Теорема Пикара - Picard theorem

По поводу теоремы о существовании и единственности решений дифференциальных уравнений см. Теорема Пикара – Линделёфа.

В комплексный анализ, Великая теорема Пикарда и Маленькая теорема Пикарда относятся к теоремы о ассортимент из аналитическая функция. Они названы в честь Эмиль Пикар.

Теоремы

График функции exp (1⁄z) с центром в существенной особенности в точке z = 0. Оттенок точки z представляет аргумент из exp (1⁄z) яркость представляет ее абсолютное значение. Этот график показывает, что сколь угодно близко к сингулярности достигаются все ненулевые значения.

Маленькая теорема Пикарда: Если функция ж : C → C является весь и непостоянный, то набор значений, ж(z) предполагает, что это либо вся комплексная плоскость, либо плоскость минус одна точка.

Эскиз доказательства: Первоначальное доказательство Пикарда было основано на свойствах модульная лямбда-функция, обычно обозначаемый λ и выполняющий, используя современную терминологию, голоморфную универсальное покрытие плоскости дважды проколотой единичным диском. Эта функция явно построена в теории эллиптические функции. Если ж пропускает два значения, тогда состав ж с обратной модульной функцией отображает плоскость в единичный круг, из чего следует, что ж постоянно Теорема Лиувилля.

Эта теорема является существенным усилением теоремы Лиувилля, которая утверждает, что образ целой непостоянной функции должен быть неограниченный. Позже было найдено много различных доказательств теоремы Пикара. Теорема Шоттки является его количественной версией. В случае, когда значения ж отсутствует одна точка, эта точка называется лакунарное значение функции.

Великая теорема Пикарда: Если аналитическая функция ж имеет существенная особенность в какой-то момент ш, то на любом проколотый район из ш, ж(z) принимает все возможные комплексные значения, самое большее за одним исключением, бесконечно часто.

Это существенное усиление Теорема Казорати – Вейерштрасса, что гарантирует только то, что диапазон ж является плотный в комплексной плоскости. Результат Великой теоремы Пикара состоит в том, что любая целая неполиномиальная функция бесконечно часто достигает всех возможных комплексных значений, самое большее за одним исключением.

«Единственное исключение» необходимо в обеих теоремах, как показано здесь:

  • еz целая непостоянная функция, которая никогда не равна 0,
  • е1/z имеет существенную особенность в 0, но никогда не достигает значения 0.

Обобщение и текущие исследования

Великая теорема Пикарда верно в несколько более общей форме, которая также применима к мероморфные функции:

Великая теорема Пикарда (мероморфная версия): Если M это Риманова поверхность, ш точка на M, п1(C) = C ∪ {∞} обозначает Сфера Римана и ж : M\{ш} → п1(C) - голоморфная функция с существенной особенностью в точке ш, то на любом открытом подмножестве M содержащий ш, функция ж(z) достигает всего, но не больше два точки п1(C) бесконечно часто.

Пример: Мероморфная функция ж(z) = 1/(1 − е1/z) имеет существенную особенность при z = 0 и бесконечно часто достигает значения ∞ в любой окрестности 0; однако он не достигает значений 0 или 1.

С этим обобщением Маленькая теорема Пикара следует из Великая теорема Пикара поскольку целая функция либо является полиномом, либо имеет существенную особенность на бесконечности. Как и в случае с маленькой теоремой, недостигнутые точки (максимум две) являются лакунарными значениями функции.

Следующее догадка связана с «Великой теоремой Пикарда»:[1]

Гипотеза: Позволять {U1, ..., Uп} набор открытых связных подмножеств C это обложка проколотый единичный диск D {0}. Предположим, что на каждом Uj существует инъективный голоморфная функция жj, такие что dжj = dжk на каждом перекрестке Uj ∩ Uk. Затем дифференциалы склеиваются в мероморфный 1-форма на D.

Ясно, что дифференциалы склеиваются в голоморфную 1-форму г dz на D {0}. В частном случае, когда остаток из г при нуле 0 гипотеза следует из «Великой теоремы Пикара».

Заметки

  1. ^ Элснер, Б. (1999). «Гиперэллиптический интеграл действия» (PDF). Annales de l'Institut Fourier. 49 (1): 303–331. Дои:10.5802 / aif.1675.

использованная литература