Консервативное векторное поле - Conservative vector field

В векторное исчисление, а консервативное векторное поле это векторное поле это градиент некоторых функция.^[1] Консервативные векторные поля обладают тем свойством, что линейный интеграл не зависит от пути; выбор любого пути между двумя точками не меняет значения линейный интеграл. Независимость от траектории линейного интеграла эквивалентна консервативности векторного поля. Консервативное векторное поле также безвихревый; в трех измерениях, это означает, что он исчезает завиток. Безвихревое векторное поле обязательно консервативно при условии, что область односвязный.

Консервативные векторные поля естественным образом появляются в механика: Это векторные поля, представляющие силы из физические системы в котором энергия является консервированный.^[2] Для консервативной системы работай выполненное при перемещении по пути в пространстве конфигурации зависит только от конечных точек пути, поэтому можно определить потенциальная энергия это не зависит от фактического пройденного пути.

Неформальное обращение

В двумерном и трехмерном пространстве существует двусмысленность в принятии интеграла между двумя точками, поскольку между двумя точками существует бесконечно много путей - помимо прямой линии, образованной между двумя точками, можно было бы выбрать криволинейный путь большей длины, как показано на рисунке. Поэтому, как правило, значение интеграла зависит от пройденного пути. Однако в частном случае консервативного векторного поля значение интеграла не зависит от пройденного пути, что можно рассматривать как крупномасштабное сокращение всех элементов. ${\displaystyle d{R}}$ у которых нет компонента на прямой линии между двумя точками. Чтобы визуализировать это, представьте, что два человека поднимаются на скалу; один решает взобраться на утес, поднимаясь по нему вертикально, а второй решает пройти по извилистой тропе, длина которой превышает высоту обрыва, но только под небольшим углом к ​​горизонтали. Хотя двое туристов выбрали разные маршруты, чтобы подняться на вершину утеса, на вершине они оба наберут одинаковое количество гравитационной потенциальной энергии. Это потому, что гравитационное поле консервативно. В качестве примера неконсервативного поля представьте, что вы толкаете коробку из одного конца комнаты в другой. Чтобы толкать коробку по прямой через комнату, требуется заметно меньше усилий против трения, чем по изогнутой дорожке, покрывающей большее расстояние.

Изображение двух возможных путей интеграции. Зеленым цветом показан самый простой путь; синий показывает более извилистую кривую

Интуитивное объяснение

М. К. Эшера картина По возрастанию и по убыванию иллюстрирует неконсервативное векторное поле, которое невозможно представить как градиент переменной высоты над землей при движении по лестнице. это вращающийся в этом можно продолжать подниматься выше или продолжать снижаться, ходя по кругу. Это неконсервативно в том смысле, что при подъеме можно вернуться к исходной точке, более чем на спуске, или наоборот. На реальной лестнице высота над землей представляет собой скалярное потенциальное поле: если кто-то возвращается в то же место, он поднимается вверх ровно столько, сколько спускается вниз. Его градиент был бы консервативным векторным полем и не имел вращения. Ситуация, изображенная на картине, невозможна.

Определение

А векторное поле ${\displaystyle \mathbf {v} :U\to \mathbb {R} ^{n}}$, куда ${\displaystyle U}$ открытое подмножество ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, как говорят, консервативный тогда и только тогда, когда существует ${\displaystyle C^{1}}$ скалярное поле ${\displaystyle \varphi }$ на ${\displaystyle U}$ такой, что

${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi .}$

Здесь, ${\displaystyle \nabla \varphi }$ обозначает градиент из ${\displaystyle \varphi }$. Когда приведенное выше уравнение выполняется, ${\displaystyle \varphi }$ называется скалярный потенциал за ${\displaystyle \mathbf {v} }$.

В основная теорема векторного исчисления утверждает, что любое векторное поле может быть выражено как сумма консервативного векторного поля и соленоидальное поле.

Независимость от пути

Основная статья: Теорема о градиенте

Ключевое свойство консервативного векторного поля ${\displaystyle \mathbf {v} }$ состоит в том, что его интеграл вдоль пути зависит только от конечных точек этого пути, а не от конкретного маршрута. Предположим, что ${\displaystyle P}$ исправимый путь в ${\displaystyle U}$ с начальной точкой ${\displaystyle A}$ и конечная точка ${\displaystyle B}$. Если ${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi }$ для некоторых ${\displaystyle C^{1}}$ скалярное поле ${\displaystyle \varphi }$ так что ${\displaystyle \mathbf {v} }$ консервативное векторное поле, то градиентная теорема утверждает, что

${\displaystyle \int _{P}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }=\varphi (B)-\varphi (A).}$

Это происходит как следствие Правило цепи и основная теорема исчисления.

Эквивалентная формулировка этого состоит в том, что

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }=0}$

для каждого исправляемого простого замкнутого пути ${\displaystyle C}$ в ${\displaystyle U}$. В обратное этому утверждению также верно: если обращение из ${\displaystyle \mathbf {v} }$ вокруг каждого исправляемого простого замкнутого пути в ${\displaystyle U}$ является ${\displaystyle 0}$, тогда ${\displaystyle \mathbf {v} }$ - консервативное векторное поле.

Безвихревые векторные поля

Вышеупомянутое векторное поле ${\displaystyle \mathbf {v} =\left(-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},0\right)}$ определено на ${\displaystyle U=\mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,z)\mid z\in \mathbb {R} \}}$ практически везде имеет нулевой ротор и, следовательно, является безвихревым. Однако он не консервативен и не зависит от пути.

Позволять ${\displaystyle n=3}$, и разреши ${\displaystyle \mathbf {v} :U\to \mathbb {R} ^{3}}$ быть ${\displaystyle C^{1}}$ векторное поле с ${\displaystyle U}$ открыт как всегда. потом ${\displaystyle \mathbf {v} }$ называется безвихревый если и только если это завиток является ${\displaystyle \mathbf {0} }$ везде в ${\displaystyle U}$, т.е. если

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} \equiv \mathbf {0} .}$

По этой причине такие векторные поля иногда называют векторные поля без завитков или же векторные поля без завитков. Их также называют продольные векторные поля.

Это тождество векторного исчисления это для любого ${\displaystyle C^{2}}$ скалярное поле ${\displaystyle \varphi }$ на ${\displaystyle U}$, у нас есть

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )\equiv \mathbf {0} .}$

Поэтому каждый ${\displaystyle C^{1}}$ консервативное векторное поле на ${\displaystyle U}$ также является безвихревым векторным полем на ${\displaystyle U}$.

При условии, что ${\displaystyle U}$ является односвязный, верно и обратное: каждое безвихревое векторное поле на ${\displaystyle U}$ это ${\displaystyle C^{1}}$ консервативное векторное поле на ${\displaystyle U}$.

Приведенное выше заявление нет верно в целом, если ${\displaystyle U}$ не просто связано. Позволять ${\displaystyle U}$ быть ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ с ${\displaystyle z}$-ось удалена, т.е. ${\displaystyle U=\mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,z)\mid z\in \mathbb {R} \}}$. Теперь определим векторное поле ${\displaystyle \mathbf {v} }$ на ${\displaystyle U}$ к

${\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\left(-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},0\right).}$

потом ${\displaystyle \mathbf {v} }$ имеет нулевой ротор всюду в ${\displaystyle U}$, т.е. ${\displaystyle \mathbf {v} }$ безвихревый. Однако тираж ${\displaystyle \mathbf {v} }$ вокруг единичного круга в ${\displaystyle xy}$-самолет ${\displaystyle 2\pi }$. Действительно, обратите внимание, что в полярные координаты, ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {e} _{\phi }/r}$, поэтому интеграл по единичной окружности равен

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{\phi }~d{\phi }=2\pi .}$

Следовательно, ${\displaystyle \mathbf {v} }$ не имеет свойства независимости пути, о котором говорилось выше, и не является консервативным.

В односвязной открытой области безвихревое векторное поле обладает свойством независимости от пути. Это можно увидеть, отметив, что в такой области безвихревое векторное поле является консервативным, а консервативные векторные поля обладают свойством независимости от пути. Результат также можно доказать напрямую, используя Теорема Стокса. В односвязной открытой области любое векторное поле, обладающее свойством независимости от пути, также должно быть безвихревым.

Говоря более абстрактно, при наличии Риманова метрика, векторные поля соответствуют дифференциал ${\displaystyle 1}$-формы. Консервативные векторные поля соответствуют точный ${\displaystyle 1}$-формы, то есть к формам, которые являются внешняя производная ${\displaystyle d\phi }$ функции (скалярное поле) ${\displaystyle \phi }$ на ${\displaystyle U}$. Безвихревые векторные поля соответствуют закрыто ${\displaystyle 1}$-форм, то есть к ${\displaystyle 1}$-формы ${\displaystyle \omega }$ такой, что ${\displaystyle d\omega =0}$. В качестве ${\displaystyle d^{2}=0}$, любая точная форма замкнута, поэтому любое консервативное векторное поле является безвихревым. Наоборот, все закрыто ${\displaystyle 1}$-формы точны, если ${\displaystyle U}$ является односвязный.

Завихренность

Основная статья: Завихренность

В завихренность ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ векторного поля можно определить как:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\nabla \times \mathbf {v} .}$

Завихренность безвихревого поля везде равна нулю.^[3] Теорема циркуляции Кельвина утверждает, что жидкость, которая является безвихревой в невязкий поток останется безвихревым. Этот результат может быть получен из уравнение переноса завихренности, полученный взятием ротора из уравнений Навье-Стокса.

Для двумерного поля завихренность действует как мера местный вращение жидкостных элементов. Обратите внимание, что завихренность нет подразумевают что-либо о глобальном поведении жидкости. Жидкость, движущаяся по прямой линии, может иметь завихренность, а жидкость, движущаяся по кругу, может быть безвихревой.

Консервативные силы

Примеры потенциальных и градиентных полей в физике:

•   Скалярные поля, скалярные потенциалы:
  • V_грамм, гравитационный потенциал
  • W_горшок, потенциальная энергия
  • V_C, Кулоновский потенциал
•   Векторные поля, градиентные поля:
  • а_грамм, ускорение свободного падения
  • F, сила
  • E, напряженность электрического поля

Если векторное поле, связанное с силой ${\displaystyle \mathbf {F} }$ консервативна, то сила называется консервативная сила.

Наиболее яркими примерами консервативных сил являются гравитационная сила и электрическая сила, связанная с электростатическим полем. В соответствии с Закон всемирного тяготения Ньютона, то сила гравитации ${\displaystyle \mathbf {F} _{G}}$ действуя на массу ${\displaystyle m}$ из-за массы ${\displaystyle M}$, то есть расстояние ${\displaystyle r}$ между ними подчиняется уравнению

${\displaystyle \mathbf {F} _{G}=-{\frac {GmM}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$

куда ${\displaystyle G}$ это гравитационная постоянная и ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ это единица измерения вектор, указывающий из ${\displaystyle M}$ к ${\displaystyle m}$. Сила тяжести консервативна, потому что ${\displaystyle \mathbf {F} _{G}=-\nabla \Phi _{G}}$, куда

${\displaystyle \Phi _{G}~{\stackrel {\text{def}}{=}}-{\frac {GmM}{r}}}$

это гравитационно потенциальная энергия. Можно показать, что любое векторное поле вида ${\displaystyle \mathbf {F} =F(r){\hat {\mathbf {r} }}}$ является консервативным при условии, что ${\displaystyle F(r)}$ интегрируемо.

За консервативные силы, независимость от пути может быть истолковано как означающее, что работа выполнена в движении с точки ${\displaystyle A}$ в точку ${\displaystyle B}$ не зависит от выбранного пути, и что работа ${\displaystyle W}$ сделано при обходе простого замкнутого цикла ${\displaystyle 0}$:

${\displaystyle W=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d{\mathbf {r} }=0.}$

Общая энергия частицы, движущейся под действием консервативных сил, сохраняется в том смысле, что потеря потенциальной энергии преобразуется в равное количество кинетической энергии или наоборот.

Смотрите также

• Векторное поле Бельтрами
• Консервативная сила
• Консервативная система
• Комплексное пластинчатое векторное поле
• Разложение Гельмгольца
• Лапласово векторное поле
• Продольные и поперечные векторные поля
• Соленоидальное векторное поле

Рекомендации

1. Марсден, Джеррольд; Тромба, Энтони (2003). Векторное исчисление (Пятое изд.). W.H. Фридман и компания. С. 550–561.
2. Джордж Б. Арфкен и Ханс Дж. Вебер, Математические методы для физиков, 6-е издание, Elsevier Academic Press (2005)
3. Липманн, Х.В.; Рошко, А. (1993) [1957], Элементы газовой динамики, Courier Dover Publications, ISBN  0-486-41963-0С. 194–196.

дальнейшее чтение

• Ачесон, Д. Дж. (1990). Элементарная гидродинамика. Издательство Оксфордского университета. ISBN  0198596790.