Риччи поток - Ricci flow

Несколько стадий течения Риччи на двумерном коллекторе.

В математической области дифференциальная геометрия, то Риччи поток (/ˈряtʃя/, Итальянский:[ˈRittʃi]), иногда также называемый Поток Риччи Гамильтона, это определенный уравнение в частных производных для Риманова метрика. Часто говорят, что это аналог распространение тепла и уравнение теплопроводности из-за формального сходства математической структуры уравнения; однако он демонстрирует многие явления, которых нет при изучении уравнения теплопроводности. Многие результаты для потока Риччи были также показаны для средняя кривизна потока из гиперповерхности.

Поток Риччи, названный так из-за наличия Тензор Риччи в своем определении был введен Ричард С. Гамильтон, который использовал его, чтобы доказать трехмерную теорема о сфере (Гамильтон 1982 ). Следующий Шинг-Тунг Яу предположение, что особенности решений потока Риччи могут идентифицировать топологические данные, предсказанные Уильям Терстон с гипотеза геометризации, Гамильтон в 1990-х годах добился ряда результатов, направленных на ее решение. В 2002 и 2003 гг. Григорий Перельман представил ряд новых результатов о потоке Риччи, включая новый вариант некоторых технических аспектов метода Гамильтона (Перельман 2002, Перельман 2003а ). Он был награжден Медаль Филдса в 2006 году за его вклад в поток Риччи, который он отказался принять.

Работы Гамильтона и Перельмана в настоящее время широко рассматриваются как доказательство гипотезы Терстона, в том числе в качестве частного случая Гипотеза Пуанкаре, которая была хорошо известной открытой проблемой в области геометрическая топология с 1904 г. Однако многие методы Перельмана опираются на ряд высокотехнологичных результатов из ряда разрозненных подполей дифференциальной геометрии, так что полное доказательство гипотезы Терстона остается понятым лишь очень небольшому числу математиков. Доказательство гипотезы Пуанкаре, для которой есть сокращенные аргументы, принадлежащие Перельману и Тобиас Колдинг и Уильям Миникоцци, гораздо более широко понимается (Перельман 2003b, Colding & Minicozzi 2005 ). Это считается одним из главных достижений математической области геометрический анализ.

Саймон Брендл и Ричард Шон позже распространил теорему Гамильтона о сфере на более высокие измерения, доказав как частный случай гипотеза о дифференцируемой сфере из Риманова геометрия, который был открыт более пятидесяти лет (Брендл и Шон 2009 ).

Математическое определение

На гладком многообразии M, гладкий Риманова метрика грамм автоматически определяет Тензор Риччи Ric^грамм. Для каждого элемента п из M, грамм_п является (по определению) положительно определенным скалярным произведением на Т_пM; если задано однопараметрическое семейство римановых метрик грамм_т, тогда можно рассмотреть производную ∂/∂tграмм_т, оцениваемый при определенном значении т, присвоить каждому п симметричная билинейная форма на Т_пM. Поскольку тензор Риччи римановой метрики также сопоставляет каждому п симметричная билинейная форма на Т_пM, имеет смысл следующее определение.

• Для гладкого многообразия M и открытый реальный интервал (а,б) "поток Риччи" присваивает каждому т∈(а,б) риманова метрика грамм_т на M такой, что

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}g_{t}=-2\operatorname {Ric} ^{g_{t}}.}$

Тензор Риччи часто рассматривается как среднее значение секционные кривизны, или как алгебраический след из Тензор кривизны Римана. Однако для анализа потока Риччи чрезвычайно важно, что тензор Риччи может быть определен в локальных координатах с помощью алгебраической формулы, включающей первую и вторую производные метрического тензора. Конкретные персонаж этой формулы обеспечивает основу для существования потоков Риччи; см. соответствующий результат в следующем разделе.

Позволять k быть ненулевым числом. Учитывая поток Риччи грамм_т на интервале (а,б), учитывать грамм_т=грамм_kt за т между а/k и б/k. потом

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}G_{t}=-2k\operatorname {Ric} ^{G_{t}}.}$

Таким образом, с помощью этой очень тривиальной замены параметров число −2, фигурирующее в определении потока Риччи, может быть заменено любым другим ненулевым числом. По этой причине использование −2 можно рассматривать как произвольное соглашение, хотя и соблюдают практически все статьи и описания потока Риччи. Единственное существенное отличие состоит в том, что если бы −2 было заменено положительным числом, то теорема существования, обсуждаемая в следующем разделе, стала бы теоремой, которая порождает поток Риччи, который движется назад (а не вперед) в значениях параметров из исходных данных.

Параметр т обычно называется «временем», хотя это часть стандартной терминологии в математической области уравнения в частных производных, а не как физически значимая терминология. Фактически в стандарте квантовая теория поля интерпретация потока Риччи с точки зрения ренормгруппа, параметр т соответствует длине или энергии, а не времени.^[1]

Нормализованный поток Риччи

Предположим, что M - компактное гладкое многообразие, и пусть грамм_т быть потоком Риччи для т∈(а,б). Определите Ψ :(а,б) → (0, ∞), так что каждая из римановых метрик Ψ (t)грамм_т имеет объем 1; это возможно, так как M компактный. (В более общем смысле это было бы возможно, если бы каждая риманова метрика грамм_т имел конечный объем.) Затем определим F:(а,б) → (0, ∞) на

${\displaystyle F(t)=\int _{a}^{t}\Psi (\sigma )\,d\sigma .}$

Поскольку положительнозначна, F является биекцией на свой образ (0,S). Теперь римановы метрики грамм_s= Ψ (F⁻¹(s))грамм_F⁻¹(s), определенный для параметров s∈(0,S), удовлетворить

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}G_{s}=-2\operatorname {Ric} ^{G_{s}}+{\frac {2}{n}}{\frac {\int _{M}R^{G_{s}}\,d\mu _{G_{s}}}{\int _{M}d\mu _{G_{s}}}}G_{s}.}$

Это называется уравнением «нормализованного потока Риччи». Таким образом, с явно заданным изменением масштаба Ψ и повторной параметризацией значений параметров поток Риччи может быть преобразован в нормализованный поток Риччи. Причина этого заключается в том, что основные теоремы сходимости для потока Риччи могут быть удобно выражены в терминах нормализованного потока Риччи. Однако это не обязательно, и практически для всех целей достаточно рассмотреть поток Риччи в его стандартной форме.

Существование и уникальность

Позволять ${\displaystyle M}$ - гладкое замкнутое многообразие, и пусть грамм₀ - любая гладкая риманова метрика на ${\displaystyle M}$. Используя Теорема Нэша – Мозера о неявной функции, Гамильтон (1982) показал следующую теорему существования:

• Существует положительное число Т и поток Риччи грамм_т параметризованный т∈(0,Т) такие, что грамм_т сходится к грамм₀ в C^∞ топология как т уменьшается до 0.

Он показал следующую теорему единственности:

• Если ${\displaystyle \{g_{t}:t\in (0,T)\}}$ и ${\displaystyle \{{\widetilde {g}}_{t}:t\in (0,{\widetilde {T}})\}}$ два потока Риччи, как в приведенной выше теореме существования, то ${\displaystyle g_{t}={\widetilde {g}}_{t}}$ для всех ${\displaystyle t\in (0,\min\{T,{\widetilde {T}}\}).}$

Теорема существования дает однопараметрическое семейство гладких римановых метрик. Фактически, любое такое однопараметрическое семейство также плавно зависит от параметра. Именно это говорит о том, что относительно любой гладкой координатной карты (U, φ) на M, функция ${\displaystyle g_{ij}:U\times (0,T)\to \mathbb {R} }$ гладко для любого я,j=1,...,п.

Деннис ДеТюрк впоследствии дал доказательство вышеупомянутых результатов, которое вместо этого использует теорему Банаха о неявной функции.^[2] Его работа, по сути, является более простой римановой версией Ивонн Шоке-Брюа известное доказательство и интерпретация корректности Уравнения Эйнштейна в лоренцевой геометрии.

Как следствие теоремы существования и единственности Гамильтона, когда даны данные (M,грамм₀) можно однозначно говорить о в Риччи поток на M с исходными данными грамм₀, и можно выбрать Т принять максимально возможное значение, которое может быть бесконечным. Принцип, лежащий в основе практически всех основных приложений потока Риччи, в частности, в доказательстве гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации, заключается в том, что, поскольку т приближается к этому максимальному значению, поведение метрики грамм_т может раскрыть и отразить глубокую информацию о M.

Теоремы сходимости

Полное изложение следующих теорем сходимости дано в Эндрюс и Хоппер (2011) и Брендл (2010).

Позволять (M, грамм₀) быть гладким закрыто Риманово многообразие. При любом из следующих трех условий:

• M двумерный
• M является трехмерным и грамм₀ имеет положительную кривизну Риччи
• M имеет параметр больше трех, а показатель продукта (M, грамм₀) × ℝ имеет положительную изотропную кривизну

нормированный поток Риччи с начальными данными грамм₀ существует для всего положительного времени и гладко сходится, как т уходит в бесконечность, в метрику постоянной кривизны.

Трехмерный результат обусловлен Гамильтон (1982). Доказательство Гамильтона, вдохновленное и свободно смоделированное Джеймс Иллс и эпохальная статья Джозефа Сэмпсона 1964 года о конвергенции гармоническая карта теплового потока,^[3] включены многие новые функции, такие как расширение принцип максимума задаче симметричных 2-тензоров. Его статья (вместе с работой Илс-Сэмпсона) является одной из наиболее цитируемых в области дифференциальной геометрии. Его результат представлен в Чоу, Лу и Ни (2006), Глава 3).

С точки зрения доказательства, двумерный случай правильно рассматривается как совокупность трех различных результатов, по одному для каждого из случаев, когда Эйлерова характеристика из M положительный, нулевой или отрицательный. Как показано Гамильтон (1988), отрицательный случай обрабатывается принципом максимума, а нулевой случай обрабатывается интегральными оценками; положительный случай более тонкий, и Гамильтон имел дело с частичным случаем, когда грамм₀ имеет положительную кривизну за счет простой адаптации Питер Ли и Шинг-Тунг Яу оценка градиента к потоку Риччи вместе с инновационной «оценкой энтропии». Полный положительный случай продемонстрировал Беннетт. Чау (1991), в расширении техники Гамильтона. Поскольку любой поток Риччи на двумерном многообразии ограничен одним конформный класс, его можно преобразовать в уравнение в частных производных для скалярной функции на фиксированном римановом многообразии (M, грамм₀). Таким образом, поток Риччи в этом случае можно изучать чисто аналитическими методами; соответственно, существуют альтернативные негеометрические доказательства теоремы о двумерной сходимости.

У многомерного случая более давняя история. Вскоре после выдающегося результата Гамильтона Герхард Хёйскен расширил свои методы до более высоких измерений, показывая, что если грамм₀ практически имеет постоянную положительную кривизну (в смысле малости некоторых компонентов Разложение Риччи ), то нормированный поток Риччи плавно сходится к постоянной кривизне. Гамильтон (1986) нашли новую формулировку принципа максимума в терминах захвата выпуклыми множествами, что привело к общему критерию, связывающему сходимость потока Риччи положительно искривленных метрик с существованием "зажимающих множеств" для некоторого многомерного обыкновенное дифференциальное уравнение. Как следствие, он смог урегулировать дело, по которому M четырехмерный и грамм₀ имеет оператор положительной кривизны. Двадцать лет спустя Кристоф Бём и Буркхард Вилкинг нашли новый алгебраический метод построения «зажимающих множеств», тем самым устранив предположение о четырехмерности из результата Гамильтона (Böhm & Wilking, 2008 г. ). Саймон Брендл и Ричард Шон показал, что положительность изотропной кривизны сохраняется для потока Риччи на замкнутом многообразии; применяя метод Бема и Уилкинга, они смогли вывести новую теорему о сходимости потока Риччи (Брендл и Шон 2009 ). Их теорема сходимости включала в качестве частного случая разрешение теорема о дифференцируемой сфере, что в то время было давней гипотезой. Приведенная выше теорема сходимости обусловлена Брендл (2008), который включает в себя более ранние результаты многомерной сходимости Хьюскена, Гамильтона, Бема и Уилкинга и Брендла и Шена.

Следствия

Результаты в размерности три и выше показывают, что любое гладкое замкнутое многообразие M который допускает метрику грамм₀ данного типа должен быть космическая форма положительной кривизны. Поскольку эти космические формы во многом понятны благодаря работе Эли Картан и другие, можно сделать следующие выводы:

• Предположим, что M является гладким замкнутым 3-мерным многообразием, допускающим гладкую риманову метрику положительной кривизны Риччи. Если M односвязен, то он должен быть диффеоморфен 3-сфере.

Итак, если бы можно было прямо показать, что любая гладкая закрыто односвязный Трехмерное многообразие допускает гладкую риманову метрику положительного Кривизна Риччи, то Гипотеза Пуанкаре немедленно последует. Однако, насколько это понятно в настоящее время, этот результат известен только как (тривиальное) следствие гипотезы Пуанкаре, а не наоборот.

Возможные расширения

Учитывая любые п больше двух, существует много закрытых п-мерные гладкие многообразия, не имеющие гладких римановых метрик постоянной кривизны. Таким образом, нельзя надеяться, что удастся просто отбросить условия кривизны из приведенных выше теорем сходимости. Можно было бы заменить условия кривизны некоторыми альтернативами, но существование компактных многообразий, таких как сложное проективное пространство, имеющий метрику оператора неотрицательной кривизны ( Метрика Фубини-Штуди ), но отсутствие метрики постоянной кривизны, делает неясным, насколько эти условия могут быть изменены. Точно так же возможность формулировки аналогичных результатов о сходимости для римановых метрик с отрицательной кривизной осложняется существованием замкнутых римановых многообразий, кривизна которых сколь угодно близка к постоянной, но не допускает метрик постоянной кривизны.^[4]

Неравенства Ли – Яу.

Используя технику, впервые разработанную Питер Ли и Шинг-Тунг Яу для параболических дифференциальных уравнений на римановых многообразиях, Гамильтон (1993a) доказал следующее «неравенство Ли – Яу».^[5]

• Позволять M - гладкое многообразие, и пусть грамм_т - решение потока Риччи с т∈(0,Т) такие, что каждый грамм_т имеет ограниченную кривизну. Кроме того, предположим, что каждый грамм_т имеет оператор неотрицательной кривизны. Тогда для любой кривой γ: [т₁,т₂]→M с [т₁,т₂]⊂(0,Т), надо

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\big (}R^{g(t)}(\gamma (t)){\big )}+{\frac {R^{g(t)}(\gamma (t))}{t}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {Ric} ^{g(t)}(\gamma '(t),\gamma '(t))\geq 0.}$

Перельман (2002) показал следующее альтернативное неравенство Ли – Яу.

• Позволять M быть гладким закрытым п-многообразие, и пусть грамм_т - решение потока Риччи. Рассмотрим уравнение обратной теплопроводности для п-формы, т.е. ∂/∂тω + Δ^{грамм(т)}ω = 0; данный п∈M и т₀∈(0,Т) рассмотрим частное решение, которое после интегрирования слабо сходится к дельта-мере Дирака как т увеличивается до т₀. Тогда для любой кривой γ: [т₁,т₂]→M с [т₁,т₂]⊂(0,Т), надо

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\big (}f(\gamma (t),t){\big )}+{\frac {f{\big (}\gamma (t),t{\big )}}{2(t_{0}-t)}}\leq {\frac {R^{g(t)}(\gamma (t))+|\gamma '(t)|_{g(t)}^{2}}{2}}.}$

где ω = (4π (т₀-t))^-п/2е^−ж dμ_{грамм(т)}.

Оба этих замечательных неравенства имеют огромное значение для доказательства гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации. Члены в правой части неравенства Ли-Яу Перельмана мотивируют определение его функционала «приведенной длины», анализ которого приводит к его «теореме о несгибаемости». Теорема о несгибаемости позволяет применить теорему Гамильтона о компактности (Hamilton, 1995) для построения «моделей сингулярностей», которые представляют собой потоки Риччи на новых трехмерных многообразиях. Благодаря оценке Гамильтона – Айви эти новые потоки Риччи имеют неотрицательную кривизну. Затем можно применить неравенство Гамильтона Ли – Яу, чтобы увидеть, что скалярная кривизна в каждой точке является неубывающей (неотрицательной) функцией времени. Это мощный результат, который позволяет привести еще много аргументов. В конце концов, Перельман показывает, что любая из его моделей сингулярностей асимптотически подобна полному градиентному сжимающемуся солитону Риччи, которые полностью классифицированы; см. предыдущий раздел.

Видеть Чоу, Лу и Ни (2006), Главы 10 и 11) для подробностей о неравенстве Гамильтона Ли – Яу; книги Chow et al. (2008) и Мюллер (2006) содержат описания обоих приведенных выше неравенств.

Примеры

Постоянная кривизна и метрики Эйнштейна

Позволять (M,грамм) - риманово многообразие, являющееся Эйнштейн, что означает, что существует такое число λ, что Ric^грамм= λграмм. потом грамм_т= (1-2λт)грамм поток Риччи с грамм₀=грамм, с того времени

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}g_{t}=-2\lambda g=-2\operatorname {Ric} ^{g}=-2\operatorname {Ric} ^{g_{t}}.}$

Если M замкнут, то согласно приведенной выше теореме единственности Гамильтона это единственный поток Риччи с начальными данными грамм. Видно, в частности, что:

• если λ положительно, то поток Риччи «сжимается» грамм поскольку масштабный коэффициент 1-2λт меньше 1 для положительного т; кроме того, видно, что т может быть меньше 1 / 2λ, чтобы грамм_т - риманова метрика. Это простейшие примеры «особенности за конечное время».
• если λ равно нулю, что является синонимом грамм будучи Риччи-плоским, то грамм_т не зависит от времени, поэтому максимальный интервал существования - это вся действительная линия.
• если λ отрицательно, то поток Риччи «расширяется» грамм поскольку масштабный коэффициент 1-2λт больше 1 для всех положительных т; кроме того, видно, что т можно взять сколь угодно большим. Говорят, что поток Риччи для этой начальной метрики «бессмертен».

В каждом случае, поскольку римановы метрики приписывают разные значения т отличаются только постоянным масштабным коэффициентом, видно, что нормированный поток Риччи грамм_s существует во все времена и постоянно в s; в частности, он плавно сходится (к своему постоянному значению) при s→∞.

Условие Эйнштейна имеет как частный случай условие постоянной кривизны; следовательно, частные примеры сферы (с ее стандартной метрикой) и гиперболического пространства появляются как частные случаи вышеупомянутого.

Солитоны Риччи

Солитоны Риччи потоки Риччи, которые могут изменять свой размер, но не форму с точностью до диффеоморфизмов.

• Цилиндров S^k × р^л (за k ≥ 2) аналогично самосжимаются под действием потока Риччи до диффеоморфизмов
• Важным двумерным примером является сигарный солитон, который задается метрикой (dx² + dy²)/(е^4т + Икс² + у²) на евклидовой плоскости. Хотя эта метрика сжимается под действием потока Риччи, ее геометрия остается прежней. Такие решения называются устойчивыми солитонами Риччи.
• Примером трехмерного стационарного солитона Риччи является Брайант солитон, которая осесимметрична, имеет положительную кривизну и получается путем решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Подобная конструкция работает в произвольном измерении.
• Существует множество семейств кэлеровых многообразий, инвариантных относительно ООН) действие и бирациональность C^п, которые являются солитонами Риччи. Эти образцы были построены Цао и Фельдман-Ильманен-Кнопфом. (Chow-Knopf 2004)

А градиент сжатия солитона Риччи состоит из гладкого риманова многообразия (M,грамм) и ж∈C^∞(M) такие, что

${\displaystyle \operatorname {Ric} ^{g}+\operatorname {Hess} ^{g}f={\frac {1}{2}}g.}$

Одно из главных достижений Перельман (2002) должен был показать это, если M является замкнутым трехмерным гладким многообразием, то конечные по времени особенности потока Риччи на M моделируются на полных градиентно сжимающихся солитонах Риччи (возможно, на лежащих в основе многообразиях, отличных от M). В 2008, Хуай-Донг Цао, Бин-Лонг Чен и Си-Пин Чжу завершили классификацию этих солитонов, показав:

• Предполагать (M,грамм,ж) представляет собой полный градиентно сжимающийся солитон Риччи с dim (M) = 3. Если M односвязно, то риманово многообразие (M,грамм) изометрично ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, ${\displaystyle S^{3}}$, или же ${\displaystyle S^{2}\times \mathbb {R} }$, каждая со своей стандартной римановой метрикой.

Первоначально это было показано Перельман (2003а) с некоторыми дополнительными условными предположениями. Обратите внимание, что если M не является односвязным, то можно рассматривать универсальную крышку ${\displaystyle \pi :M'\to M,}$ и тогда приведенная выше теорема применима к ${\displaystyle (M',\pi ^{\ast }g,f\circ \pi ).}$

Пока еще нет хорошего понимания градиентного сжатия солитонов Риччи в любых более высоких измерениях.

Связь с униформизацией и геометризацией

Поток Риччи был использован Ричард С. Гамильтон (1981), чтобы понять гипотеза геометризации из Уильям Терстон, что касается топологическая классификация трехмерных гладких многообразий.^[6] Идея Гамильтона состояла в том, чтобы определить вид нелинейной уравнение диффузии что могло бы сгладить неровности в метрике. Затем, поместив произвольный метрика грамм на заданном гладком многообразии M и развивая метрику потоком Риччи, метрика должна приближаться к особенно хорошей метрике, которая могла бы составлять каноническая форма за M. Подходящие канонические формы уже были определены Терстоном; возможности, называемые Геометрии модели Терстона, включаем трехсферу S³, трехмерное евклидово пространство E³, трехмерное гиперболическое пространство ЧАС³, которые однородный и изотропный, и пять немного более экзотических римановых многообразий, которые однородны, но не изотропны. (Этот список тесно связан, но не идентичен Классификация Бьянки трехмерного реального Алгебры Ли на девять классов). Идея Гамильтона заключалась в том, что эти специальные метрики должны вести себя как фиксированные точки потока Риччи, и что если для данного многообразия глобально допустима только одна геометрия Терстона, это может даже действовать как аттрактор под потоком.

Гамильтону удалось доказать, что любое гладкое замкнутое трехмерное многообразие, допускающее метрику положительный Кривизна Риччи также допускает уникальную геометрию Терстона, а именно сферическую метрику, которая действительно действует как притягивающая неподвижная точка под потоком Риччи, перенормированная для сохранения объема. (При неперенормированном потоке Риччи многообразие схлопывается в точку за конечное время.) Это не доказывает гипотезу о полной геометризации, потому что самый сложный случай касается многообразий с отрицательный Кривизна Риччи и, в частности, с отрицательной кривизной в разрезе.

Действительно, триумф геометрии девятнадцатого века был доказательством теорема униформизации, аналогичная топологическая классификация гладких двумерных многообразий, в которой Гамильтон показал, что поток Риччи действительно превращает отрицательно искривленное двумерное многообразие в двумерный многодырчатый тор, локально изометричный гиперболической плоскости. Эта тема тесно связана с важными темами анализа, теории чисел, динамических систем, математической физики и даже космологии.

Обратите внимание, что термин «униформизация» предполагает своего рода сглаживание неоднородностей в геометрии, в то время как термин «геометризация» предполагает размещение геометрии на гладком многообразии. Геометрия здесь используется точно, как Кляйн с понятие геометрии (видеть Гипотеза геометризации для получения дополнительной информации). В частности, результатом геометризации может быть геометрия, которая не изотропный. В большинстве случаев, включая случаи постоянной кривизны, геометрия уникальна. Важной темой в этой области является взаимодействие реальных и сложных формулировок. В частности, многие дискуссии об униформизации говорят о комплексных кривых, а не о реальных двумерных многообразиях.

Поток Риччи не сохраняет объем, поэтому, чтобы быть более осторожным, при применении потока Риччи к униформизации и геометризации необходимо нормализовать поток Риччи, чтобы получить поток, который сохраняет объем. Если этого не сделать, проблема в том, что (например) вместо того, чтобы преобразовать данное трехмерное многообразие в одну из канонических форм Терстона, мы могли бы просто уменьшить его размер.

Можно построить своего рода пространство модулей n-мерных римановых многообразий, и тогда поток Риччи действительно дает геометрический поток (в интуитивном смысле частиц, движущихся по линиям тока) в этом пространстве модулей.

Особенности

Гамильтон показал, что компактное риманово многообразие всегда допускает кратковременное решение потока Риччи. Позже Ши обобщил результат кратковременного существования на полные многообразия ограниченной кривизны.^[7] В целом, однако, из-за крайне нелинейной природы уравнения потока Риччи сингулярности образуются за конечное время. Эти особенности являются особенностями кривизны, что означает, что по мере приближения к сингулярному времени норма тензор кривизны ${\displaystyle |\operatorname {Rm} |}$ раздувается до бесконечности в области сингулярности. Фундаментальная проблема потока Риччи - понять все возможные геометрии сингулярностей. В случае успеха это может привести к пониманию топологии многообразий. Например, анализ геометрии особых областей, которые могут развиваться в трехмерном потоке Риччи, является ключевым ингредиентом доказательства Перельмана, гипотез Пуанкаре и геометризации.

Пределы разрушения особенностей

Для изучения образования особенностей полезно, как и при изучении других нелинейных дифференциальных уравнений, рассмотреть пределы разрушения. Интуитивно говоря, мы увеличиваем масштаб до особой области потока Риччи, изменяя масштаб во времени и пространстве. При определенных предположениях увеличенный поток стремится к ограничивающему потоку Риччи. ${\displaystyle (M_{\infty },g_{\infty }(t)),t\in (-\infty ,0]}$, называется модель сингулярности. Модели сингулярности - это древние потоки Риччи, то есть их можно бесконечно распространять в прошлое. Понимание возможных моделей сингулярности в потоке Риччи является активной исследовательской задачей.

Ниже мы более подробно обрисовываем процедуру раздува: Пусть ${\displaystyle (M,g_{t}),\,t\in [0,T),}$ - поток Риччи, который развивает особенность при ${\displaystyle t\rightarrow T}$. Позволять ${\displaystyle (p_{i},t_{i})\in M\times [0,T)}$ последовательность точек в пространстве-времени такая, что

${\displaystyle K_{i}:=|\operatorname {Rm} (g_{t_{i}})|(p_{i})\rightarrow \infty }$

в качестве ${\displaystyle i\rightarrow \infty }$. Затем мы рассматриваем параболически масштабированные метрики

${\displaystyle g_{i}(t)=K_{i}g\left(t_{i}+{\frac {t}{K_{i}}}\right),\quad t\in [-K_{i}t_{i},0]}$

Из-за симметрии уравнения потока Риччи относительно параболических растяжений метрика ${\displaystyle g_{i}(t)}$ также являются решениями уравнения потока Риччи. В случае, если

${\displaystyle |Rm|\leq K_{i}{\text{ on }}M\times [0,t_{i}]}$,

т.е. до времени ${\displaystyle t_{i}}$ максимум кривизны достигается при ${\displaystyle p_{i}}$, то отмеченная последовательность потоков Риччи ${\displaystyle (M,g_{i}(t),p_{i})}$ последовательно плавно сходится к ограничивающему древнему потоку Риччи ${\displaystyle (M_{\infty },g_{\infty }(t),p_{\infty })}$. Обратите внимание, что в целом ${\displaystyle M_{\infty }}$ не диффеоморфен ${\displaystyle M}$.

Особенности типа I и типа II

Гамильтон различает Особенности типа I и типа II в потоке Риччи. В частности, говорят, что поток Риччи ${\displaystyle (M,g_{t}),\,t\in [0,T)}$, встречая сингулярность раз ${\displaystyle T}$ относится к типу I, если

${\displaystyle \sup _{t<T}(T-t)|Rm|<\infty }$.

В противном случае особенность имеет тип II. Известно, что пределы разрушения особенностей типа I являются градиентно-сжатыми. Солитоны Риччи.^[8] В случае типа II остается открытым вопрос, должна ли модель сингулярности быть устойчивым солитоном Риччи - пока все известные примеры таковыми.

Особенности в трехмерном потоке Риччи

В 3d хорошо понятны возможные пределы разрушения особенностей потока Риччи. Гамильтон, Перельман и недавние^{[когда? ]} работы Брендла, взрывы в точках максимальной кривизны приводят к одной из следующих трех моделей сингулярности:

• Сжимающаяся круглая сферическая космическая форма ${\displaystyle S^{3}/\Gamma }$
• Усадочный круглый цилиндр ${\displaystyle S^{2}\times \mathbb {R} }$
• Солитон Брайанта

Первые две модели сингулярностей возникают из особенностей типа I, тогда как последняя возникает из особенностей типа II.

Особенности в 4d потоке Риччи

В четырех измерениях очень мало известно о возможных сингулярностях, за исключением того, что возможностей гораздо больше, чем в трех измерениях. На сегодняшний день известны следующие модели особенностей.

• ${\displaystyle S^{3}\times \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle S^{2}\times \mathbb {R} ^{2}}$
• 4d солитон Брайанта
• Компактное многообразие Эйнштейна положительной скалярной кривизны
• Компактный градиентный усадочный солитон Калера-Риччи
• Термоусадочная машина FIK ^[9]
• В Пространство Егучи – Хансона ^[10]

Обратите внимание, что первые три примера являются обобщениями трехмерных моделей сингулярностей. Термоусадочная машина FIK моделирует схлопывание залитой сферы с число самопересечения -1.

Отношение к диффузии

Чтобы понять, почему уравнение эволюции, определяющее поток Риччи, действительно является своего рода уравнением нелинейной диффузии, мы можем более подробно рассмотреть частный случай (реальных) двумерных многообразий. Любой метрический тензор на двумерном многообразии можно записать относительно экспоненциальная изотермическая координатная диаграмма в виде

${\displaystyle ds^{2}=\exp(2\,p(x,y))\,\left(dx^{2}+dy^{2}\right).}$

(Эти координаты представляют собой пример конформный диаграмма координат, потому что углы, но не расстояния, правильно представлены.)

Самый простой способ вычислить Тензор Риччи и Оператор Лапласа-Бельтрами для нашего риманова двумерного многообразия заключается в использовании метода дифференциальных форм Эли Картан. Возьми поле coframe

${\displaystyle \sigma ^{1}=\exp(p)\,dx,\;\;\sigma ^{2}=\exp(p)\,dy}$

так что метрический тензор становится

${\displaystyle \sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}+\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{2}=\exp(2p)\,\left(dx\otimes dx+dy\otimes dy\right).}$

Далее, для произвольной гладкой функции ${\displaystyle h(x,y)}$, вычислить внешняя производная

${\displaystyle dh=h_{x}dx+h_{y}dy=\exp(-p)h_{x}\,\sigma ^{1}+\exp(-p)h_{y}\,\sigma ^{2}.}$

Возьми Ходж Дуал

${\displaystyle \star dh=-\exp(-p)h_{y}\,\sigma ^{1}+\exp(-p)h_{x}\,\sigma ^{2}=-h_{y}\,dx+h_{x}\,dy.}$

Возьмите другую внешнюю производную

${\displaystyle d\star dh=-h_{yy}\,dy\wedge dx+h_{xx}\,dx\wedge dy=\left(h_{xx}+h_{yy}\right)\,dx\wedge dy}$

(где мы использовали антикоммутативное свойство из внешний продукт ). То есть,

${\displaystyle d\star dh=\exp(-2p)\,\left(h_{xx}+h_{yy}\right)\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}.}$

Взяв еще один дуал Ходжа, вы получите

${\displaystyle \Delta h=\star d\star dh=\exp(-2p)\,\left(h_{xx}+h_{yy}\right)}$

что дает искомое выражение для оператора Лапласа / Бельтрами

${\displaystyle \Delta =\exp(-2\,p(x,y))\left(D_{x}^{2}+D_{y}^{2}\right).}$

Чтобы вычислить тензор кривизны, мы берем внешнюю производную ковекторных полей, составляющих наш кофрейм:

${\displaystyle d\sigma ^{1}=p_{y}\exp(p)dy\wedge dx=-\left(p_{y}dx\right)\wedge \sigma ^{2}=-{\omega ^{1}}_{2}\wedge \sigma ^{2}}$

${\displaystyle d\sigma ^{2}=p_{x}\exp(p)dx\wedge dy=-\left(p_{x}dy\right)\wedge \sigma ^{1}=-{\omega ^{2}}_{1}\wedge \sigma ^{1}.}$

Из этих выражений мы можем прочитать единственное независимое Спиновое соединение однотипный

${\displaystyle {\omega ^{1}}_{2}=p_{y}dx-p_{x}dy,}$

где мы воспользовались антисимметричным свойством связи (${\displaystyle {\omega ^{2}}_{1}=-{\omega ^{1}}_{2}}$). Возьмите другую внешнюю производную

${\displaystyle d{\omega ^{1}}_{2}=p_{yy}dy\wedge dx-p_{xx}dx\wedge dy=-\left(p_{xx}+p_{yy}\right)\,dx\wedge dy.}$

Это дает кривизна двухформная

${\displaystyle {\Omega ^{1}}_{2}=-\exp(-2p)\left(p_{xx}+p_{yy}\right)\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}=-\Delta p\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}}$

откуда мы можем прочитать единственную линейно независимую составляющую Тензор Римана с помощью

${\displaystyle {\Omega ^{1}}_{2}={R^{1}}_{212}\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}.}$

А именно

${\displaystyle {R^{1}}_{212}=-\Delta p}$

из которого единственные ненулевые компоненты Тензор Риччи находятся

${\displaystyle R_{22}=R_{11}=-\Delta p.}$

Отсюда находим компоненты относительно координатный кобазис, а именно

${\displaystyle R_{xx}=R_{yy}=-\left(p_{xx}+p_{yy}\right).}$

Но метрический тензор также диагонален, причем

${\displaystyle g_{xx}=g_{yy}=\exp(2p)}$

и после некоторых элементарных манипуляций мы получаем элегантное выражение для потока Риччи:

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}=\Delta p.}$

Это явно аналогично самому известному из всех уравнений диффузии, уравнению уравнение теплопроводности

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u}$

где сейчас ${\displaystyle \Delta =D_{x}^{2}+D_{y}^{2}}$ это обычный Лапласиан на евклидовой плоскости. Читатель может возразить, что уравнение теплопроводности, конечно, линейный уравнение в частных производных - где обещанное нелинейность в п.о.э. определение потока Риччи?

Ответ заключается в том, что нелинейность возникает, потому что оператор Лапласа-Бельтрами зависит от той же функции p, которую мы использовали для определения метрики. Но обратите внимание, что плоская евклидова плоскость получается взятием ${\displaystyle p(x,y)=0}$. Так что если ${\displaystyle p}$ мала по величине, мы можем рассматривать его для определения небольших отклонений от геометрии плоской плоскости, и если мы сохраняем только члены первого порядка при вычислении экспоненты, поток Риччи на нашем двумерном почти плоском римановом многообразии становится обычным двумя уравнение размерной теплопроводности. Этот расчет предполагает, что так же, как (согласно уравнению теплопроводности) неравномерное распределение температуры в горячей пластине имеет тенденцию становиться более однородным со временем, точно так же (согласно потоку Риччи) почти плоское риманово многообразие будет стремиться сгладить таким же образом тепло может уноситься «в бесконечность» в бесконечной плоской пластине. Но если наша горячая плита имеет конечный размер и не имеет границ, по которым может отводиться тепло, мы можем ожидать гомогенизировать температура, но очевидно, что мы не можем ожидать снижения ее до нуля. Таким же образом мы ожидаем, что поток Риччи, примененный к искаженной круглой сфере, со временем будет иметь тенденцию к округлению геометрии, но не к превращению ее в плоскую евклидову геометрию.

Последние достижения

Поток Риччи интенсивно изучается с 1981 года. Некоторые недавние работы были сосредоточены на вопросе о том, как именно многомерные римановы многообразия эволюционируют под действием потока Риччи, и, в частности, какие типы параметрических особенности может образоваться. Например, определенный класс решений потока Риччи демонстрирует, что особенности шейного отдела будет формироваться на развивающемся п-мерное метрическое риманово многообразие, обладающее определенным топологическим свойством (положительное Эйлерова характеристика ) по мере приближения потока к некоторому характерному времени ${\displaystyle t_{0}}$. В некоторых случаях такие шейные зажимы образуют коллекторы, называемые Солитоны Риччи.

Для трехмерного многообразия Перельман показал, как продолжить движение за особенности, используя операция на многообразии.

Кэлеровы метрики остаются кэлеровыми при потоке Риччи, поэтому поток Риччи также изучается в этом контексте, где он называется «поток Кэлера-Риччи».

Смотрите также

Приложения

• Теорема униформизации
• Гипотеза геометризации
• Решение гипотезы Пуанкаре
• Теорема о дифференцируемой сфере

Общий контекст

• Кривизна Риччи
• Вариационное исчисление
• Геометрический поток

Примечания

1. Фридан, Д. (1980). «Нелинейные модели в 2 + ε измерениях». Письма с физическими проверками (Представлена ​​рукопись). 45 (13): 1057–1060. Bibcode:1980ПхРвЛ..45.1057Ф. Дои:10.1103 / PhysRevLett.45.1057.
2. ДеТерк, Деннис М. (1983). «Деформирующие метрики в направлении их тензоров Риччи». J. Дифференциальная геометрия. 18 (1): 157–162. Дои:10.4310 / jdg / 1214509286.
3. Eells, James, Jr; Сэмпсон, Дж. (1964). «Гармонические отображения римановых многообразий». Амер. J. Math. 86: 109–160. Дои:10.2307/2373037. JSTOR  2373037.
4. Громов, М .; Терстон, В. (1987). «Константы защемления для гиперболических многообразий». Изобретать. Математика. 89 (1): 1–12. Дои:10.1007 / BF01404671.
5. Ли, Питер; Яу, Шинг-Тунг (1986). «О параболическом ядре оператора Шредингера». Acta Math. 156 (3–4): 153–201. Дои:10.1007 / BF02399203. S2CID  120354778.
6. Уикс, Джеффри Р. (1985). Форма пространства: как визуализировать поверхности и трехмерные многообразия. Нью-Йорк: Марсель Деккер. ISBN  978-0-8247-7437-0.. Популярная книга, объясняющая предысторию программы классификации Терстона.
7. Ши, W.-X. (1989). «Деформирующая метрику на полных римановых многообразиях». Журнал дифференциальной геометрии. 30: 223–301. Дои:10.4310 / jdg / 1214443292.
8. Enders, J .; Mueller, R .; Топпинг П. (2011). «Об особенностях типа I в потоке Риччи». Коммуникации в анализе и геометрии. 19 (5): 905–922. arXiv:1005.1624. Дои:10.4310 / CAG.2011.v19.n5.a4. S2CID  968534.
9. Максимо, Д. (2014). «О разрушении четырехмерных особенностей течения Риччи». J. Reine Angew. Математика. 2014 (692): 153171. arXiv:1204.5967. Дои:10.1515 / crelle-2012-0080. S2CID  17651053.
10. Аплтон, Александр (2019). «Особенности Егучи-Хансона в U (2) -инвариантном потоке Риччи». arXiv:1903.09936 [math.DG ].

Рекомендации

Статьи для популярной математической аудитории.

• Андерсон, Майкл Т. (2004). «Геометризация 3-многообразий через поток Риччи» (PDF). Замечает амер. Математика. Soc. 51 (2): 184–193. МИСТЕР  2026939.
• Милнор, Джон (2003). «К гипотезе Пуанкаре и классификации трехмерных многообразий» (PDF). Замечает амер. Математика. Soc. 50 (10): 1226–1233. МИСТЕР  2009455.
• Морган, Джон В. (2005). «Недавний прогресс в гипотезе Пуанкаре и классификации трехмерных многообразий». Бык. Амер. Математика. Soc. (Н.С.). 42 (1): 57–78. Дои:10.1090 / S0273-0979-04-01045-6. МИСТЕР  2115067.
• Тао, Т. (2008). «Риччи поток» (PDF). В Гауэрс, Тимоти; Барроу-Грин, июнь; Лидер, Имре (ред.). Принстонский компаньон математики. Издательство Принстонского университета. С. 279–281. ISBN  978-0-691-11880-2.

Исследовательские статьи.

• Бём, Кристоф; Уилкинг, Буркхард (2008). «Многообразия с операторами положительной кривизны суть пространственные формы». Анна. математики. (2). 167 (3): 1079–1097. arXiv:математика / 0606187. Дои:10.4007 / анналы.2008.167.1079. JSTOR  40345372. МИСТЕР  2415394. S2CID  15521923.
• Брендл, Саймон (2008). «Общий результат сходимости для потока Риччи в более высоких измерениях». Duke Math. J. 145 (3): 585–601. arXiv:0706.1218. Дои:10.1215/00127094-2008-059. МИСТЕР  2462114. S2CID  438716. Zbl  1161.53052.
• Брендл, Саймон; Шен, Ричард (2009). «Коллекторы с кривизной на 1/4 ножки представляют собой пространственные формы». J. Amer. Математика. Soc. 22 (1): 287–307. arXiv:0705.0766. Bibcode:2009JAMS ... 22..287B. Дои:10.1090 / S0894-0347-08-00613-9. JSTOR  40587231. МИСТЕР  2449060. S2CID  2901565.
• Цао, Хуай-Донг; Си-Пин Чжу (Июнь 2006 г.). "Полное доказательство гипотез Пуанкаре и геометризации - применение теории Гамильтона-Перельмана потока Риччи" (PDF). Азиатский математический журнал. 10 (2). МИСТЕР  2488948. Erratum.
  • Пересмотренный вариант: Хуай-Донг Цао; Си-Пин Чжу (2006). "Доказательство Гамильтона-Перельмана гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации". arXiv:math.DG / 0612069.
• Чоу, Беннетт (1991). «Поток Риччи на двумерной сфере». J. Дифференциальная геометрия. 33 (2): 325–334. Дои:10.4310 / jdg / 1214446319. МИСТЕР  1094458. Zbl  0734.53033.
• Колдинг, Тобиас Х.; Миникоцци, Уильям П., II (2005). «Оценки времени угасания потока Риччи на некоторых трехмерных многообразиях и вопрос Перельмана» (PDF). J. Amer. Математика. Soc. 18 (3): 561–569. arXiv:математика / 0308090. Дои:10.1090 / S0894-0347-05-00486-8. JSTOR  20161247. МИСТЕР  2138137. S2CID  2810043.
• Гамильтон, Ричард С. (1982). «Трехмерные многообразия с положительной кривизной Риччи». J. Дифференциальная геометрия. 17 (2): 255–306. Дои:10.4310 / jdg / 1214436922. МИСТЕР  0664497. Zbl  0504.53034.
• Гамильтон, Ричард С. (1986). «Четырехмерные многообразия с оператором положительной кривизны». J. Дифференциальная геометрия. 24 (2): 153–179. Дои:10.4310 / jdg / 1214440433. МИСТЕР  0862046. Zbl  0628.53042.
• Гамильтон, Ричард С. (1988). «Поток Риччи на поверхностях». Математика и общая теория относительности (Санта-Крус, Калифорния, 1986). Contemp. Математика. 71. Амер. Математика. Soc., Providence, RI. С. 237–262. Дои:10.1090 / conm / 071/954419. МИСТЕР  0954419.
• Гамильтон, Ричард С. (1993a). «Оценка Гарнака для потока Риччи». J. Дифференциальная геометрия. 37 (1): 225–243. Дои:10.4310 / jdg / 1214453430. МИСТЕР  1198607. Zbl  0804.53023.
• Гамильтон, Ричард С. (1993b). «Вечные решения для потока Риччи». J. Дифференциальная геометрия. 38 (1): 1–11. Дои:10.4310 / jdg / 1214454093. МИСТЕР  1231700. Zbl  0792.53041.
• Гамильтон, Ричард С. (1995a). «Свойство компактности решений потока Риччи». Амер. J. Math. 117 (3): 545–572. Дои:10.2307/2375080. JSTOR  2375080. МИСТЕР  1333936.
• Гамильтон, Ричард С. (1995b). «Образование особенностей в потоке Риччи». Обзоры по дифференциальной геометрии. II (Кембридж, Массачусетс, 1993). Int. Press, Кембридж, Массачусетс. С. 7–136. Дои:10.4310 / SDG.1993.v2.n1.a2. МИСТЕР  1375255.
• Гамильтон, Ричард С. (1997). «Четырехмерные многообразия положительной изотропной кривизны». Comm. Анальный. Geom. 5 (1): 1–92. Дои:10.4310 / CAG.1997.v5.n1.a1. МИСТЕР  1456308. Zbl  0892.53018.
• Гамильтон, Ричард С. (1999). «Неособые решения потока Риччи на трехмерных многообразиях». Comm. Анальный. Geom. 7 (4): 695–729. Дои:10.4310 / CAG.1999.v7.n4.a2. МИСТЕР  1714939.
• Брюс Кляйнер; Джон Лотт (2008). «Заметки о бумагах Перельмана». Геометрия и топология. 12 (5): 2587–2855. arXiv:math.DG / 0605667. Дои:10.2140 / gt.2008.12.2587. МИСТЕР  2460872. S2CID  119133773.
• Перельман, Гриша (2002). «Формула энтропии для потока Риччи и ее геометрические приложения». arXiv:математика / 0211159.
• Перельман, Гриша (2003a). «Поток Риччи с операцией на трехмерных многообразиях». arXiv:математика / 0303109.
• Перельман, Гриша (2003b). «Конечное время угасания решений потока Риччи на некоторых трехмерных многообразиях». arXiv:математика / 0307245.

Учебники

• Эндрюс, Бен; Хоппер, Кристофер (2011). Поток Риччи в римановой геометрии: полное доказательство теоремы о дифференцируемой 1/4-сферической сфере. Конспект лекций по математике. 2011. Гейдельберг: Springer. Дои:10.1007/978-3-642-16286-2. ISBN  978-3-642-16285-5.
• Брендл, Саймон (2010). Поток Риччи и теорема о сфере. Аспирантура по математике. 111. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. Дои:10,1090 / г / м2 / 111. ISBN  978-0-8218-4938-5.
• Cao, H.D .; Чоу, Б .; Chu, S.C .; Яу, С.Т., ред. (2003). Сборник статей о Ricci Flow. Серия по геометрии и топологии. 37. Сомервилл, Массачусетс: Международная пресса. ISBN  1-57146-110-8.
• Чоу, Беннетт; Чу, Сун-Чин; Гликенштейн, Дэвид; Гюнтер, Кристина; Изенберг, Джеймс; Айви, Том; Кнопф, Дэн; Лу, Пэн; Ло, Фэн; Ни, Лей (2007). Поток Риччи: методы и приложения. Часть I. Геометрические аспекты. Математические обзоры и монографии. 135. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-3946-1.
• Чоу, Беннетт; Чу, Сун-Чин; Гликенштейн, Дэвид; Гюнтер, Кристина; Изенберг, Джеймс; Айви, Том; Кнопф, Дэн; Лу, Пэн; Ло, Фэн; Ни, Лей (2008). Поток Риччи: методы и приложения. Часть II. Аналитические аспекты. Математические обзоры и монографии. 144. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-4429-8.
• Чоу, Беннетт; Чу, Сун-Чин; Гликенштейн, Дэвид; Гюнтер, Кристина; Изенберг, Джеймс; Айви, Том; Кнопф, Дэн; Лу, Пэн; Ло, Фэн; Ни, Лей (2010). Поток Риччи: методы и приложения. Часть III. Геометрическо-аналитические аспекты. Математические обзоры и монографии. 163. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. Дои:10.1090 / сур / 163. ISBN  978-0-8218-4661-2.
• Чоу, Беннетт; Чу, Сун-Чин; Гликенштейн, Дэвид; Гюнтер, Кристина; Изенберг, Джеймс; Айви, Том; Кнопф, Дэн; Лу, Пэн; Ло, Фэн; Ни, Лей (2015). Поток Риччи: методы и приложения. Часть IV. Долгосрочные решения и связанные темы. Математические обзоры и монографии. 206. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. Дои:10.1090 / Surv / 206. ISBN  978-0-8218-4991-0.
• Чоу, Беннетт; Кнопф, Дэн (2004). Поток Риччи: Введение. Математические обзоры и монографии. 110. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. Дои:10.1090 / Surv / 110. ISBN  0-8218-3515-7.
• Чоу, Беннетт; Лу, Пэн; Ни, Лей (2006). Риччи Флоу Гамильтона. Аспирантура по математике. 77. Пекин, Нью-Йорк: Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд; Science Press. Дои:10,1090 / г / м2 / 077. ISBN  978-0-8218-4231-7.
• Морган, Джон В .; Фонг, Фредерик Цз-Хо (2010). Поток Риччи и геометризация 3-многообразий. Серия университетских лекций. 53. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. Дои:10.1090 / ulect / 053. ISBN  978-0-8218-4963-7.
• Морган, Джон; Тиан, Банда (2007). Поток Риччи и гипотеза Пуанкаре. Монографии по математике из глины. 3. Провиденс, Род-Айленд и Кембридж, Массачусетс: Американское математическое общество и Институт математики Клэя. ISBN  978-0-8218-4328-4.
• Мюллер, Рето (2006). Дифференциальные неравенства Гарнака и поток Риччи. Серия лекций по математике EMS. Цюрих: Европейское математическое общество (EMS). Дои:10.4171/030. HDL:2318/1701023. ISBN  978-3-03719-030-2.
• Топпинг, Питер (2006). Лекции о потоке Риччи. Серия лекций Лондонского математического общества. 325. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. Дои:10.1017 / CBO9780511721465. ISBN  0-521-68947-3.
• Чжан, Ци С. (2011). Неравенства Соболева, ядра тепла при потоке Риччи и гипотеза Пуанкаре. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1-4398-3459-6.

внешняя ссылка

• Изенберг, Джеймс А.. «Риччи Флоу» (видео). Брэди Харан. Получено 23 апреля 2014.