Представление (математика) - Representation (mathematics)

В математика, а представление это очень общие отношения, которые выражают сходство (или эквивалентность) между математическими объектами или структуры.[1] Грубо говоря, сборник Y математических объектов можно сказать представлять другая коллекция Икс объектов, при условии, что свойства и отношения, существующие между представляющими объектами уя согласованным образом соответствуют существующим среди соответствующих представленных объектов Икся. Более конкретно, учитывая набор Π собственности и связи, а Π-представление некоторой структуры Икс это структура Y это образ Икс под гомоморфизм что сохраняет Π. Наклейка представление иногда также применяется к самому гомоморфизму (например, групповой гомоморфизм в теория групп ).[2][3]

Теория представлений

Возможно, наиболее хорошо проработанным примером этого общего понятия является подполе абстрактная алгебра называется теория представлений, который изучает репрезентацию элементов алгебраические структуры к линейные преобразования из векторные пространства.[3]

Другие примеры

Хотя термин теория представлений хорошо установлено в алгебраическом смысле, обсужденном выше, есть много других применений термина представление по всей математике.

Теория графов

Активная зона теория графов это исследование изоморфизмов между графики и другие структуры. Ключевой класс таких проблем проистекает из того факта, что, как и смежность в неориентированные графы, пересечение наборов (точнее, неразрывность ) это симметричное отношение Это дает повод для изучения графы пересечений для бесчисленных семейств множеств.[4]Один фундаментальный результат здесь, благодаря Пол Эрдёш и его коллег, заключается в том, что каждый п-вершина граф может быть представлен в терминах пересечения между подмножества комплекта размером не более п2/4.[5]

Представляя граф такими алгебраическими структурами, как его матрица смежности и Матрица лапласа дает начало области спектральная теория графов.[6]

Теория порядка

Двойной к наблюдению выше, что каждый граф является графом пересечений, заключается в том, что каждый частично заказанный набор (также известный как poset) изоморфен набору множеств, упорядоченных включение (или вмещающего) отношения ⊆. Некоторые позиции, возникающие как приказы о включении для естественных классов объектов включают Булевы решетки и порядки измерения п.[7]

Многие частичные порядки возникают из (и, следовательно, могут быть представлены) коллекциями геометрический объекты. Среди них есть п-мяч заказы. Порядки с 1 мячом - это порядки с интервальным сдерживанием, а порядки с 2 баллами - это так называемые круговые заказы—Посеты, представимые с точки зрения удержания между дисками в плоскости. Особенно приятным результатом в этой области является характеристика планарные графы, как и те графы, отношения инцидентности вершины и ребра которых являются порядками окружностей.[8]

Существуют также геометрические представления, не основанные на включении. Действительно, среди них одними из наиболее изученных классов являются интервальные заказы,[9] которые представляют частичный порядок с точки зрения того, что можно было бы назвать непересекающийся приоритет интервалов на реальная линия: каждый элемент Икс чугуна представлен интервалом [Икс1, Икс2], такое, что для любого у и z в позе, у ниже z если и только если у2 < z1.

Логика

В логика, представимость алгебры в качестве реляционные структуры часто используется для доказательства эквивалентности алгебраический и реляционная семантика. Примеры этого включают Представление Стоуна из Булевы алгебры в качестве поля наборов,[10] Представительство Эсакии из Гейтинговые алгебры как гейтинговые алгебры множеств,[11] и изучение представимых алгебры отношений и представимый цилиндрические алгебры.[12]

Полисемия

При определенных обстоятельствах одна функция ж : Икс → Y является сразу изоморфизмом нескольких математических структур на Икс. Поскольку каждую из этих структур можно интуитивно рассматривать как значение изображения. Y (одна из вещей, которые Y пытается нам рассказать), это явление называется многозначность—А термин заимствован из лингвистики. Вот некоторые примеры полисемии:

  • многозначность пересечений—Пары графиков грамм1 и грамм2 на общем множестве вершин V которые могут быть одновременно представлены одним набором множеств Sv, такие что любые различные вершины ты и ш в V соседствуют в грамм1, тогда и только тогда, когда соответствующие им множества пересекаются ( Sты ∩ Sш ≠ Ø), а в грамм2 если и только если дополняет делать ( SтыC ∩ SшC ≠ Ø).[13]
  • многозначность конкуренции- мотивированы изучением экологический пищевые полотна, в котором пары видов могут иметь общую добычу или иметь общих хищников. Пара графиков грамм1 и грамм2 на одном множестве вершин конкуренция полисемична, если и только если существует единственный ориентированный граф D на одном и том же множестве вершин, так что любые разные вершины ты и v соседствуют в грамм1, тогда и только тогда, когда есть вершина ш так что оба уф и vw находятся дуги в D, и соседствуют в грамм2, тогда и только тогда, когда есть вершина ш так что оба ву и wv дуги в D.[14]
  • интервальная многозначность—Пары посетов п1 и п2 на общем наборе, который может быть одновременно представлен одним набором реальных интервалов, то есть представлением интервального порядка п1 и интервальное представление п2.[15]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ "Окончательный глоссарий высшего математического жаргона - математическое представление". Математическое хранилище. 2019-08-01. Получено 2019-12-07.
  2. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Групповое представительство». mathworld.wolfram.com. Получено 2019-12-07.
  3. ^ а б Телеман, Константин. «Теория представлений» (PDF). math.berkeley.edu. Получено 2019-12-07.
  4. ^ Макки, Терри А .; Макморрис, Ф. Р. (1999), Темы теории графов пересечений, Монографии SIAM по дискретной математике и приложениям, Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики, Дои:10.1137/1.9780898719802, ISBN  978-0-89871-430-2, МИСТЕР  1672910
  5. ^ Эрдеш, Пол; Goodman, A. W .; Поза, Луи (1966), "Представление графа пересечениями множеств", Канадский математический журнал, 18 (1): 106–112, CiteSeerX  10.1.1.210.6950, Дои:10.4153 / cjm-1966-014-3, МИСТЕР  0186575
  6. ^ Биггс, Норман (1994), Алгебраическая теория графов, Кембриджская математическая библиотека, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-45897-9, МИСТЕР  1271140
  7. ^ Троттер, Уильям Т. (1992), Комбинаторика и частично упорядоченные множества: теория размерностей, Серия Джонса Хопкинса по математическим наукам, Балтимор: Издательство Университета Джона Хопкинса, ISBN  978-0-8018-4425-6, МИСТЕР  1169299
  8. ^ Шайнерман, Эдвард (1991), "Заметка о плоских графах и круговых порядках", Журнал SIAM по дискретной математике, 4 (3): 448–451, Дои:10.1137/0404040, МИСТЕР  1105950
  9. ^ Фишберн, Питер С. (1985), Интервальные порядки и интервальные графики: исследование частично упорядоченных множеств, Серия Wiley-Interscience по дискретной математике, John Wiley & Sons, ISBN  978-0-471-81284-5, МИСТЕР  0776781
  10. ^ Маршалл Х. Стоун (1936) "Теория представлений булевых алгебр.," Труды Американского математического общества 40: 37-111.
  11. ^ Эсакия, Лев (1974). «Топологические модели Крипке». Советская математика. 15 (1): 147–151.
  12. ^ Hirsch, R .; Ходкинсон, И. (2002). Алгебра отношений по играм. Исследования по логике и основам математики. 147. Elsevier Science.
  13. ^ Таненбаум, Пол Дж. (1999), "Одновременное представление пересечений пар графов", Журнал теории графов, 32 (2): 171–190, Дои:10.1002 / (SICI) 1097-0118 (199910) 32: 2 <171 :: AID-JGT7> 3.0.CO; 2-N, МИСТЕР  1709659
  14. ^ Фишерманн, Миранка; Кнобен, Вернер; Кремер, Дирк; Раутенбах, Дитер (2004), «Многозначность соревнований», Дискретная математика, 282 (1–3): 251–255, Дои:10.1016 / j.disc.2003.11.014, МИСТЕР  2059526
  15. ^ Таненбаум, Пол Дж. (1996), "Одновременное представление интервалов и приказов интервального содержания", Заказ, 13 (4): 339–350, CiteSeerX  10.1.1.53.8988, Дои:10.1007 / BF00405593, МИСТЕР  1452517