Открытая квантовая система - Open quantum system

В физика, открытая квантовая система это квант -механическая система, которая взаимодействует с внешним квантовая система, который известен как среда или ванна. В целом эти взаимодействия существенно изменяют динамику системы и приводят к квантовая диссипация, так что информация, содержащаяся в системе, теряется для окружающей среды. Поскольку ни одна квантовая система не изолирована полностью от своего окружения, важно разработать теоретическую основу для рассмотрения этих взаимодействий, чтобы получить точное представление о квантовых системах.

Методы, разработанные в контексте открытых квантовых систем, доказали свою эффективность в таких областях, как квантовая оптика, квантовая теория измерения, квант статистическая механика, квантовая информация наука, квантовая термодинамика, квантовая космология, квантовая биология, и полуклассические приближения.

Квантовая система и окружающая среда

Полное описание квантовой системы требует включения окружающей среды. Полное описание итоговой комбинированной системы требует включения ее среды, что приводит к новой системе, которую можно полностью описать только в том случае, если включена ее среда, и так далее. Конечным результатом этого процесса встраивания является состояние всей вселенной, описываемое волновая функция ${ displaystyle Psi}$ . Тот факт, что каждая квантовая система имеет некоторую степень открытости, также означает, что никакое квантовое состояние никогда не может находиться в чистое состояние. Чистое состояние унитарно эквивалентно нулевой температуре основное состояние запрещено третий закон термодинамики.

Системная перегородка для ванны

Даже если комбинированная система является чистым состоянием и может быть описана волновой функцией ${ displaystyle Psi}$ , подсистема вообще не может быть описана волновой функцией. Это наблюдение мотивировало формализм матрицы плотности, или операторы плотности, введенные Джон фон Нейман^[1] в 1927 г. и независимо, но менее систематически Лев Ландау в 1927 г. и Феликс Блох в 1946 году. В общем, состояние подсистемы описывается оператором плотности ${ displaystyle rho}$ и наблюдаемый ${ displaystyle A}$ скалярным произведением ${ Displaystyle ( rho cdot A) = { rm {{tr} { rho A }}}}$ . Невозможно узнать, чиста ли объединенная система, на основании данных о наблюдаемых подсистеме. В частности, если в комбинированной системе квантовая запутанность, состояние системы не является чистым.

Динамика

В общем, временная эволюция замкнутых квантовых систем описывается унитарными операторами, действующими на систему. Для открытых систем, однако, взаимодействия между системой и ее окружением делают так, что динамика системы не может быть точно описана с использованием одних унитарных операторов.

Временная эволюция квантовых систем может быть определена путем решения эффективных уравнений движения, также известных как основные уравнения, которые определяют, как матрица плотности, описывающая систему, изменяется во времени, и динамику наблюдаемых, связанных с системой. В целом, однако, среда, которую мы хотим смоделировать как часть нашей системы, очень велика и сложна, что делает поиск точных решений основных уравнений трудным, если не невозможным. Таким образом, теория открытых квантовых систем стремится к экономному рассмотрению динамики системы и ее наблюдаемых. Типичные наблюдаемые, представляющие интерес, включают такие вещи, как энергия и надежность квантовая когерентность (т.е. мера согласованности состояния). Потеря энергии в окружающей среде называется квантовая диссипация, а потеря когерентности называется квантовая декогеренция.

Из-за сложности определения решений основных уравнений для конкретной системы и среды было разработано множество методов и подходов. Общая цель состоит в том, чтобы получить сокращенное описание, в котором динамика системы рассматривается явно, а динамика ванны описывается неявно. Основное предположение состоит в том, что вся комбинация система-среда представляет собой большую закрытую систему. Следовательно, его эволюция во времени регулируется унитарное преобразование генерируется глобальным Гамильтониан. Для сценария комбинированной системы с термостатом глобальный гамильтониан можно разложить на:

{ displaystyle H = H _ { rm {S}} + H _ { rm {B}} + H _ { rm {SB}}}

куда ${ displaystyle H _ { rm {S}}}$ - гамильтониан системы, ${ displaystyle H _ { rm {B}}}$ гамильтониан ванны и ${ displaystyle H _ { rm {SB}}}$ это взаимодействие системы и ванны. Состояние системы может быть получено путем частичного отслеживания объединенной системы и ванны: ${ Displaystyle rho _ { rm {S}} (t) = { rm {{tr} _ { rm {B}} { rho _ {SB} (t) }}}}$ .^[2]

Другое распространенное предположение, которое используется для упрощения решения систем, - это предположение, что состояние системы в следующий момент зависит только от текущего состояния системы. другими словами, система не помнит свои предыдущие состояния. Системы, обладающие этим свойством, известны как Марковский системы. Это приближение оправдано, когда рассматриваемая система имеет достаточно времени для релаксации системы до состояния равновесия, прежде чем снова будет возмущена взаимодействием с окружающей средой. Для систем, которые имеют очень быстрые или очень частые возмущения из-за их взаимодействия с окружающей средой, это приближение становится гораздо менее точным.

Марковские уравнения

Когда взаимодействие между системой и окружающей средой слабое, временная зависимость теория возмущений кажется подходящим для рассмотрения эволюции системы. Другими словами, если взаимодействие между системой и ее окружающей средой является слабым, то любые изменения объединенной системы с течением времени можно приблизительно оценить как происходящие только от рассматриваемой системы. Другое типичное предположение состоит в том, что система и ванна изначально некоррелированы. ${ Displaystyle rho (0) = rho _ { rm {S}} otimes rho _ { rm {B}}}$ . Эта идея возникла с Феликс Блох и был расширен Альфредом Редфилдом в его выводе Уравнение Редфилда. Уравнение Редфилда - это основное марковское уравнение, описывающее изменение во времени матрицы плотности объединенной системы. Недостатком уравнения Редфилда является то, что оно не сохраняет позитивность оператора плотности.

Формальное построение локального уравнения движения с Марковское свойство является альтернативой сокращенному выводу. Теория основана на аксиоматическом подходе. Основная отправная точка - это полностью положительная карта. Предполагается, что исходное состояние системы и среды некоррелировано. ${ Displaystyle rho (0) = rho _ { rm {S}} otimes rho _ { rm {B}}}$ а комбинированная динамика порождается унитарный оператор. Такая карта попадает в категорию Оператор Крауса. Наиболее общий тип однородного по времени основного уравнения с Марковское свойство описывающая неунитарную эволюцию матрицы плотности ρ, сохраняющую след и полностью положительную для любого начального условия, является уравнением Горини – Косаковского – Сударшана–Уравнение Линдблада или уравнение GKSL:

{ displaystyle { dot { rho}} _ { rm {S}} = - {я над hbar} [H _ { rm {S}}, rho _ { rm {S}}] + { cal {L}} _ { rm {D}} ( rho _ { rm {S}})}

${ displaystyle H _ { rm {S}}}$ это (Эрмитский ) Гамильтониан часть и ${ displaystyle { cal {L}} _ { rm {D}}}$ :

{ displaystyle { cal {L}} _ { rm {D}} ( rho _ { rm {S}}) = sum _ {n} left (V_ {n} rho _ { rm {S}} V_ {n} ^ { dagger} - { frac {1} {2}} left ( rho _ { rm {S}} V_ {n} ^ { dagger} V_ {n} + V_ {n} ^ { dagger} V_ {n} rho _ { rm {S}} right) right)}

- диссипативная часть, неявно описывающая через системные операторы ${ displaystyle V_ {n}}$ влияние ванны на систему. Марковская собственность требует, чтобы система и ванна постоянно не коррелировали ${ Displaystyle rho _ { rm {SB}} = rho _ { rm {S}} otimes rho _ { rm {B}}}$ .Уравнение ГКСЛ однонаправлено и приводит к любому начальному состоянию. ${ displaystyle rho _ { rm {S}}}$ к стационарному решению, которое является инвариантом уравнения движения ${ Displaystyle { точка { rho}} _ { rm {S}} (т rightarrow infty) = 0}$ Семейство карт, порожденных уравнением ГКСЛ, образует Квантовая динамическая полугруппа. В некоторых областях, например квантовая оптика, период, термин Линдблад супероператор часто используется для выражения основного квантового уравнения для диссипативной системы. Э. Дэвис вывел GKSL с Марковское свойство основные уравнения с использованием теория возмущений и дополнительные приближения, такие как вращающаяся волна или вековая, исправляя тем самым недостатки Уравнение Редфилда. Конструкция Дэвиса согласуется с критерием устойчивости Кубо-Мартина-Швингера для теплового равновесия, т.е. Состояние KMS^[3]. Альтернативный подход к исправлению Redfield был предложен J. Thingna, J.-S. Ван, П. Хангги^[4] что позволяет взаимодействию системы и ванны играть роль в равновесии, отличную от состояния KMS.

В 1981 г. Амир Калдейра и Энтони Дж. Леггетт предложил упрощающее предположение, в котором ванна разлагается на нормальные моды, представленные в виде гармонических осцилляторов, линейно связанных с системой.^[5] В результате влияние ванны можно суммировать с помощью спектральной функции ванны. Этот метод известен как Модель Кальдейры – Леггетта, или гармоническая модель ванны. Чтобы продолжить и получить явные решения, формулировка интеграла по путям описание квантовая механика обычно используется. Большая часть силы, лежащей в основе этого метода, заключается в том, что гармонические осцилляторы относительно хорошо изучены по сравнению с истинной связью, которая существует между системой и ванной. К сожалению, хотя модель Кальдейры-Леггетта приводит к физически непротиворечивой картине квантовой диссипации, ее эргодический свойства слишком слабы, поэтому динамика модели не генерирует широкомасштабные квантовая запутанность между режимами ванны.

Альтернативная модель ванны - это вращающаяся ванна.^[6] При низких температурах и слабом взаимодействии система-ванна модели Caldeira-Leggett и спиновые ванны эквивалентны. Но для более высоких температур или сильной связи система-ванна модель прядильной ванны имеет сильные эргодические свойства. После подключения системы между всеми режимами возникает значительная запутанность. Другими словами, модель спиновой ванны может имитировать модель Кальдейры-Леггетта, но обратное неверно.

Примером естественной системы, соединенной с вращающейся ванной, является азотно-вакансионный (N-V) центр в бриллиантах. В этом примере центром цвета является система, а ванна состоит из углерод-13 (¹³В) примеси, которые взаимодействуют с системой через магнитный диполь-диполь взаимодействие.

Для открытых квантовых систем, в которых ванна имеет особенно быстрые колебания, их можно усреднить, глядя на достаточно большие изменения во времени. Это возможно, потому что средняя амплитуда быстрых колебаний на большом временном масштабе равна центральному значению, которое всегда можно выбрать равным нулю с небольшим сдвигом по вертикальной оси. Этот метод упрощения задач известен как секулярное приближение.

Немарковские уравнения

Открытые квантовые системы, не обладающие марковским свойством, обычно гораздо труднее решать. Во многом это связано с тем, что следующее состояние немарковской системы определяется каждым из ее предыдущих состояний, что быстро увеличивает требования к памяти для вычисления эволюции системы. В настоящее время в методах лечения этих систем используются так называемые оператор проекции техники. В этих методах используется оператор проекции ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ , который эффективно применяет трассировку к среде, как описано ранее. Результат применения ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ к ${ displaystyle rho}$ (т.е. вычисление ${ Displaystyle { mathcal {P}} rho}$ ) называется соответствующая часть из ${ displaystyle rho}$ . Для полноты картины другой оператор ${ displaystyle { mathcal {Q}}}$ определяется так, что ${ Displaystyle { mathcal {P}} + { mathcal {Q}} = { mathcal {I}}}$ куда ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ - единичная матрица. Результат применения ${ displaystyle { mathcal {Q}}}$ к ${ displaystyle rho}$ (т.е. вычисление ${ Displaystyle { mathcal {Q}} rho}$ ) называется нерелевантная часть из ${ displaystyle rho}$ . Основная цель этих методов состоит в том, чтобы затем вывести основное уравнение, которое определяет эволюцию ${ Displaystyle { mathcal {P}} rho}$ .

Один из таких выводов с использованием техники оператора проекции приводит к так называемому Уравнение Накадзимы – Цванцига. Этот вывод подчеркивает проблему нелокальности приведенной динамики во времени:

{ displaystyle partial _ {t} { rho} _ { mathrm {S}} = { mathcal {P}} { cal {L}} {{ rho} _ { mathrm {S}}} + int _ {0} ^ {t} {dt '{ mathcal {K}} ({t}') {{ rho} _ { mathrm {S}}} (t- {t} ')} .}

Здесь эффект бани на протяжении всей эволюции системы скрыт в ядре памяти. ${ Displaystyle каппа ( тау)}$ . Хотя уравнение Накадзимы-Цванцига является точным уравнением, которое справедливо почти для всех открытых квантовых систем и сред, его может быть очень сложно решить. Это означает, что обычно необходимо вводить приближения, чтобы уменьшить сложность проблемы до чего-то более управляемого. В качестве примера, предположение о быстрой ванне требуется, чтобы привести к локальному уравнению времени: ${ displaystyle partial _ {t} rho _ {S} = { cal {L}} rho _ {S}}$ . Другие примеры допустимых приближений включают приближение слабой связи и приближение однократной связи.

В некоторых случаях метод оператора проекции может использоваться для уменьшения зависимости следующего состояния системы от всех ее предыдущих состояний. Этот метод приближения к открытым квантовым системам известен как техника проекционных операторов без временной свертки, и он используется для генерации основных уравнений, которые по своей природе локальны во времени. Поскольку в этих уравнениях можно пренебречь большей частью истории системы, их часто легче решить, чем такие вещи, как уравнение Накадзима-Цванцига.

Другой подход возникает как аналог классической теории диссипации, развитой А. Рёго Кубо и Ю. Танимура. Этот подход связан с иерархические уравнения движения которые встраивают оператор плотности в большее пространство вспомогательных операторов, так что локальное уравнение времени получается для всего набора, а их память содержится во вспомогательных операторах.

Смотрите также

внешняя ссылка

Учебные материалы, связанные с Открытые квантовые системы в Викиверситете

[1] фон Нейман, Джон (1927), "Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik", Göttinger Nachrichten, 1: 245–272

[Kosloff20132-2] Кослофф, Ронни (2013). «Квантовая термодинамика: динамическая точка зрения». Энтропия. 15 (6): 2100–2128. arXiv:1305.2268. Bibcode:2013Энтрп..15.2100 тыс.. Дои:10.3390 / e15062100. ISSN 1099-4300. Эта статья содержит цитаты из этого источника, который доступен под Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) лицензия.

[3] Брейер, Хайнц-Петер; Ф. Петруччоне (2007). Теория открытых квантовых систем. Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-921390-0.

[4] Тингна, Джузар; Ван, Цзянь-Шэн; Хэнги, Питер (21.05.2012). «Обобщенное состояние Гиббса с модифицированным решением Редфилда: точное согласие до второго порядка». Журнал химической физики. 136 (19): 194110. arXiv:1203.6207. Bibcode:2012ЖЧФ.136с4110Т. Дои:10.1063/1.4718706. ISSN 0021-9606. PMID 22612083.

[5] А. Калдейра и А. Дж. Леггетт, Влияние диссипации на квантовое туннелирование в макроскопических системах, Physical Review Letters, т. 46, стр. 211, 1981.

[6] Прокофьев, Н. В .; Штамп, П. К. Э. (2000). «Теория спиновой ванны». Отчеты о достижениях физики. 63 (4): 669. Дои:10.1088/0034-4885/63/4/204. ISSN 0034-4885.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]