Быстрота - Rapidity

В относительность, быстрота обычно используется как мера релятивистской скорости. Математически быстроту можно определить как гиперболический угол который различает две системы отсчета в относительном движении, каждый кадр связан с расстояние и время координаты.

Для одномерного движения скорости аддитивны, тогда как скорости должны складываться по формуле Эйнштейна. формула сложения скоростей. Для низких скоростей скорость и скорость пропорциональны, но для более высоких скоростей скорость принимает большее значение, так как скорость света бесконечна.

С использованием обратная гиперболическая функция Artanh, быстрота ш соответствует скорости v является ш = artanh (v / c) где c - скорость света. Для низких скоростей, ш примерно v / c. Поскольку в теории относительности любая скорость v ограничен интервалом −c < v < c Соотношение v / c удовлетворяет −1 < v / c < 1. Обратный гиперболический тангенс имеет единичный интервал (−1, 1) для своего домен и весь реальная линия для своего ассортимент, поэтому интервал −c < v < c карты на −∞ < ш < ∞.

История

В 1908 г. Герман Минковски объяснил, как Преобразование Лоренца можно рассматривать как просто гиперболическое вращение из координаты пространства-времени, т.е. поворот на мнимый угол.^[1] Следовательно, этот угол представляет (в одном пространственном измерении) простую аддитивную меру скорости между кадрами.^[2] Параметр быстроты, заменяющий скорость, был введен в 1910 г. Владимир Варичак^[3] и по Э. Т. Уиттакер.^[4] Параметр был назван быстрота к Альфред Робб (1911)^[5] и этот термин был принят многими последующими авторами, такими как Зильберштейн (1914), Морли (1936) и Риндлер (2001).

Площадь гиперболического сектора

В квадратура гиперболы ху = 1 по Грегуар де Сент-Винсент установил натуральный логарифм как площадь гиперболического сектора или эквивалентную площадь относительно асимптоты. В теории пространства-времени связь событий посредством света делит Вселенную на Прошлое, Будущее или Где-то еще на основе Здесь и Сейчас.^{[требуется разъяснение ]}. На любой линии в пространстве луч света может быть направлен влево или вправо. Возьмите ось x как события, прошедшие правый луч, а ось y - как события левого луча. Тогда покоящаяся рама имеет время по диагонали Икс = у. Прямоугольная гипербола ху = 1 может использоваться для измерения скоростей (в первом квадранте). Нулевая скорость соответствует (1,1). Любая точка на гиперболе имеет координаты ${displaystyle (e^{w}, e^{-w})}$ где w - скорость, и равна площади гиперболический сектор из (1,1) в эти координаты. Многие авторы вместо этого ссылаются на гипербола единиц ${displaystyle x^{2}-y^{2},}$ используя скорость для параметра, как в стандарте диаграмма пространства-времени. Здесь оси измеряются часами и измерителем, более привычными ориентирами и основой теории пространства-времени. Таким образом, определение скорости как гиперболического параметра пространства луча является справочным.^{[требуется разъяснение ]} к происхождению семнадцатого века наших драгоценных трансцендентные функции, и дополнение к диаграммам пространства-времени.

В одном пространственном измерении

Быстрота ш возникает в линейном представлении Повышение лоренца как векторно-матричное произведение

${displaystyle {egin{pmatrix}ct'x'end{pmatrix}}={egin{pmatrix}cosh w&-sinh w-sinh w&cosh wend{pmatrix}}{egin{pmatrix}ctxend{pmatrix}}=mathbf {Lambda } (w){egin{pmatrix}ctxend{pmatrix}}}$.

Матрица Λ(ш) относится к типу ${displaystyle {egin{pmatrix}p&qq&pend{pmatrix}}}$ с п и q удовлетворение п² – q² = 1, так что (п, q) лежит на гипербола единиц. Такие матрицы образуют индефинитная ортогональная группа O (1,1) с одномерной алгеброй Ли, натянутой на антидиагональную единичную матрицу, показывая, что скорость является координатой на этой алгебре Ли. Это действие может быть изображено в диаграмма пространства-времени. В матричная экспонента обозначение Λ(ш) можно выразить как ${displaystyle mathbf {Lambda } (w)=e^{mathbf {Z} w}}$, где Z отрицательный элемент антидиагональной единичной матрицы

${displaystyle mathbf {Z} ={egin{pmatrix}0&-1-1&0end{pmatrix}}.}$

Нетрудно доказать, что

${displaystyle mathbf {Lambda } (w_{1}+w_{2})=mathbf {Lambda } (w_{1})mathbf {Lambda } (w_{2})}$.

Это устанавливает полезное аддитивное свойство быстроты: если А, B и C находятся системы отсчета, тогда

${displaystyle w_{ ext{AC}}=w_{ ext{AB}}+w_{ ext{BC}}}$

где ш_PQ обозначает скорость системы отсчета Q относительно системы отсчета п. Простота этой формулы контрастирует со сложностью соответствующих формула сложения скоростей.

Как видно из приведенного выше преобразования Лоренца, Фактор Лоренца отождествляется с шиш ш

${displaystyle gamma ={frac {1}{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}equiv cosh w}$,

так скорость ш неявно используется как гиперболический угол в Преобразование Лоренца выражения с использованием γ и β. Мы относим быстроту к формула сложения скоростей

${displaystyle u=(u_{1}+u_{2})/(1+u_{1}u_{2}/c^{2})}$

признавая

${displaystyle eta _{i}={frac {u_{i}}{c}}= anh {w_{i}}}$

и так

${displaystyle {egin{aligned} anh w&={frac { anh w_{1}+ anh w_{2}}{1+ anh w_{1} anh w_{2}}}&= anh(w_{1}+w_{2})end{aligned}}}$

Правильное ускорение (ускорение, «ощущаемое» ускоряемым объектом) - это скорость изменения скорости относительно подходящее время (время, измеренное самим объектом, испытывающим ускорение). Следовательно, скорость объекта в данном кадре можно рассматривать просто как скорость этого объекта, которая была бы рассчитана нерелятивистски с помощью инерциальной системы наведения на борту самого объекта, если бы он ускорялся из состояния покоя в этом кадре до заданной скорости. .

Продукт β и γ появляется часто, и из приведенных выше аргументов

${displaystyle eta gamma =sinh w,.}$

Экспоненциальные и логарифмические отношения

Из приведенных выше выражений имеем

${displaystyle e^{w}=gamma (1+eta )=gamma left(1+{frac {v}{c}}ight)={sqrt {frac {1+{ frac {v}{c}}}{1-{ frac {v}{c}}}}},}$

и поэтому

${displaystyle e^{-w}=gamma (1-eta )=gamma left(1-{frac {v}{c}}ight)={sqrt {frac {1-{ frac {v}{c}}}{1+{ frac {v}{c}}}}}.}$

или явно

${displaystyle w=ln left[gamma (1+eta )ight]=-ln left[gamma (1-eta )ight],.}$

В Доплеровский сдвиг фактор, связанный с быстротой ш является ${displaystyle k=e^{w}}$.

Более чем в одном пространственном измерении

Релятивистская скорость ${displaystyle {oldsymbol {eta }}}$ связано с быстротой ${displaystyle mathbf {w} }$ объекта через^[6]

${displaystyle {mathfrak {so}}(3,1)supset mathrm {span} {K_{1},K_{2},K_{3}}approx mathbb {R} ^{3}i mathbf {w} ={oldsymbol {hat {eta }}} anh ^{-1}eta ,quad {oldsymbol {eta }}in mathbb {B} ^{3},}$

где вектор ${displaystyle mathbf {w} }$ считается Декартовы координаты на 3-мерном подпространстве Алгебра Ли ${displaystyle {mathfrak {o}}(3,1)approx {mathfrak {so}}(3,1)}$ группы Лоренца, натянутой на повышающие генераторы ${displaystyle K_{1},K_{2},K_{3}}$ - в полной аналогии с одномерным случаем ${displaystyle {mathfrak {o}}(1,1)}$ обсуждалось выше - и пространство скоростей представлен открытым шаром ${displaystyle mathbb {B} ^{3}}$ с радиусом ${displaystyle 1}$ поскольку ${displaystyle |eta |<1}$. Последнее следует из того, что ${displaystyle c}$ - предельная скорость в теории относительности (с единицами измерения ${displaystyle c=1}$).

Общая формула композиции быстрот:^{[7][nb 1]}

${displaystyle mathbf {w} ={oldsymbol {hat {eta }}} anh ^{-1}eta ,quad {oldsymbol {eta }}={oldsymbol {eta }}_{1}oplus {oldsymbol {eta }}_{2},}$

где ${displaystyle {oldsymbol {eta }}_{1}oplus {oldsymbol {eta }}_{2}}$ относится к релятивистское сложение скоростей и ${displaystyle {oldsymbol {hat {eta }}}}$ - единичный вектор в направлении ${displaystyle {oldsymbol {eta }}}$. Эта операция не коммутативна и не ассоциативна. Быстроты ${displaystyle mathbf {w} _{1},mathbf {w} _{2}}$ с направлениями, наклоненными под углом ${displaystyle heta }$ иметь результирующую норму ${displaystyle wequiv |mathbf {w} |}$ (обычная евклидова длина), задаваемая гиперболический закон косинусов,^[8]

${displaystyle cosh w=cosh w_{1}cosh w_{2}+sinh w_{1}sinh w_{2}cos heta .}$

Геометрия на быстроте пространства унаследована от гиперболическая геометрия в пространстве скоростей через указанную карту. Эта геометрия, в свою очередь, может быть выведена из закона сложения релятивистских скоростей.^[9] Таким образом, скорость в двух измерениях можно удобно визуализировать с помощью Диск Пуанкаре.^[10] Геодезические соответствуют установившимся ускорениям. Точно так же можно поместить трехмерное пространство в пространстве. изометрия с модель гиперболоида (изометрично 3-мерный диск Пуанкаре (или мяч)). Это подробно описано в геометрия пространства Минковского.

Сложение двух скоростей не дает Только в новой скорости; результирующее полное преобразование - это композиция преобразования, соответствующая скорости, указанной выше, и вращение параметризованный вектором ${displaystyle {oldsymbol { heta }}}$,

${displaystyle Lambda =e^{-i{oldsymbol { heta }}cdot mathbf {J} }e^{-imathbf {w} cdot mathbf {K} },}$

где используется соглашение физиков об экспоненциальном отображении. Это следствие правила коммутации

${displaystyle [K_{i},K_{j}]=-iepsilon _{ijk}J_{k},}$

где ${displaystyle J_{k},k=1,2,3,}$ являются генераторы вращения. Это связано с феноменом Прецессия Томаса. Для вычисления параметра ${displaystyle {oldsymbol { heta }}}$, ссылка на статью.

В экспериментальной физике элементарных частиц

Энергия E и скалярный импульс |п| частицы ненулевой (покойной) массы м даны:

${displaystyle E=gamma mc^{2}}$

${displaystyle |mathbf {p} |=gamma mv.}$

С определением ш

${displaystyle w=operatorname {artanh} {frac {v}{c}},}$

и таким образом с

${displaystyle cosh w=cosh left(operatorname {artanh} {frac {v}{c}}ight)={frac {1}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=gamma }$

${displaystyle sinh w=sinh left(operatorname {artanh} {frac {v}{c}}ight)={frac {frac {v}{c}}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=eta gamma ,}$

энергию и скалярный импульс можно записать как:

${displaystyle E=mc^{2}cosh w}$

${displaystyle |mathbf {p} |=mc,sinh w.}$

Таким образом, быстроту можно рассчитать по измеренной энергии и импульсу с помощью

${displaystyle w=operatorname {artanh} {frac {|mathbf {p} |c}{E}}={frac {1}{2}}ln {frac {E+|mathbf {p} |c}{E-|mathbf {p} |c}}=ln {frac {E+|mathbf {p} |c}{mc^{2}}}~.}$

Однако физики-экспериментаторы частиц часто используют модифицированное определение скорости относительно оси пучка.

${displaystyle y={frac {1}{2}}ln {frac {E+p_{z}c}{E-p_{z}c}},}$

где п_z - составляющая количества движения вдоль оси пучка.^[11] Это скорость усиления вдоль оси луча, которая переводит наблюдателя из лабораторной рамки в рамку, в которой частица движется только перпендикулярно лучу. С этим связана концепция псевдобыстротность.

Скорость относительно оси луча также может быть выражена как

${displaystyle y=ln {frac {E+p_{z}c}{sqrt {m^{2}c^{4}+p_{T}^{2}c^{2}}}}~.}$

Смотрите также

• Бонди k-исчисление
• Преобразование Лоренца
• Псевдобыстротность
• Правильная скорость
• Теория относительности

Замечания

1. Это следует понимать в том смысле, что при двух скоростях результирующая скорость - это скорость, соответствующая двум скоростям. релятивистски добавлен. У быстроты также есть обычное сложение, унаследованное от ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$, и контекст решает, какую операцию использовать.

Примечания и ссылки

1. Герман Минковски (1908) Основные уравнения электромагнитных процессов в движущихся телах. через Wikisource
2. Зоммерфельд, Phys. Z 1909
3. Владимир Варичак (1910) Применение геометрии Лобачевского в теории относительности Physikalische Zeitschrift через Wikisource
4. Э. Т. Уиттакер (1910) История теорий эфира и электричества, стр. 441.
5. Альфред Робб (1911) Оптическая геометрия движения стр.9
6. Джексон 1999, п. 547
7. Родос и Семон 2003 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFRhodesSemon2003 (Помогите)
8. Робб 1910, Варичак 1910, Борель 1913
9. Ландау и Лифшиц, 2002 г., Проблема стр. 38 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFLandauLifshitz2002 (Помогите)
10. Родос и Семон 2003 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFRhodesSemon2003 (Помогите)
11. Амслер, К. и другие., «Обзор физики элементарных частиц», Письма по физике B 667 (2008) 1, Раздел 38.5.2

• Варичак V (1910), (1912), (1924) См. Владимир Варичак # Публикации
• Уиттакер, Э. Т. (1910). "История теорий эфира и электричества ": 441.
• Робб, Альфред (1911). Оптическая геометрия движения, новый взгляд на теорию относительности. Кембридж: Хеффнер и сыновья.
• Борель Э (1913) Теория относительности и кино, Comptes Rendus Acad Sci, Париж, 156 215–218; 157 703-705
• Зильберштейн, Людвик (1914). Теория относительности. Лондон: Macmillan & Co.
• Владимир Карапетов (1936) "Ограниченная теория относительности в терминах гиперболических функций быстроты", Американский математический ежемесячный журнал 43:70.
• Фрэнк Морли (1936) «Когда и где», Критерий, Отредактировано Т.С. Элиот, 15:200-2009.
• Вольфганг Риндлер (2001) Относительность: специальная, общая и космологическая, стр. 53, Oxford University Press.
• Шоу, Рональд (1982) Линейная алгебра и представления групп, т. 1, стр. 229, Академическая пресса ISBN  0-12-639201-3.
• Вальтер, Скотт (1999). «Неевклидов стиль теории относительности Минковского» (PDF). В J. Gray (ed.). Символическая Вселенная: геометрия и физика. Издательство Оксфордского университета. С. 91–127.(см. стр. 17 электронной ссылки)
• Rhodes, J. A .; Семон, М. Д. (2004). «Релятивистское пространство скоростей, вигнеровское вращение и прецессия Томаса». Являюсь. J. Phys. 72: 93–90. arXiv:gr-qc / 0501070. Bibcode:2004AmJPh..72..943R. Дои:10.1119/1.1652040.
• Джексон, Дж. Д. (1999) [1962]. «Глава 11». Классическая электродинамика (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-30932-X.