Псевдобыстротность - Pseudorapidity

Значения псевдобыстротности показаны на полярном графике. В физика элементарных частиц, нулевой угол обычно проходит вдоль оси луча, и, таким образом, частицы с высокими значениями псевдобыстрот обычно теряются, уходя через пространство в детекторе вместе с лучом.

Когда полярный угол приближается к нулю, псевдобыстрота стремится к бесконечности.

В экспериментальном физика элементарных частиц, псевдобыстротность, ${\displaystyle \eta }$, является обычно используемым пространственным координировать описывающий угол частицы относительно оси луча. Он определяется как

${\displaystyle \eta \equiv -\ln \left[\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right],}$

где ${\displaystyle \theta }$ - угол между трехимпульсной частицей ${\displaystyle \mathbf {p} }$ и положительное направление оси пучка.^[1] Обратно,

${\displaystyle \theta =2\arctan \left(e^{-\eta }\right).}$

Как функция трехимпульса ${\displaystyle \mathbf {p} }$псевдобыстроту можно записать как

${\displaystyle \eta ={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {\left|\mathbf {p} \right|+p_{\text{L}}}{\left|\mathbf {p} \right|-p_{\text{L}}}}\right)=\operatorname {arctanh} \left({\frac {p_{L}}{\left|\mathbf {p} \right|}}\right),}$

где ${\displaystyle p_{\text{L}}}$ - составляющая импульса вдоль оси пучка (т. е. продольный импульс - используя обычную систему координат для адронный коллайдер физика, это также обычно обозначается ${\displaystyle p_{z}}$). В пределе, когда частица движется со скоростью, близкой к скорости света, или, что то же самое, в приближении, когда масса частицы пренебрежимо мала, можно сделать замену ${\displaystyle m\ll |\mathbf {p} |\Rightarrow E\approx |\mathbf {p} |\Rightarrow \eta \approx y}$ (т.е. в этом пределе единственной энергией частицы является ее импульс-энергия, аналогично случаю фотона), и, следовательно, псевдобыстротность сходится к определению скорости, используемому в экспериментальной физике частиц:

${\displaystyle y\equiv {\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {E+p_{\text{L}}}{E-p_{\text{L}}}}\right)}$

Это немного отличается от определения быстрота в специальная теория относительности, который использует ${\displaystyle \left|\mathbf {p} \right|}$ вместо того ${\displaystyle p_{\text{L}}}$. Однако псевдобыстротность зависит только от полярного угла траектории частицы, а не от энергии частицы. В эксперименте на адронном коллайдере говорят о «прямом» направлении, что относится к областям детектора, которые расположены близко к оси пучка, на высоких ${\displaystyle |\eta |}$; в контекстах, где уместно различие между «вперед» и «назад», первое относится к положительным z-направление, а последнее - к отрицательному z-направление.

В физике адронных коллайдеров скорость (или псевдобыстротность) предпочтительнее полярного угла. ${\displaystyle \theta }$ потому что, грубо говоря, образование частиц постоянно в зависимости от скорости, и потому что различия быстро Инвариант Лоренца при наддувах вдоль продольной оси: они преобразуются аддитивно, подобно скоростям в Галилея относительность. Измерение разницы быстродействия ${\displaystyle \Delta y}$ между частицами (или ${\displaystyle \Delta \eta }$ если участвующие частицы безмассовые), следовательно, не зависит от продольного усиления системы отсчета (такой как лабораторная рама ). Это важная особенность физики адронных коллайдеров, где сталкивающиеся партоны несут разные доли продольного импульса Икс, что означает, что остальные системы отсчета партон-партонных столкновений будут иметь разные продольные бусты.

Скорость как функция псевдобыстротности определяется выражением

${\displaystyle y=\ln \left({\frac {{\sqrt {m^{2}+p_{\text{T}}^{2}\cosh ^{2}\eta }}+p_{\text{T}}\sinh \eta }{\sqrt {m^{2}+p_{\text{T}}^{2}}}}\right),}$

где ${\displaystyle p_{\text{T}}\equiv {\sqrt {p_{\text{x}}^{2}+p_{\text{y}}^{2}}}}$ - поперечный импульс (т. е. составляющая трехимпульса, перпендикулярная оси пучка).

Использование второго порядка Расширение Маклорена из ${\displaystyle y}$ выражено в ${\displaystyle m/p_{\text{T}}}$ можно приблизительно рассчитать скорость

${\displaystyle y\approx \eta -{\frac {p_{\text{L}}}{2|\mathbf {p} |}}\left({\frac {m}{p_{\text{T}}}}\right)^{2}=\eta -{\frac {\tanh {\eta }}{2}}\left({\frac {m}{p_{\text{T}}}}\right)^{2}=\eta -{\frac {\cos {\theta }}{2}}\left({\frac {m}{p_{\text{T}}}}\right)^{2},}$

что позволяет легко видеть, что для релятивистских частиц с ${\displaystyle p_{\text{T}}\gg m}$псевдобыстротность становится равной (истинной) быстроте.

Скорость используется для определения меры углового расстояния между частицами, обычно используемой в физике элементарных частиц. ${\displaystyle \Delta R\equiv {\sqrt {\left(\Delta y\right)^{2}+\left(\Delta \phi \right)^{2}}}}$, который является лоренц-инвариантным относительно наддува в продольном (пучковом) направлении. Часто термин быстроты в этом выражении заменяется псевдобыстротой, что дает определение с чисто угловыми величинами: ${\displaystyle \Delta R\equiv {\sqrt {\left(\Delta \eta \right)^{2}+\left(\Delta \phi \right)^{2}}}}$, который является лоренц-инвариантом, если вовлеченные частицы безмассовые. Разница азимутального угла, ${\displaystyle \Delta \phi }$, инвариантна относительно бустов Лоренца вдоль пучка (z-ось), потому что она измеряется в плоскости (т. е. "поперечная" х-у плоскости), ортогональной линии луча.

Ценности

График зависимости полярного угла от псевдобыстроти.

Вот некоторые типичные значения:

${\displaystyle \theta }$	${\displaystyle \eta }$	${\displaystyle \theta }$	${\displaystyle \eta }$
0°	∞	180°	−∞
0.1°	7.04	179.9°	−7.04
0.5°	5.43	179.5°	−5.43
1°	4.74	179°	−4.74
2°	4.05	178°	−4.05
5°	3.13	175°	−3.13
10°	2.44	170°	−2.44
20°	1.74	160°	−1.74
30°	1.32	150°	−1.32
45°	0.88	135°	−0.88
60°	0.55	120°	−0.55
80°	0.175	100°	−0.175
90°	0

Псевдобыстротность - странное дело ${\displaystyle \theta =90}$ градусов. Другими словами, ${\displaystyle \eta (\theta )=-\eta (180^{\circ }-\theta )}$.

Преобразование в декартовы импульсы

Адронные коллайдеры измеряют физические импульсы в терминах поперечного импульса ${\displaystyle p_{\text{T}}}$, полярный угол в поперечной плоскости ${\displaystyle \phi }$ и псевдобыстротность ${\displaystyle \eta }$. Чтобы получить декартовы импульсы ${\displaystyle (p_{x},p_{y},p_{z})}$ (с ${\displaystyle z}$-axis определяется как ось луча) используются следующие преобразования:

${\displaystyle p_{\text{x}}=p_{\text{T}}\cos \phi }$

${\displaystyle p_{\text{y}}=p_{\text{T}}\sin \phi }$

${\displaystyle p_{\text{z}}=p_{\text{T}}\sinh {\eta }}$.

Следовательно, ${\displaystyle |p|=p_{\text{T}}\cosh {\eta }}$.

использованная литература

1. Введение в столкновения тяжелых ионов при высоких энергиях, автор Чек-Инь Вонг, См. Стр. 24 для определения скорости.

• В. Чиочия (2010) Ускорители и детекторы частиц от Цюрихский университет