Изоморфизм порядка - Order isomorphism

в математический поле теория порядка, изоморфизм порядка особый вид монотонная функция что составляет подходящее понятие изоморфизм для частично упорядоченные наборы (посец). Всякий раз, когда два множества изоморфны по порядку, они могут считаться «по существу одинаковыми» в том смысле, что любой из порядков может быть получен из другого просто путем переименования элементов. Два строго более слабых понятия, относящиеся к изоморфизму порядка: заказать вложения и Связи Галуа.^[1]

Определение

Формально с учетом двух позы ${\displaystyle (S,\leq _{S})}$ и ${\displaystyle (T,\leq _{T})}$, изоморфизм порядка от ${\displaystyle (S,\leq _{S})}$ к ${\displaystyle (T,\leq _{T})}$ это биективная функция ${\displaystyle f}$ от ${\displaystyle S}$ к ${\displaystyle T}$ с тем свойством, что для каждого ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle x\leq _{S}y}$ если и только если ${\displaystyle f(x)\leq _{T}f(y)}$. То есть это биективное встраивание порядка.^[2]

Также возможно определить изоморфизм порядка как сюръективный порядок встраивания. Два предположения, что ${\displaystyle f}$ покрыть все элементы ${\displaystyle T}$ и что он сохраняет заказы, достаточно, чтобы гарантировать, что ${\displaystyle f}$ также взаимно однозначно, так как если ${\displaystyle f(x)=f(y)}$ то (в предположении, что ${\displaystyle f}$ сохраняет порядок) из этого следует, что ${\displaystyle x\leq y}$ и ${\displaystyle y\leq x}$, подразумевая по определению частичного порядка, что ${\displaystyle x=y}$.

Еще одна характеристика изоморфизмов порядка состоит в том, что они в точности монотонный биекции которые имеют монотонную инверсию.^[3]

Порядковый изоморфизм частично упорядоченного множества к самому себе называется порядок автоморфизм.^[4]

Когда на множества наложена дополнительная алгебраическая структура ${\displaystyle (S,\leq _{S})}$ и ${\displaystyle (T,\leq _{T})}$, функция из ${\displaystyle (S,\leq _{S})}$ к ${\displaystyle (T,\leq _{T})}$ должен удовлетворять дополнительным свойствам, чтобы его можно было рассматривать как изоморфизм. Например, учитывая два частично упорядоченные группы (ПО-группы) ${\displaystyle (G,\leq _{G})}$ и ${\displaystyle (H,\leq _{H})}$, изоморфизм ч.у.-групп от ${\displaystyle (G,\leq _{G})}$ к ${\displaystyle (H,\leq _{H})}$ порядковый изоморфизм, который также является групповой изоморфизм, а не просто биекция, которая заказать встраивание.^[5]

Примеры

• В функция идентичности на любом частично упорядоченном множестве всегда является порядковым автоморфизмом.
• Отрицание является изоморфизмом порядка из ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$ к ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$ (куда ${\displaystyle \mathbb {R} }$ это набор действительные числа и ${\displaystyle \leq }$ обозначает обычное числовое сравнение), поскольку -Икс ≥ −y если и только если Икс ≤ y.^[6]
• В открытый интервал ${\displaystyle (0,1)}$ (опять же, упорядоченный численно) не имеет изоморфизма порядка к или от закрытый интервал ${\displaystyle [0,1]}$: закрытый интервал имеет наименьший элемент, а открытый интервал - нет, и изоморфизмы порядка должны сохранять существование наименьших элементов.^[7]

Типы заказов

Если ${\displaystyle f}$ порядковый изоморфизм, то его обратная функция.Также, если ${\displaystyle f}$ является изоморфизмом порядка из ${\displaystyle (S,\leq _{S})}$ к ${\displaystyle (T,\leq _{T})}$ и ${\displaystyle g}$ является изоморфизмом порядка из ${\displaystyle (T,\leq _{T})}$ к ${\displaystyle (U,\leq _{U})}$, то функциональная композиция из ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ является изоморфизмом порядка, от ${\displaystyle (S,\leq _{S})}$ к ${\displaystyle (U,\leq _{U})}$.^[8]

Два частично упорядоченных множества называются порядок изоморфный когда существует изоморфизм порядка от одного к другому.^[9] Функции идентичности, обратные функции и композиции функций соответствуют, соответственно, трем определяющим характеристикам объекта. отношение эквивалентности: рефлексивность, симметрия, и транзитивность. Следовательно, изоморфизм порядка - это отношение эквивалентности. Класс частично упорядоченных множеств можно разделить на классы эквивалентности, семейства частично упорядоченных множеств, которые все изоморфны друг другу. Эти классы эквивалентности называются типы заказов.

Смотрите также

• Шаблон перестановки, перестановка, изоморфная по порядку подпоследовательности другой перестановки

Заметки

1. Блох (2011); Чесельский (1997).
2. Это определение используется Чесельский (1997). Для Блох (2011) и Шредер (2003) это следствие другого определения.
3. Это определение используется Блох (2011) и Шредер (2003).
4. Шредер (2003), п. 13.
5. Это определение эквивалентно определению, приведенному в Фукс (1963).
6. См. Пример 4 из Чесельский (1997), п. 39., для аналогичного примера с целыми числами вместо действительных чисел.
7. Чесельский (1997), пример 1, с. 39.
8. Чесельский (1997); Шредер (2003).
9. Чесельский (1997).

использованная литература

• Блох, Итан Д. (2011), Доказательства и основы: первый курс абстрактной математики, Тексты для бакалавриата по математике (2-е изд.), Springer, стр. 276–277, ISBN  9781441971265.
• Цесельский, Кшиштоф (1997), Теория множеств для работающего математика, Студенческие тексты Лондонского математического общества, 39, Cambridge University Press, стр. 38–39, ISBN  9780521594653.
• Шредер, Бернд Зигфрид Вальтер (2003), Упорядоченные наборы: введение, Springer, стр. 11, ISBN  9780817641283.
• Фукс, Ласло (1963), Частично упорядоченные алгебраические системы, Dover Publications; Репринтное издание (5 марта 2014 г.), стр. 2–3, ISBN  0486483878.