Твисторная теория - Twistor theory

В теоретическая физика, твисторная теория был предложен Роджер Пенроуз в 1967 г.^[1] как возможный путь^[2] к квантовая гравитация и превратилась в ветвь теоретический и математическая физика. Пенроуз предложил твистор пространство должно быть основной ареной для физики, из которой должно возникнуть само пространство-время. Это приводит к мощному набору математических инструментов, которые могут применяться для дифференциал и интегральная геометрия, нелинейные дифференциальные уравнения и теория представлений и по физике общая теория относительности и квантовая теория поля, в частности амплитуды рассеяния.

Обзор

Математически, проективный твистор пространство ${\displaystyle \mathbb {PT} }$ это 3-х мерный комплексное многообразие, сложный проективное 3-пространство ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$. Он имеет физическую интерпретацию пространства безмассовые частицы с вращение. Это проектирование 4-х мерного комплексное векторное пространство, непроективное твисторное пространство ${\displaystyle \mathbb {T} }$ с Эрмитова форма из подпись (2,2) и голоморфный объемная форма. Наиболее естественно это можно понять как пространство хиральный (Weyl ) спиноры для конформная группа ${\displaystyle SO(4,2)/\mathbb {Z} _{2}}$ из Пространство Минковского; это фундаментальное представление из вращательная группа ${\displaystyle SU(2,2)}$ конформной группы. Это определение может быть расширено до любых измерений, за исключением того, что за пределами четырех измерений проективное твисторное пространство определяется как пространство проективных чистые спиноры для конформной группы.^[3][4]

В первоначальном виде твисторная теория кодирует физические поля на пространстве Минковского в комплексный аналитический объекты на твисторном пространстве через Преобразование Пенроуза. Это особенно естественно для безмассовые поля произвольных вращение. В первую очередь они получаются через контурный интеграл формулы в терминах свободных голоморфных функций на областях твисторного пространства. Голоморфные твисторные функции, порождающие решения уравнений безмассового поля, правильнее понимать как Чех представители аналитических классы когомологий по регионам в ${\displaystyle \mathbb {PT} }$. Эти соответствия были распространены на некоторые нелинейные поля, включая самодвойственный гравитация в Пенроуза нелинейный гравитон строительство^[5] и самодвойственный Поля Янга – Миллса в Строительство палаты;^[6] первое порождает деформации лежащей в основе сложной структуры регионов в ${\displaystyle \mathbb {PT} }$, а последнее - к некоторым голоморфным векторным расслоениям над областями в ${\displaystyle \mathbb {PT} }$. Эти конструкции нашли широкое применение.^[7][8][9]

Условие самодуальности является основным ограничением для включения полной нелинейности физических теорий, хотя этого достаточно для Ян – Миллс – Хиггс монополи и инстантоны (видеть Строительство ADHM ).^[10] Первой попыткой преодолеть это ограничение было введение амбитвисторов Эдвард Виттен^[11] и Айзенберг, Яскин и Грин.^[12] Пространство амбитвистора - это пространство комплексифицированных световых лучей или безмассовых частиц, и его можно рассматривать как комплексообразующий или котангенсный пучок исходного описания твистора. Они применимы к общим полям, но уравнения поля уже не так просто выражаются.

Твисториальные формулы для взаимодействия за пределами самодуального сектора впервые возникла из твисторная теория струн.^[13] Это квантовая теория голоморфных отображений Риманова поверхность в твисторное пространство. Это привело к появлению удивительно компактных формул RSV (Ройбана, Спрадлина и Воловича) для трехуровневых S-матрицы теорий Янга – Миллса,^[14] но его гравитационные степени свободы породили версию конформной супергравитация ограничение его применимости; конформная гравитация нефизическая теория, содержащая призраки, но его взаимодействия сочетаются с взаимодействиями теории Янга – Миллса в амплитудах петель, рассчитанных с помощью теории твисторных струн.^[15]

Несмотря на свои недостатки, теория твисторных струн привела к быстрому развитию исследований амплитуд рассеяния. Одним из них был так называемый формализм MHV.^[16] слабо основанный на разъединенных струнах, но получил более фундаментальную основу в терминах твисторного действия для полной теории Янга – Миллса в твисторном пространстве.^[17] Еще одним ключевым событием стало введение рекурсии BCFW.^[18] Это имеет естественную формулировку в твисторном пространстве.^[19][20] что, в свою очередь, привело к замечательным формулировкам амплитуд рассеяния в терминах Интеграл Грассмана формулы^[21][22] и многогранники.^[23] В последнее время эти идеи превратились в положительные Грассманиан^[24] и амплитуэдр.

Теория твисторных струн была расширена сначала путем обобщения формулы амплитуды RSV Янга – Миллса, а затем путем нахождения лежащих в основе теория струн. Расширение гравитации было дано Cachazo & Skinner,^[25] и сформулирована как твисторная теория струн для максимальная супергравитация Дэвида Скиннера.^[26] Аналогичные формулы затем были найдены во всех измерениях Качазо, Хе и Юанем для теории Янга – Миллса и гравитации.^[27] и впоследствии для множества других теорий.^[28] Затем они были поняты Мейсоном и Скиннером как теории струн в пространстве амбитвисторов.^[29] в общей структуре, которая включает исходную крутящуюся струну и расширяется, чтобы дать ряд новых моделей и формул.^[30][31][32] Как струнные теории они имеют то же самое критические размеры как обычная теория струн; например тип II суперсимметричные версии имеют решающее значение в десяти измерениях и эквивалентны полной теории поля сверхгравитаций типа II в десяти измерениях (это отличается от традиционных теорий струн, которые также имеют дополнительную бесконечную иерархию массивных состояний с более высоким спином, которые обеспечивают ультрафиолетовое завершение ). Они расширяются, чтобы дать формулы для амплитуд петель^[33][34] и может быть определен на изогнутом фоне.^[35]

Твисторное соответствие

Обозначить Пространство Минковского к ${\displaystyle M}$, с координатами ${\displaystyle x^{a}=(t,x,y,z)}$ и лоренцевой метрики ${\displaystyle \eta _{ab}}$ подпись ${\displaystyle (1,3)}$. Ввести двухкомпонентные спинорные индексы ${\displaystyle A=0,1;\;A'=0',1',}$ и установить

${\displaystyle x^{AA'}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}t-z&x+iy\\x-iy&t+z\end{pmatrix}}.}$

Непроективное твисторное пространство ${\displaystyle \mathbb {T} }$ представляет собой четырехмерное комплексное векторное пространство с координатами, обозначенными ${\displaystyle Z^{\alpha }=\left(\omega ^{A},\,\pi _{A'}\right)}$ куда ${\displaystyle \omega ^{A}}$ и ${\displaystyle \pi _{A'}}$ два постоянных Спиноры Вейля. Эрмитова форма может быть выражена путем определения комплексного спряжения из ${\displaystyle \mathbb {T} }$ к его двойному ${\displaystyle \mathbb {T} ^{*}}$ к ${\displaystyle {\bar {Z}}_{\alpha }=\left({\bar {\pi }}_{A},\,{\bar {\omega }}^{A'}\right)}$ так что эрмитова форма может быть выражена как

${\displaystyle Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }=\omega ^{A}{\bar {\pi }}_{A}+{\bar {\omega }}^{A'}\pi _{A'}.}$

Это вместе с формой голоморфного объема, ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }Z^{\alpha }dZ^{\beta }\wedge dZ^{\gamma }\wedge dZ^{\delta }}$ инвариантно относительно группы SU (2,2), четверного накрытия конформной группы C (1,3) компактифицированного пространства-времени Минковского.

Точки в пространстве Минковского связаны с подпространствами твисторного пространства соотношением инцидентности

${\displaystyle \omega ^{A}=ix^{AA'}\pi _{A'}.}$

Отношение инцидентности сохраняется при полном масштабировании твистора, поэтому обычно работают в проективном твисторном пространстве. ${\displaystyle \mathbb {PT} ,}$ которое как комплексное многообразие изоморфно ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$. Точка ${\displaystyle x\in M}$ тем самым определяет линию ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ в ${\displaystyle \mathbb {PT} }$ параметризовано ${\displaystyle \pi _{A'}.}$ Твистор ${\displaystyle Z^{\alpha }}$ проще всего понять в пространстве-времени для комплексных значений координат, где он определяет полностью нулевую двухплоскость, которая является самодвойственной. Брать ${\displaystyle x}$ быть реальным, то если ${\displaystyle Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }}$ исчезает, тогда ${\displaystyle x}$ лежит на луче света, а если ${\displaystyle Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }}$ не обращается в нуль, решений нет, и тогда ${\displaystyle Z^{\alpha }}$ соответствует безмассовой частице со спином, не локализованным в реальном пространстве-времени.

Вариации

Супертвисторы

Супервисторы - это суперсимметричный расширение твисторов введено Алан Фербер в 1978 г.^[36] Непроективное твисторное пространство расширяется фермионный координаты, где ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ это количество суперсимметрий так что твистор теперь задается ${\displaystyle \left(\omega ^{A},\,\pi _{A'},\,\eta ^{i}\right),i=1,\ldots ,{\mathcal {N}}}$ с ${\displaystyle \eta ^{i}}$ антикоммутинг. Суперконформная группа ${\displaystyle SU(2,2|{\mathcal {N}})}$ естественным образом действует в этом пространстве, и суперсимметричная версия преобразования Пенроуза переводит классы когомологий на супертвисторном пространстве в безмассовые суперсимметричные мультиплеты на суперпространстве Минковского. В ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ футляр служит мишенью для оригинальной твисторной струны Пенроуза и ${\displaystyle {\mathcal {N}}=8}$ случай таков для обобщения супергравитации Скиннера.

Гиперкэлеровы многообразия

Гиперкэлеровы многообразия измерения ${\displaystyle 4k}$ также допускают твисторное соответствие с твисторным пространством комплексной размерности ${\displaystyle 2k+1}$.

Теория дворцового твистора

Конструкция нелинейного гравитона кодирует только антисамодуальные, т.е. левосторонние поля.^[5] Первым шагом к проблеме модификации твисторного пространства с целью кодирования общего гравитационного поля является кодирование правша поля. В бесконечно малой степени они закодированы в твисторных функциях или когомология классы однородность −6. Задача использования таких твисторных функций полностью нелинейным образом, чтобы получить правша нелинейный гравитон получил название (гравитационный) проблема с Google (слово "погуглить "- термин, используемый в игре крикет для шара, бьющего с правой спиральностью, с использованием кажущегося действия, которое обычно приводит к левой спиральности).^[37] Самое последнее предложение Пенроуза в этом направлении в 2015 году было основано на некоммутативная геометрия на твисторном пространстве и обозначается теория дворцового твистора.^[38] Теория названа в честь Букингемский дворец, куда Майкл Атья предложил Пенроузу использовать тип "некоммутативная алгебра ", важный компонент теории (основная твисторная структура в дворцовой твисторной теории была смоделирована не на твисторном пространстве, а на некоммутативном голоморфный твистор квантовая алгебра ).^[39]

Смотрите также

• Фоновая независимость
• Сложное пространство-время
• История петлевой квантовой гравитации
• Сравнения Робинсона
• Спиновая сеть

Примечания

1. Пенроуз Р. (1967). «Твисторная алгебра». Журнал математической физики. 8 (2): 345–366. Bibcode:1967JMP ..... 8..345P. Дои:10.1063/1.1705200.
2. Penrose, R .; MacCallum, M.A.H. (1973). «Твисторная теория: подход к квантованию полей и пространства-времени». Отчеты по физике. 6 (4): 241–315. Bibcode:1973ФР ..... 6..241П. Дои:10.1016/0370-1573(73)90008-2.
3. Пенроуз, Роджер; Риндлер, Вольфганг (1986). Спиноры и пространство-время. Издательство Кембриджского университета. С. Приложение. Дои:10.1017 / cbo9780511524486. ISBN  9780521252676.
4. Hughston, L.P .; Мейсон, Л. Дж. (1988). «Обобщенная теорема Керра-Робинсона». Классическая и квантовая гравитация. 5 (2): 275. Bibcode:1988CQGra ... 5..275H. Дои:10.1088/0264-9381/5/2/007. ISSN  0264-9381.
5. Пенроуз Р. (1976). «Нелинейные гравитоны и теория криволинейных твисторов». Gen. Rel. Грав. 7, 31–52.
6. Уорд, Р.С. (1977). «О самодуальных калибровочных полях». Письма о физике A. 61 (2): 81–82. Bibcode:1977PhLA ... 61 ... 81Вт. Дои:10.1016/0375-9601(77)90842-8.
7. 1951-, Уорд, Р. С. (Ричард Сэмюэл) (1990). Твисторная геометрия и теория поля. Уэллс, Р. О. (Раймонд О'Нил), 1940 -. Кембридж [Англия]: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521422680. OCLC  17260289.
8. Мейсон, Лайонел Дж; Вудхаус, Николас М Дж (1996). Интегрируемость, самодуальность и твисторная теория. Оксфорд: Clarendon Press. ISBN  9780198534983. OCLC  34545252.
9. Дунайский, Мацей (2010). Солитоны, инстантоны и твисторы. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN  9780198570622. OCLC  507435856.
10. Atiyah, M.F .; Хитчин, штат Нью-Джерси; Дринфельд, В.Г .; Манин, Ю.И. (1978). «Построение инстантонов». Письма о физике A. 65 (3): 185–187. Bibcode:1978ФЛА ... 65..185А. Дои:10.1016 / 0375-9601 (78) 90141-х.
11. Виттен, Эдвард (1978). «Интерпретация классической теории Янга-Миллса». Письма по физике B. 77 (4–5): 394–398. Bibcode:1978ФЛБ ... 77..394Вт. Дои:10.1016/0370-2693(78)90585-3.
12. Изенберг, Джеймс; Яскин, Филипп Б .; Грин, Пол С. (1978). «Несамодуальные калибровочные поля». Письма по физике B. 78 (4): 462–464. Bibcode:1978ФЛБ ... 78..462И. Дои:10.1016/0370-2693(78)90486-0.
13. Виттен, Эдвард (6 октября 2004 г.). "Пертурбативная калибровочная теория как теория струн в твисторном пространстве". Коммуникации по математической физике. 252 (1–3): 189–258. arXiv:hep-th / 0312171. Bibcode:2004CMaPh.252..189W. Дои:10.1007 / s00220-004-1187-3.
14. Ройбан, Раду; Спрадлин, Маркус; Волович, Анастасия (30.07.2004). "Трехуровневая S-матрица теории Янга-Миллса". Физический обзор D. 70 (2): 026009. arXiv:hep-th / 0403190. Bibcode:2004ПхРвД..70б6009Р. Дои:10.1103 / PhysRevD.70.026009.
15. Берковиц, Натан; Виттен, Эдвард (2004). «Конформная супергравитация в теории твисторных струн». Журнал физики высоких энергий. 2004 (8): 009. arXiv:hep-th / 0406051. Bibcode:2004JHEP ... 08..009B. Дои:10.1088/1126-6708/2004/08/009. ISSN  1126-6708.
16. Качазо, Фредди; Сврчек, Питер; Виттен, Эдвард (2004). «Вершины MHV и амплитуды деревьев в калибровочной теории». Журнал физики высоких энергий. 2004 (9): 006. arXiv:hep-th / 0403047. Bibcode:2004JHEP ... 09..006C. Дои:10.1088/1126-6708/2004/09/006. ISSN  1126-6708.
17. Адамо, Тим; Буллимор, Мэтью; Мейсон, Лайонел; Скиннер, Дэвид (2011). «Амплитуды рассеяния и петли Вильсона в твисторном пространстве». Журнал физики A: математический и теоретический. 44 (45): 454008. arXiv:1104.2890. Bibcode:2011JPhA ... 44S4008A. Дои:10.1088/1751-8113/44/45/454008.
18. Бритто, Рут; Качазо, Фредди; Фэн, Бо; Виттен, Эдвард (2005-05-10). "Прямое доказательство отношения рекурсии амплитуды рассеяния на трех уровнях в теории Янга-Миллса". Письма с физическими проверками. 94 (18): 181602. arXiv:hep-th / 0501052. Bibcode:2005ПхРвЛ..94р1602Б. Дои:10.1103 / PhysRevLett.94.181602. PMID  15904356.
19. Мейсон, Лайонел; Скиннер, Дэвид (01.01.2010). «Амплитуды рассеяния и рекурсия BCFW в твисторном пространстве». Журнал физики высоких энергий. 2010 (1): 64. arXiv:0903.2083. Bibcode:2010JHEP ... 01..064M. Дои:10.1007 / JHEP01 (2010) 064. ISSN  1029-8479.
20. Аркани-Хамед, Н .; Cachazo, F .; Cheung, C .; Каплан, Дж. (01.03.2010). «S-матрица в твисторном пространстве». Журнал физики высоких энергий. 2010 (3): 110. arXiv:0903.2110. Bibcode:2010JHEP ... 03..110A. Дои:10.1007 / JHEP03 (2010) 110. ISSN  1029-8479.
21. Аркани-Хамед, Н .; Cachazo, F .; Cheung, C .; Каплан, Дж. (01.03.2010). «Двойственность для S-матрицы». Журнал физики высоких энергий. 2010 (3): 20. arXiv:0907.5418. Bibcode:2010JHEP ... 03..020A. Дои:10.1007 / JHEP03 (2010) 020. ISSN  1029-8479.
22. Мейсон, Лайонел; Скиннер, Дэвид (2009). «Двойная суперконформная инвариантность, твисторы импульса и грассманианы». Журнал физики высоких энергий. 2009 (11): 045. arXiv:0909.0250. Bibcode:2009JHEP ... 11..045M. Дои:10.1088/1126-6708/2009/11/045. ISSN  1126-6708.
23. Ходжес, Эндрю (2013-05-01). «Устранение ложных полюсов из теоретико-калибровочных амплитуд». Журнал физики высоких энергий. 2013 (5): 135. arXiv:0905.1473. Bibcode:2013JHEP ... 05..135H. Дои:10.1007 / JHEP05 (2013) 135. ISSN  1029-8479.
24. Аркани-Хамед, Нима; Bourjaily, Jacob L .; Качазо, Фредди; Гончаров, Александр Б .; Постников Александр; Трнка, Ярослав (21 декабря 2012). «Амплитуды рассеяния и положительный грассманиан». arXiv:1212.5605 [hep-th ].
25. Качазо, Фредди; Скиннер, Дэвид (2013-04-16). «Гравитация из рациональных кривых в твисторном пространстве». Письма с физическими проверками. 110 (16): 161301. arXiv:1207.0741. Bibcode:2013ПхРвЛ.110п1301С. Дои:10.1103 / PhysRevLett.110.161301. PMID  23679592.
26. Скиннер, Дэвид (2013-01-04). "Твисторные струны для N = 8 супергравитации". arXiv:1301.0868 [hep-th ].
27. Качазо, Фредди; Он, Песня; Юань, Эллис Йе (2014-07-01). «Рассеяние безмассовых частиц: скаляры, глюоны и гравитоны». Журнал физики высоких энергий. 2014 (7): 33. arXiv:1309.0885. Bibcode:2014JHEP ... 07..033C. Дои:10.1007 / JHEP07 (2014) 033. ISSN  1029-8479.
28. Качазо, Фредди; Он, Песня; Юань, Эллис Йе (01.07.2015). «Уравнения рассеяния и матрицы: от Эйнштейна до Янга-Миллса, DBI и NLSM». Журнал физики высоких энергий. 2015 (7): 149. arXiv:1412.3479. Bibcode:2015JHEP ... 07..149C. Дои:10.1007 / JHEP07 (2015) 149. ISSN  1029-8479.
29. Мейсон, Лайонел; Скиннер, Дэвид (2014-07-01). «Струны амбитвистора и уравнения рассеяния». Журнал физики высоких энергий. 2014 (7): 48. arXiv:1311.2564. Bibcode:2014JHEP ... 07..048M. Дои:10.1007 / JHEP07 (2014) 048. ISSN  1029-8479.
30. Берковиц, Натан (2014-03-01). «Предел бесконечного натяжения чистой спинорной суперструны». Журнал физики высоких энергий. 2014 (3): 17. arXiv:1311.4156. Bibcode:2014JHEP ... 03..017B. Дои:10.1007 / JHEP03 (2014) 017. ISSN  1029-8479.
31. Гейер, Ивонн; Липштейн, Артур Э .; Мейсон, Лайонел (2014-08-19). «Струны Ambitwistor в четырех измерениях». Письма с физическими проверками. 113 (8): 081602. arXiv:1404.6219. Bibcode:2014ПхРвЛ.113х1602Г. Дои:10.1103 / PhysRevLett.113.081602. PMID  25192087.
32. Казали, Эдуардо; Гейер, Ивонн; Мейсон, Лайонел; Монтейро, Рикардо; Рериг, Кай А. (01.11.2015). «Новые амбитвисторные теории струн». Журнал физики высоких энергий. 2015 (11): 38. arXiv:1506.08771. Bibcode:2015JHEP ... 11..038C. Дои:10.1007 / JHEP11 (2015) 038. ISSN  1029-8479.
33. Адамо, Тим; Казали, Эдуардо; Скиннер, Дэвид (2014-04-01). «Струны амбитвистора и уравнения рассеяния на одной петле». Журнал физики высоких энергий. 2014 (4): 104. arXiv:1312.3828. Bibcode:2014JHEP ... 04..104A. Дои:10.1007 / JHEP04 (2014) 104. ISSN  1029-8479.
34. Гейер, Ивонн; Мейсон, Лайонел; Монтейро, Рикардо; Туркин, Петр (16.09.2015). "Петлевые интегранты для амплитуд рассеяния от сферы Римана". Письма с физическими проверками. 115 (12): 121603. arXiv:1507.00321. Bibcode:2015ПхРвЛ.115л1603Г. Дои:10.1103 / PhysRevLett.115.121603. PMID  26430983.
35. Адамо, Тим; Казали, Эдуардо; Скиннер, Дэвид (2015-02-01). «Теория мирового листа для супергравитации». Журнал физики высоких энергий. 2015 (2): 116. arXiv:1409.5656. Bibcode:2015JHEP ... 02..116A. Дои:10.1007 / JHEP02 (2015) 116. ISSN  1029-8479.
36. Фербер, А. (1978), "Супертвисторы и конформная суперсимметрия", Ядерная физика B, 132 (1): 55–64, Bibcode:1978НуФБ.132 ... 55Ф, Дои:10.1016/0550-3213(78)90257-2.
37. Пенроуз 2004, стр. 1000.
38. Пенроуз Р. (2015). «Дворцовая твисторная теория и проблема твисторного гугля». Фил. Пер. R. Soc. А 373: 20140237.
39. "Образное состояние ума Майкла Атьи" – Журнал Quanta.

Рекомендации

• Роджер Пенроуз (2004), Дорога к реальности, Альфред А. Кнопф, гл. 33. С. 958–1009.
• Роджер Пенроуз и Вольфганг Риндлер (1984), Спиноры и пространство-время; т. 1.Двухспиновое исчисление и релятивитные поля., Cambridge University Press, Кембридж.
• Роджер Пенроуз и Вольфганг Риндлер (1986), Спиноры и пространство-время; т. 2, Спинорные и твисторные методы в геометрии пространства-времени, Cambridge University Press, Кембридж.

дальнейшее чтение

• Атья, М., Дунайски, М., Мейсон, Л. Дж. (2017).«Теория твисторов в пятьдесят: от контурных интегралов до твисторных струн». Proc. R. Soc. А. 473 (2206): 20170530. Дои:10.1098 / rspa.2017.0530. ISSN  1364-5021.
• Бэрд, П. "Введение в Twistors."
• Хаггетт С. и Тод К. П. (1994).Введение в теорию твисторов, второе издание. Издательство Кембриджского университета.ISBN  9780521456890. OCLC  831625586.
• Хьюстон, Л. П. (1979) Твисторы и частицы. Конспект лекций по физике 97, Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-09244-5.
• Хьюстон, Л. П. и Уорд, Р. С., ред. (1979) Успехи твисторной теории. Питман. ISBN  0-273-08448-8.
• Мейсон, Л. Дж. И Хьюстон, Л. П., ред. (1990) Дальнейшие успехи в теории твисторов, том I: Преобразование Пенроуза и его приложения. Pitman Research Notes in Mathematics Series 231, Longman Scientific and Technical. ISBN  0-582-00466-7.
• Мейсон, Л. Дж., Хьюстон, Л. П., и Кобак, П. К., редакторы (1995) Дальнейшие достижения в теории твисторов, том II: интегрируемые системы, конформная геометрия и гравитация. Pitman Research Notes in Mathematics Series 232, Longman Scientific and Technical. ISBN  0-582-00465-9.
• Мейсон, Л. Дж., Хьюстон, Л. П., Кобак, П. К., и Пульверер, К., редакторы (2001). Дальнейшие успехи в теории твисторов, Том III: Изогнутые твисторные пространства. Исследования по математике 424, Чепмен и Холл / CRC. ISBN  1-58488-047-3.
• Пенроуз, Роджер (1967), «Твисторная алгебра», Журнал математической физики, 8 (2): 345–366, Bibcode:1967JMP ..... 8..345P, Дои:10.1063/1.1705200, МИСТЕР  0216828, заархивировано из оригинал на 2013-01-12
• Пенроуз, Роджер (1968), "Твисторная квантование и искривленное пространство-время", Международный журнал теоретической физики, 1 (1): 61–99, Bibcode:1968IJTP .... 1 ... 61P, Дои:10.1007 / BF00668831
• Пенроуз, Роджер (1969), «Решения уравнений нулевой массы покоя», Журнал математической физики, 10 (1): 38–39, Bibcode:1969JMP .... 10 ... 38P, Дои:10.1063/1.1664756, заархивировано из оригинал на 2013-01-12
• Пенроуз, Роджер (1977), "Твисторная программа", Доклады по математической физике, 12 (1): 65–76, Bibcode:1977РпМП ... 12 ... 65П, Дои:10.1016/0034-4877(77)90047-7, МИСТЕР  0465032
• Пенроуз, Роджер (1999) "Центральная программа твисторной теории," Хаос, солитоны и фракталы 10: 581–611.
• Виттен, Эдвард (2004), "Теория пертурбативных калибровок как теория струн в твисторном пространстве", Коммуникации по математической физике, 252 (1–3): 189–258, arXiv:hep-th / 0312171, Bibcode:2004CMaPh.252..189W, Дои:10.1007 / s00220-004-1187-3

внешняя ссылка

• Пенроуз, Роджер (1999), "Уравнение Эйнштейна и твисторная теория: последние разработки "
• Пенроуз, Роджер; Хадрович, Федя. "Твисторная теория. "
• Хадрович, Федя, "Твистор Праймер. "
• Пенроуз, Роджер. "К истокам твисторной теории. "
• Jozsa, Ричард (1976), "Приложения пучковых когомологий в твисторной теории. "
• Дунайский, Мацей, "Твисторная теория и дифференциальные уравнения. "
• Эндрю Ходжес, Краткое изложение последних событий.
• Хаггетт, Стивен (2005) "Элементы твисторной теории. "
• Мейсон, Л. Дж. "Твисторная программа и твисторные струны: от твисторных струн до квантовой гравитации? "
• Сэманн, Кристиан (2006) "Аспекты твисторной геометрии и суперсимметричных теорий поля в теории суперструн. "
• Спарлинг, Джордж (1999) "Асимметрия по времени. "
• Спрэдлин, Маркус (2006), "Успехи и перспективы теории твисторных струн. "
• MathWorld: Твисторы.
• Обзор Вселенной: "Твисторная теория. "
• Информационный бюллетень Twistor архивы.