Потенциальный поток - Potential flow - Wikipedia

Потенциальный поток рационализирует вокруг Профиль NACA 0012 при 11 ° угол атаки, с верхним и нижним трубки идентифицированы.

В динамика жидкостей, потенциальный поток описывает поле скорости как градиент скалярной функции: потенциал скорости. В результате потенциальный поток характеризуется безвихревое поле скоростей, что является допустимым приближением для нескольких приложений. Безвихревость потенциального потока обусловлена завиток градиента скаляр всегда равняется нулю.

В случае несжимаемый поток потенциал скорости удовлетворяет Уравнение Лапласа, и теория потенциала применимо. Однако потенциальные потоки также использовались для описания сжимаемые потоки. Подход потенциального потока применяется при моделировании как стационарных, так и нестационарных потоков. Примеры применения потенциального потока: внешнее поле потока для крылья, волны на воде, электроосмотический поток, и поток грунтовых вод. Для потоков (или их частей) с сильным завихренность эффекты, приближение потенциального потока не применимо.

Характеристики и применение

Потенциальный поток строится путем добавления простых элементарных потоков и наблюдения за результатом.

Описание и характеристики

В гидродинамике потенциальный поток описывается с помощью потенциала скорости φ, быть функция пространства и времени. В скорость потока v это векторное поле равно градиенту, , потенциала скорости φ:[1]

Иногда также определение v = −∇φ, со знаком минус, используется. Но здесь мы будем использовать определение, приведенное выше, без знака минус. Из векторное исчисление известно, что завиток градиента равно нулю:[1]

и, следовательно, завихренность, то завиток поля скорости v, равно нулю:[1]

Это означает, что потенциальный поток - это безвихревой поток. Это имеет прямые последствия для применимости потенциального потока. В областях течения, где, как известно, важна завихренность, например, в просыпается и пограничные слои теория потенциального потока не может дать разумных предсказаний потока.[2] К счастью, часто существуют большие области потока, в которых допущение о безвихревости справедливо, поэтому потенциальный поток используется для различных приложений. Например в: обтекание самолет, поток грунтовых вод, акустика, волны на воде, и электроосмотический поток.[3]

Несжимаемый поток

В случае несжимаемый поток - например, жидкость, или газ на низком уровне Числа Маха; но не для звук волны - скорость v имеет ноль расхождение:[1]

с точкой, обозначающей внутренний продукт. В результате потенциал скорости φ должен удовлетворить Уравнение Лапласа[1]

куда 2 = ∇ ⋅ ∇ это Оператор Лапласа (иногда также пишется Δ). В этом случае поток можно полностью определить по его кинематика: предположения о безвихревости и нулевой дивергенции потока. Динамика должны применяться только после этого, если кто-то заинтересован в вычислении давления: например, для обтекания аэродинамических поверхностей с помощью Принцип Бернулли.

В двух измерениях потенциальный поток сводится к очень простой системе, которая анализируется с использованием комплексный анализ (Смотри ниже).

Сжимаемый поток

Постоянный поток

Теория потенциального потока также может быть использована для моделирования безвихревого сжимаемого потока. В полное потенциальное уравнение, описывая постоянный поток, дан кем-то:[4]

с число Маха составные части

куда а местный скорость звука. Скорость потока v снова равно ∇Φ, с Φ потенциал скорости. Полное потенциальное уравнение справедливо для суб-, транс- и сверхзвуковой поток при произвольном угол атаки, пока применимо предположение о безвихревости.[4]

В случае дозвуковых или сверхзвуковых (но не околозвуковых или гиперзвуковой ) потока при малых углах атаки и тонких телах можно сделать дополнительное предположение: потенциал скорости расщепляется на невозмущенную скорость потока V в Икс-направление, и малый возмущение скорость φ из них. Так:[4]

В этом случае линеаризованное уравнение потенциала малых возмущений - приближение к полному уравнению потенциала - можно использовать:[4]

с M = V/а число Маха набегающего набегающего потока. Это линейное уравнение решить намного проще, чем полное потенциальное уравнение: его можно преобразовать в уравнение Лапласа простым растяжением координат в Икс-направление.

Неустойчивый поток

Теория потенциального потока также может использоваться для моделирования безвихревого сжимаемого потока. В полное потенциальное уравнение, описывающий нестационарный поток, определяется выражением:[4]

с число Маха составные части

куда а местный скорость звука. Скорость потока v снова равно ∇Φ, с Φ потенциал скорости. Полное потенциальное уравнение справедливо для суб-, транс- и сверхзвуковой поток при произвольном угол атаки, пока применимо предположение о безвихревости.[4]

В случае дозвуковых или сверхзвуковых (но не околозвуковых или гиперзвуковой ) потока при малых углах атаки и тонких телах можно сделать дополнительное предположение: потенциал скорости расщепляется на невозмущенную скорость потока V в Икс-направление, и малый возмущение скорость φ из них. Так:[4]

В этом случае линеаризованное уравнение потенциала малых возмущений - приближение к полному уравнению потенциала - можно использовать:[4]

с M = V/а число Маха набегающего набегающего потока.

Начнем с уравнения сохранения массы

Рассмотрим первый член. С помощью Принцип Бернулли мы пишем

Аналогичным образом можно записать второй член

Собирая члены и переставляя, уравнение сохранения массы становится

Звуковые волны

Звуковые волны малой амплитуды можно аппроксимировать следующей моделью потенциального потока:[7]

что является линейным волновое уравнение для потенциала скорости φ. Снова колебательная часть вектора скорости v связана с потенциалом скорости соотношением v = ∇φ, а по-прежнему Δ это Оператор Лапласа, и ā средняя скорость звука в однородная среда. Обратите внимание, что колебательные части давление п и плотность ρ каждый в отдельности удовлетворяет волновому уравнению в этом приближении.

Применимость и ограничения

Потенциальный поток не включает все характеристики потоков, встречающихся в реальном мире. Теорию потенциального течения нельзя применять для вязких внутренние потоки [2], кроме течет между близко расположенными пластинами. Ричард Фейнман считал потенциальный поток настолько нефизическим, что единственной жидкостью, которая подчинялась предположениям, была «сухая вода» (цитируя Джона фон Неймана).[8] Несжимаемый потенциальный поток также делает ряд неверных прогнозов, таких как парадокс даламбера, который утверждает, что сопротивление любого объекта, движущегося в бесконечной жидкости, в противном случае в состоянии покоя, равно нулю.[9] Точнее, потенциальный поток не может учитывать поведение потоков, которые включают пограничный слой.[2] Тем не менее понимание потенциального потока важно во многих разделах механики жидкости. В частности, простые потенциальные потоки (называемые элементарные потоки ) такой как свободный вихрь и точечный источник обладаем готовыми аналитическими решениями. Эти решения могут быть наложенный для создания более сложных потоков, удовлетворяющих разнообразным граничным условиям. Эти потоки близко соответствуют реальным потокам во всей механике жидкости; кроме того, многие ценные идеи возникают при рассмотрении отклонения (часто небольшого) между наблюдаемым потоком и соответствующим потенциальным потоком. Потенциальный поток находит множество применений в таких областях, как проектирование самолетов. Например, в вычислительная гидродинамика, один из способов - связать решение потенциального потока за пределами пограничный слой к решению уравнения пограничного слоя внутри пограничного слоя. Отсутствие эффектов пограничного слоя означает, что любую линию тока можно заменить твердой границей без изменения поля потока, метод, используемый во многих подходах к аэродинамическому проектированию. Другой способ - использование Рябушинского твердого тела.[сомнительный ]

Анализ двумерного потока

Потенциальный поток в двух измерениях легко анализировать с помощью конформное отображение, с использованием трансформации из комплексная плоскость. Однако использование комплексных чисел не требуется, как, например, в классическом анализе потока жидкости мимо цилиндра. Невозможно решить потенциальный поток, используя сложные числа в трех измерениях.[10]

Основная идея - использовать голоморфный (также называемый аналитический ) или же мероморфная функция ж, который отображает физическую область (Икс, у) в преобразованную область (φ, ψ). Пока Икс, у, φ и ψ все реальная ценность, удобно определять комплексные величины

Теперь, если мы напишем отображение ж в качестве[10]

Тогда, потому что ж является голоморфной или мероморфной функцией, она должна удовлетворять Уравнения Коши – Римана[10]

Компоненты скорости (ты, v), в (Икс, у) направления соответственно, можно получить непосредственно из ж дифференцируя по z. То есть[10]

Итак, поле скорости v = (ты, v) определяется[10]

Обе φ и ψ затем удовлетворить Уравнение Лапласа:[10]

Так φ можно идентифицировать как потенциал скорости и ψ называется функция потока.[10] Линии постоянного ψ известны как рационализирует и линии постоянного φ называются эквипотенциальными линиями (см. эквипотенциальная поверхность ).

Линии тока и эквипотенциальные линии ортогональны друг другу, поскольку[10]

Таким образом, течение происходит по линиям постоянного ψ и под прямым углом к ​​линиям постоянного φ.[10]

Δψ = 0 также выполняется, что эквивалентно ∇ × v = 0. Итак, поток является безвихревым. Автоматическое состояние 2Ψ/Иксу = 2Ψ/уИкс затем дает ограничение несжимаемости ∇ · v = 0.

Примеры двумерных потоков

Любая дифференцируемая функция может использоваться для ж. В следующих примерах используются различные элементарные функции; специальные функции также могут быть использованы. Обратите внимание, что многозначные функции такой как натуральный логарифм могут быть использованы, но внимание должно быть ограничено одним Риманова поверхность.

Законы власти

Conformal power half.svg
Conformal power two third.svg
Conformal power one.svg
Conformal power one and a half.svg
Conformal power two.svg
Conformal power three.svg
Conformal power minus one.svg
Примеры конформных отображений для степенного закона ш = Азп, для разных значений мощности п. Показан z-плоскость, показывающая линии постоянного потенциала φ и функция потока ψ, пока ш = φ + .

В случае следующих мощность -правовая конформная карта применяется, начиная с z = Икс + иу к ш = φ + :[11]

затем написание z в полярных координатах как z = Икс + иу = повторно, у нас есть[11]

На рисунках справа приведены примеры для нескольких значений п. Черная линия - это граница потока, более темные синие линии - это линии тока, а более светлые синие линии - это эквипотенциальные линии. Некоторые интересные способности п находятся:[11]

  • п = 1/2: это соответствует обтеканию полубесконечной пластины,
  • п = 2/3: обтекайте правый угол,
  • п = 1: тривиальный случай равномерного потока,
  • п = 2: течь через угол или около точки застоя, и
  • п = −1: поток за счет дублета источника

Постоянная А параметр масштабирования: его абсолютная величина |А| определяет масштаб, а его аргумент аргумент (А) вводит поворот (если не равен нулю).

Законы власти с п = 1: равномерный поток

Если ш = Аз1, то есть степенной закон с п = 1, линии тока (т. е. линии постоянного ψ) представляют собой систему прямых, параллельных Икс-ось. Проще всего это увидеть, написав в терминах реальных и мнимых компонентов:

таким образом давая φ = Топор и ψ = Ау. Этот поток можно интерпретировать как равномерный поток параллельно с Икс-ось.

Законы власти с п = 2

Если п = 2, тогда ш = Аз2 и линия тока, соответствующая определенному значению ψ эти моменты удовлетворяют

которая представляет собой систему прямоугольные гиперболы. В этом можно убедиться, снова переписав реальную и мнимую составляющие. Отмечая, что грех 2θ = 2 греха θ потому что θ и переписывание грех θ = у/р и потому что θ = Икс/р видно (при упрощении), что линии тока задаются

Поле скорости определяется выражением φ, или же

В гидродинамике поле течения вблизи начала координат соответствует точка застоя. Обратите внимание, что жидкость в начале координат покоится (это следует из дифференцирования ж(z) = z2 в z = 0). В ψ = 0 Особенно интересна линия тока: она имеет две (или четыре) ветви, следующие за осями координат, т.е. Икс = 0 и у = 0. Поскольку жидкость не течет через Икс-ось, это ( Икс-axis) можно рассматривать как сплошную границу. Таким образом, можно не учитывать течение в нижней полуплоскости, где у < 0 и сосредоточиться на потоке в верхней полуплоскости. Согласно этой интерпретации, поток - это поток вертикально направленной струи, падающей на горизонтальную плоскую пластину. Поток также можно интерпретировать как поток в угол 90 градусов, если области, указанные (скажем) Икс, у < 0 игнорируются.

Законы власти с п = 3

Если п = 3, полученный поток представляет собой своего рода гексагональную версию п = 2 рассмотренный выше случай. Линии тока задаются ψ = 3Икс2уу3 и поток в этом случае можно интерпретировать как поток в угол 60 °.

Законы власти с п = −1: дублет

Если п = −1, линии тока имеют вид

Это легче интерпретировать с точки зрения реальных и мнимых компонентов:

Таким образом, линии тока круги касательные к оси x в начале координат. Таким образом, круги в верхней полуплоскости текут по часовой стрелке, а круги в нижней - против часовой стрелки. Обратите внимание, что компоненты скорости пропорциональны р−2; и их значения в начале координат бесконечны. Такой режим течения обычно называют дублет, или же диполь, и может быть интерпретировано как комбинация пары источник-сток бесконечной мощности, находящейся на бесконечно малом расстоянии друг от друга. Поле скорости определяется выражением

или в полярных координатах:

Законы власти с п = −2: квадруполь

Если п = −2, линии тока имеют вид

Это поле течения, связанное с квадруполь.[12]

Линейный источник и приемник

Линейный источник или сток силы ( для источника и для стока) задается потенциалом

куда фактически представляет собой объемный поток на единицу длины через поверхность, окружающую источник или сток. Поле скорости в полярных координатах равно

т.е. чисто радиальное течение.

Линия вихря

Линия вихря силы дан кем-то

куда это обращение вокруг любого простого замкнутого контура, охватывающего вихрь. Поле скорости в полярных координатах равно

т.е. чисто азимутальное течение.

Анализ трехмерного потока

Для трехмерных течений невозможно получить комплексный потенциал.

Точечный источник и сток

Потенциал скорости точечного источника или стока силы ( для источника и для стока) в сферических полярных координатах определяется как

куда фактически представляет собой объемный поток через замкнутую поверхность, окружающую источник или сток.


Смотрите также

Примечания

  1. ^ а б c d е Бэтчелор (1973), стр. 99–101.
  2. ^ а б c Бэтчелор (1973), стр. 378–380.
  3. ^ Кирби, Б.Дж. (2010), Микро- и наномасштабная механика жидкости: транспорт в микрофлюидных устройствах., Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-11903-0
  4. ^ а б c d е ж грамм час Андерсон, Дж. Д. (2002). Современный сжимаемый поток. Макгроу-Хилл. п. 358–359. ISBN  0-07-242443-5.
  5. ^ Lamb (1994) §6 – §7, стр. 3–6.
  6. ^ Бэтчелор (1973) стр. 161.
  7. ^ Лэмб (1994) §287, стр. 492–495.
  8. ^ Фейнман, Р. П.; Лейтон, Р. Б.; Песков, М. (1964), Лекции Фейнмана по физике, 2, Эддисон-Уэсли, п. 40-3. Глава 40 имеет название: Поток сухой воды.
  9. ^ Бэтчелор (1973), стр. 404–405.
  10. ^ а б c d е ж грамм час я Бэтчелор (1973), стр. 106–108.
  11. ^ а б c Бэтчелор (1973), стр. 409–413.
  12. ^ Кирала, А. (1972). Прикладные функции комплексной переменной. Wiley-Interscience. С. 116–117. ISBN  9780471511298.

Рекомендации

дальнейшее чтение

внешняя ссылка