaystyle X}$ индуцирует фильтрующую базу хвостов ${displaystyle {{x_{alpha }:alpha in A,alpha _{0}leq alpha }:alpha _{0}in A}}$ где фильтр в ${displaystyle X}$ генерируемый этой базой фильтров, называется сетью Фильтр случайностей. Это соответствие позволяет доказывать любую теорему, которая может быть доказана с помощью одного понятия, с помощью другого.^[9] Например, непрерывность функции из одного топологического пространства в другое может быть охарактеризована либо сходимостью сети в области, предполагающей сходимость соответствующей сети в области, либо тем же утверждением с базами фильтров.

Роберт Дж. Бартл утверждает, что, несмотря на их эквивалентность, полезно иметь обе концепции.^[9] Он утверждает, что сети достаточно похожи на последовательности, чтобы делать естественные доказательства и определения по аналогии с последовательностями, особенно те, которые используют последовательные элементы, такие как обычные анализ, а фильтры наиболее полезны в алгебраическая топология. В любом случае он показывает, как их можно использовать в комбинации для доказательства различных теорем в общая топология.

Предел высшего

Предел высшего и нижний предел сети действительных чисел может быть определен таким же образом, как и для последовательностей.^[10][11][12] Некоторые авторы работают даже с более общими структурами, чем реальная линия, такими как полные решетки.^[13]

Для сети ${displaystyle (x_{alpha })_{alpha in I}}$ мы положили

${displaystyle limsup x_{alpha }=lim _{alpha in I}sup _{eta succeq alpha }x_{eta }=inf _{alpha in I}sup _{eta succeq alpha }x_{eta }.}$

Верхний предел сети действительных чисел имеет много свойств, аналогичных случаю последовательностей, например

${displaystyle limsup(x_{alpha }+y_{alpha })leq limsup x_{alpha }+limsup y_{alpha },}$

где равенство выполняется всякий раз, когда одна из сетей сходится.

Смотрите также

• Характеризации категории топологических пространств
• Фильтры в топологии
• Предварительный заказ
• Последовательное пространство

Цитаты

1. Мур, Э.; Смит, Х. Л. (1922). «Общая теория пределов». Американский журнал математики. 44 (2): 102–121. Дои:10.2307/2370388. JSTOR  2370388.
2. (Сундстрём 2010, п. 16н)
3. Меггинсон, стр. 143
4. Келли 1975 С. 65-72. ошибка sfn: цель отсутствует: CITEREFKelley1975 (помощь)
5. Howes 1995 С. 83-92. Ошибка sfn: цель отсутствует: CITEREFHowes1995 (помощь)
6. Уиллард, Стивен (2012), Общая топология, Dover Книги по математике, Courier Dover Publications, стр. 260, ISBN  9780486131788.
7. Джоши, К. Д. (1983), Введение в общую топологию, New Age International, стр. 356, г. ISBN  9780852264447.
8. http://www.math.wichita.edu/~pparker/classes/handout/netfilt.pdf
9. Бартл Р.Г. Сети и фильтры в топологии, American Mathematical Monthly, Vol. 62, № 8 (1955), стр. 551–557.
10. Алипрантис-Бордер, стр. 32
11. Меггинсон, стр. 217, стр. 221, упражнения 2.53–2.55
12. Пиво, стр. 2
13. Schechter, разделы 7.43–7.47

Рекомендации

• Сундстрём, Маня Раман (2010). «Педагогическая история компактности». arXiv:1006.4131v1 [math.HO ].
• Алипрантис, Хараламбос Д.; Граница, Ким С. (2006). Бесконечный анализ измерений: путеводитель автостопом (3-е изд.). Берлин: Springer. С. XXII, 703. ISBN  978-3-540-32696-0. МИСТЕР  2378491.
• Пиво, Джеральд (1993). Топологии на замкнутых и замкнутых выпуклых множествах. Математика и ее приложения 268. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. С. xii, 340. ISBN  0-7923-2531-1. МИСТЕР  1269778.
• Хоус, Норман Р. (23 июня 1995 г.). Современный анализ и топология. Тексты для выпускников по математике. Нью-Йорк: Springer-Verlag Наука и деловые СМИ. КАК В  0387979867. ISBN  978-0-387-97986-1. OCLC  31969970.
• Келли, Джон Л. (1975). Общая топология. Тексты для выпускников по математике. 27. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-387-90125-1. OCLC  338047.
• Келли, Джон Л. (1991). Общая топология. Springer. ISBN  3-540-90125-6.
• Меггинсон, Роберт Э. (1998). Введение в теорию банахова пространства. Тексты для выпускников по математике. 193. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-98431-3.
• Шехтер, Эрик (1997). Справочник по анализу и его основам. Сан-Диего: Academic Press. ISBN  9780080532998. Получено 22 июн 2013.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам. Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Дуврские книги по математике (Первое изд.). Минеола, Нью-Йорк.: Dover Publications. ISBN  978-0-486-43479-7. OCLC  115240.
• "сеть". PlanetMath.