Квазинормальный оператор - Quasinormal operator

В теория операторов, квазинормальные операторы это класс ограниченные операторы определяется путем ослабления требований к нормальный оператор.

Каждый квазинормальный оператор является субнормальный оператор. Каждый квазинормальный оператор на конечномерном Гильбертово пространство это нормально.

Определение и некоторые свойства

Определение

Позволять А - ограниченный оператор в гильбертовом пространстве ЧАС, тогда А как говорят квазинормальный если А ездит с А * А, т.е.

${\displaystyle A(A^{*}A)=(A^{*}A)A.\,}$

Характеристики

Нормальный оператор обязательно квазинормален.

Позволять А = ВВЕРХ быть полярное разложение из А. Если А квазинормальна, то ВВЕРХ = PU. Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что положительный фактор п в полярном разложении имеет вид (А * А)^​1⁄₂, единственный положительный квадратный корень из А * А. Квазинормальность означает А ездит с А * А. Как следствие непрерывное функциональное исчисление за самосопряженные операторы, А ездит с п = (А * А)^​1⁄₂ также, т.е.

${\displaystyle UPP=PUP.\,}$

Так ВВЕРХ = PU в диапазоне п. С другой стороны, если час ∈ ЧАС лежит в ядре п, четко ВВЕРХ ч = 0. Но PU h = 0 тоже. потому что U это частичная изометрия чье начальное пространство является закрытием диапазона п. Наконец, самосопряженность п подразумевает, что ЧАС представляет собой прямую сумму его диапазона и ядра. Таким образом, приведенный аргумент доказывает ВВЕРХ = ПУ на всех ЧАС.

С другой стороны, легко проверить, что если ВВЕРХ = ПУ, тогда А должно быть квазинормальным. Таким образом, оператор А квазинормальна тогда и только тогда, когда ВВЕРХ = ПУ.

Когда ЧАС конечномерно, каждый квазинормальный оператор А это нормально. Это связано с тем, что в конечномерном случае частичная изометрия U в полярном разложении А = ВВЕРХ можно считать унитарным. Тогда это дает

${\displaystyle A^{*}A=(UP)^{*}UP=PU(PU)^{*}=AA^{*}.\,}$

В общем случае частичная изометрия не может быть расширена до унитарного оператора, и поэтому квазинормальный оператор не обязательно должен быть нормальным. Например, рассмотрим односторонний сдвиг Т. Т квазинормальна, потому что Т * Т - тождественный оператор. Но Т явно ненормально.

Квазинормальные инвариантные подпространства

Неизвестно, вообще ли ограниченный оператор А в гильбертовом пространстве ЧАС имеет нетривиальное инвариантное подпространство. Однако когда А нормально, утвердительный ответ дает спектральная теорема. Каждый нормальный оператор А получается интегрированием тождественной функции по спектральной мере E = {E_B} в спектре А, σ(А):

${\displaystyle A=\int _{\sigma (A)}\lambda dE(\lambda ).\,}$

Для любого набора Бореля B ⊂ σ(А), проекция E_B ездит с А и поэтому диапазон E_B инвариантное подпространство А.

Сказанное выше можно распространить непосредственно на квазинормальные операторы. Сказать А ездит с А * А это сказать, что А ездит с (А * А)^​1⁄₂. Но это означает, что А коммутирует с любой проекцией E_B в спектральной мере (А * А)^​1⁄₂, что доказывает утверждение об инвариантном подпространстве. На самом деле можно сделать вывод о более сильном. Диапазон E_B на самом деле редуцирующее подпространство из А, т.е. его ортогональное дополнение также инвариантно относительно А.

Рекомендации

• П. Халмос, Книга проблем гильбертова пространства, Спрингер, Нью-Йорк, 1982.