Чистый спинор - Pure spinor

В области математика известный как теория представлений, чистые спиноры (или же простые спиноры) находятся спиноры которые аннигилируют под действием Клиффорда максимальным изотропное подпространство пространства${displaystyle V}$ векторов относительно скалярного произведения, определяющего алгебру Клиффорда. Их представил Эли Картан ^[1]в 1930-е годы для классификации сложные конструкции. Чистые спиноры были ключевым ингредиентом в изучении геометрия вращения и твисторная теория,представлен Роджер Пенроуз в 1960-е гг.

Определение

Рассмотрим сложный векторное пространство ${displaystyle V}$ с любым даже сложное измерение ${displaystyle 2n}$ или странно сложное измерение ${displaystyle 2n+1}$ и невырожденный комплекс скалярное произведение ${displaystyle Q}$, со значениями ${displaystyle Q(u,v)}$ на парах векторов ${displaystyle (u,v)}$. В Алгебра Клиффорда ${displaystyle Cl(V,Q)}$ является частным от полного тензора алгебра на ${displaystyle V}$ идеалом, порожденным соотношениями

${displaystyle uoplus v+voplus u=Q(u,v),quad forall u,vin V.}$

Спиноры находятся модули алгебры Клиффорда, и, в частности, есть действие элементов ${displaystyle V}$ на пространстве спиноров. Комплексное подпространство ${displaystyle V_{psi }^{0}subset V}$ который аннигилирует данный ненулевой спинор ${displaystyle psi }$ имеет размер ${displaystyle mleq n}$. Если ${displaystyle m=n}$ тогда ${displaystyle psi }$ считается чистый спинор.

Проективные чистые спиноры

Каждый чистый спинор аннигилирует максимальное изотропное подпространство в ${displaystyle V}$ относительно скалярного произведения${displaystyle Q}$. И наоборот, учитывая максимальное изотропное подпространство, можно определить чистый спинор, который аннигилирует его с точностью до умножения на комплексное число. Чистые спиноры, определенные с точностью до проективизации, называются проективные чистые спиноры. За ${displaystyle V}$ измерения ${displaystyle 2n}$, пространство проективных чистых спиноров есть однородное пространство

${displaystyle SO(2n)/U(n).}$

Как показал Картан, чистые спиноры однозначно определяются тем фактом, что они удовлетворяют набору однородных квадратные уравнения на стандартном неприводимом спинорном модуле Картановские отношения, которые определяют образ максимальных изотропных подпространств векторного пространства ${displaystyle V}$ под Карта Картана. В семи или менее измерениях все спиноры чистые. В 8-ми измерениях существует единственная чистая спинорная связь. В 10 измерениях есть 10 ограничений

${displaystyle psi Gamma _{mu }psi =0,}$

куда ${displaystyle Gamma _{mu }}$ являются Гамма-матрицы которые представляют векторы в ${displaystyle mathbf {C} ^{10}}$ которые порождают алгебру Клиффорда. Картан показал, что в целом

${displaystyle sum _{0leq mleq n-1 atop mequiv n, { ext{mod }}4}{{ ext{dim}}(V) choose m}}$

квадратичные отношения, означающие исчезновение квадратичных форм со значениями во внешних пространствах ${displaystyle Lambda ^{m}(V)}$ за

${displaystyle mequiv n, { ext{mod }}4}$

соответствующие этим кососимметрическим элементам алгебры Клиффорда. Однако, поскольку размерность грассманиана максимальных изотропных подпространств ${displaystyle V}$ является ${displaystyle { frac {1}{2}}n(n-1)}$ и отображение Картана - это вложение этого в проективизацию полупинорного модуля, когда ${displaystyle V}$ имеет одинаковую размерность ${displaystyle 2n}$ и неприводимый спинорный модуль, если он нечетной размерности ${displaystyle 2n+1}$, количество независимый квадратичные ограничения только

${displaystyle 2^{n-1}-{ frac {1}{2}}n(n-1)-1}$

в ${displaystyle 2n}$ размерный случай и

${displaystyle 2^{n}-{ frac {1}{2}}n(n-1)-1}$

в ${displaystyle 2n+1}$ размерный.

Чистые спиноры в теории струн

Чистые спиноры были введены в квантование струн Натан Берковиц ^[2].Найджел Хитчин представил обобщенные многообразия Калаби – Яу, где обобщенная сложная структура определяется чистым спинором. Эти пространства описывают геометрию компактификации потока в теории струн.

Рекомендации

• Картан, Эли. Lecons sur la Theorie des Spineurs, Париж, Герман (1937).
• Шевалле, Клод. Алгебраическая теория спиноров и алгебр Клиффорда. Собрание сочинений. Springer Verlag (1996).
• Чарльтон, Филип. Геометрия чистых спиноров с приложениями, Кандидатская диссертация (1997).

1. Картан, Эли (1981) [1938], Теория спиноров, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0-486-64070-9, МИСТЕР  0631850
2. Берковиц, Натан (2000). "Ковариантное квантование супер-Пуанкаре суперструны". Журнал физики высоких энергий. 2000 (4): 18–18. Дои:10.1088/1126-6708/2000/04/018.