Пикон - Peakon

В теории интегрируемые системы, а пикон («остроконечный солитон») представляет собой солитон с прерывистый первый производная; профиль волны имеет форму графика функции ${\displaystyle e^{-|x|}}$. Некоторые примеры нелинейные уравнения в частных производных с (мульти) пиконными решениями являются Волновое уравнение Камассы – Холма для мелкой воды, то Уравнение Дегаспериса – Прочези и Уравнение Форнберга – Уизема.Поскольку пиконные решения только кусочно дифференцируемы, их необходимо интерпретировать в подходящем слабое чувство Эта концепция была представлена ​​в 1993 году Камассой и Холмом в короткой, но часто цитируемой статье, в которой они вывели свое уравнение мелкой воды.^[1]

Семейство уравнений с пиконными решениями

Основным примером PDE, который поддерживает решения пикона, является

${\displaystyle u_{t}-u_{xxt}+(b+1)uu_{x}=bu_{x}u_{xx}+uu_{xxx},\,}$

куда ${\displaystyle u(x,t)}$ - неизвестная функция, а б является параметром.^[2]По вспомогательной функции ${\displaystyle m(x,t)}$ определяется соотношением ${\displaystyle m=u-u_{xx}}$, уравнение принимает более простой вид

${\displaystyle m_{t}+m_{x}u+bmu_{x}=0.\,}$

Это уравнение интегрируемый ровно для двух значений б, а именно б = 2 ( Уравнение Камассы – Холма ) и б = 3 ( Уравнение Дегаспериса – Прочези ).

Решение с одним пиконом

Вышеупомянутое УЧП допускает решение бегущей волны ${\displaystyle u(x,t)=c\,e^{-|x-ct|}}$, которая представляет собой остроконечную уединенную волну с амплитудой c и скорость cЭто решение называется (одиночным) пиконным решением или просто пикон.Если c отрицательна, волна движется влево с вершиной вниз, и тогда ее иногда называют антипикон.

Не сразу очевидно, в каком смысле пиконное решение удовлетворяет УЧП. ты_Икс имеет скачкообразный разрыв на пике, вторая производная ты_хх следует понимать в смысле распределения и будет содержать Дельта-функция Дирака;по факту, ${\displaystyle m=u-u_{xx}=c\,\delta (x-ct)}$.Теперь продукт ${\displaystyle mu_{x}}$ происходящее в PDE, кажется, не определено, так как распределение м поддерживается в той самой точке, где производная ты_Икс не определено. An для этого случая интерпретация заключается в том, чтобы принять значение ты_Икс в этой точке равным среднему значению его левого и правого пределов (в данном случае - нуля). Более удовлетворительный способ разобраться в решении - это инвертировать отношения между ты и м написав ${\displaystyle m=(G/2)*u}$, куда ${\displaystyle G(x)=\exp(-|x|)}$, и используйте это, чтобы переписать PDE как (нелокальный) гиперболический закон сохранения:

${\displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}\left[{\frac {u^{2}}{2}}+{\frac {G}{2}}*\left({\frac {bu^{2}}{2}}+{\frac {(3-b)u_{x}^{2}}{2}}\right)\right]=0.}$

(Звездочка обозначает свертка относительно Икс.) В этой постановке функция ты можно просто интерпретировать как слабое решение в обычном понимании.^[3]

Решения Multipeakon

Двухпиконный волновой профиль (сплошная кривая), образованный добавлением двух пиконов (штриховые кривые): ${\displaystyle u=m_{1}\,e^{-|x-x_{1}|}+m_{2}\,e^{-|x-x_{2}|}}$

Многопиконные решения формируются путем линейной комбинации нескольких пиконов, каждый со своей собственной зависимой от времени амплитудой и положением. (Это очень простая структура по сравнению с многосолитонными решениями большинства других интегрируемых УЧП, таких как Уравнение Кортевега – де Фриза например.) п-пикон решение, таким образом, принимает вид

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(t)\,e^{-|x-x_{i}(t)|},}$

где 2п функции ${\displaystyle x_{i}(t)}$ и ${\displaystyle m_{i}(t)}$должны быть выбраны соответствующим образом, чтобы ты для удовлетворения PDE.б-family "выше оказывается, что этот анзац действительно дает решение при условии, что система ODE

${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}e^{-|x_{k}-x_{i}|},\qquad {\dot {m}}_{k}=(b-1)\sum _{i=1}^{n}m_{k}m_{i}\operatorname {sgn}(x_{k}-x_{i})e^{-|x_{k}-x_{i}|}\qquad (k=1,\dots ,n)}$

доволен. (Здесь sgn обозначает функция знака.) Отметим, что правая часть уравнения для ${\displaystyle x_{k}}$ получается заменой ${\displaystyle x=x_{k}}$ в формуле для тыАналогично уравнение для ${\displaystyle m_{k}}$ можно выразить через ${\displaystyle u_{x}}$, если интерпретировать производную от ${\displaystyle \exp(-|x|)}$ в Икс = 0 равным нулю, что дает следующие удобные сокращенные обозначения системы:

${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=u(x_{k}),\qquad {\dot {m}}_{k}=-(b-1)m_{k}u_{x}(x_{k})\qquad (k=1,\dots ,n).}$

Первое уравнение дает некоторую полезную интуицию о динамике пикона: скорость каждого пикона равна высоте волны в этой точке.

Явные формулы решения

В интегрируемых случаях б = 2 и б = 3, система ОДУ, описывающая динамику пикона, может быть решена явно для произвольных п в терминах элементарных функций, используя методы обратного спектрального анализа. Например, решение для п = 3 в случае Камассы – Холма б = 2 определяется выражением^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}(t)&=\log {\frac {(\lambda _{1}-\lambda _{2})^{2}(\lambda _{1}-\lambda _{3})^{2}(\lambda _{2}-\lambda _{3})^{2}a_{1}a_{2}a_{3}}{\sum _{j<k}\lambda _{j}^{2}\lambda _{k}^{2}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}}\\x_{2}(t)&=\log {\frac {\sum _{j<k}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}{\lambda _{1}^{2}a_{1}+\lambda _{2}^{2}a_{2}+\lambda _{3}^{2}a_{3}}}\\x_{3}(t)&=\log(a_{1}+a_{2}+a_{3})\\m_{1}(t)&={\frac {\sum _{j<k}\lambda _{j}^{2}\lambda _{k}^{2}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}{\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}\sum _{j<k}\lambda _{j}\lambda _{k}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}}\\m_{2}(t)&={\frac {\left(\lambda _{1}^{2}a_{1}+\lambda _{2}^{2}a_{2}+\lambda _{3}^{2}a_{3}\right)\sum _{j<k}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}{\left(\lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2}+\lambda _{3}a_{3}\right)\sum _{j<k}\lambda _{j}\lambda _{k}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}}\\m_{3}(t)&={\frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}}{\lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2}+\lambda _{3}a_{3}}}\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle a_{k}(t)=a_{k}(0)e^{t/\lambda _{k}}}$, а где 2п константы ${\displaystyle a_{k}(0)}$ и ${\displaystyle \lambda _{k}}$ определяются из начальных условий. Общее решение для произвольных п можно выразить через симметричные функции из ${\displaystyle a_{k}}$ и ${\displaystyle \lambda _{k}}$. Генерал п-пикон в случае Дегаспериса – Прочези б = 3 похож по вкусу, хотя подробная структура более сложна.^[5]

Примечания

1. Камасса и Холм 1993
2. Дегасперис, Холм и Хон 2002
3. Constantin & McKean 1999 (которые занимаются делом Камассы-Холма б = 2; общий случай очень похож)
4. Beals, Sattinger & Szmigielski 2000 (где используется другая нормализация и знаковое соглашение)
5. Лундмарк и Шмигельски 2005

Рекомендации

• Билс, Ричард; Sattinger, Дэвид Х .; Шмигельски, Яцек (2000), "Мультипиконы и классическая проблема моментов", Adv. Математика., 154 (2), стр. 229–257, arXiv:solv-int / 9906001, Дои:10.1006 / aima.1999.1883
• Камасса, Роберто; Холм, Дэррил Д. (1993), "Интегрируемое уравнение мелкой воды с пиковыми солитонами", Phys. Rev. Lett., 71 (11), стр. 1661–1664, arXiv:patt-sol / 9305002, Bibcode:1993ПхРвЛ..71.1661С, Дои:10.1103 / PhysRevLett.71.1661, PMID  10054466
• Константин, Адриан; Маккин, Генри П. (1999), "Уравнение мелкой воды на круге", Commun. Pure Appl. Математика., 52 (8), стр. 949–982, Дои:10.1002 / (SICI) 1097-0312 (199908) 52: 8 <949 :: AID-CPA3> 3.0.CO; 2-D
• Дегасперис, Антонио; Холм, Дэррил Д .; Хоун, Эндрю Н. В. (2002), "Новое интегрируемое уравнение с пиконными решениями", Теоретическая и математическая физика, 133 (2), стр. 1463–1474, arXiv:nlin.SI/0205023, Дои:10.1023 / А: 1021186408422
• Лундмарк, Ганс; Шмигельски, Яцек (2005), «Пиконы Дегаспериса – Прочези и дискретная кубическая струна», Международные статьи по математике, 2005 (2), стр. 53–116, arXiv:nlin.SI/0503036, Дои:10.1155 / IMRP.2005.53