Спиновое соединение - Spin connection

В дифференциальная геометрия и математическая физика, а спин-соединение это связь на спинорный пучок. Он индуцируется каноническим образом из аффинная связь. Его также можно рассматривать как калибровочное поле генерируется местными Преобразования Лоренца. В некоторых канонических формулировках общей теории относительности спиновая связь определяется на пространственных срезах и может также рассматриваться как калибровочное поле, порожденное локальным вращения.

Спиновое соединение встречается в двух распространенных формах: Леви-Чивита спиновое соединение, когда он получен из Леви-Чивита связь, а аффинная спиновая связь, когда он получается из аффинной связности. Разница между ними в том, что связь Леви-Чивита по определению является единственной без кручения связь, тогда как аффинная связь (и, следовательно, аффинная спиновая связь) может содержать кручение.

Определение

Позволять ${\displaystyle e_{\mu }^{\;\,a}}$ быть местным Лоренцем поля кадра или же Vierbein (также известная как тетрада), которая представляет собой набор ортогональных векторных полей пространства-времени, которые диагонализируют метрический тензор

${\displaystyle g_{\mu \nu }=e_{\mu }^{\;\,a}e_{\nu }^{\;\,b}\eta _{ab},}$

куда ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ метрика пространства-времени и ${\displaystyle \eta _{ab}}$ это Метрика Минковского. Здесь латинскими буквами обозначен местный Лоренц индексы кадров; Греческие индексы обозначают общие координатные индексы. Это просто означает, что ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$, когда написано с точки зрения основы ${\displaystyle e_{\mu }^{\;\,a}}$, локально плоская. Индексы греческого vierbein могут быть увеличены или уменьшены в метрической системе, т.е. ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$ или же ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$. Латинские или «лоренцевы» индексы Вербейна могут быть увеличены или уменьшены на ${\displaystyle \eta ^{ab}}$ или же ${\displaystyle \eta _{ab}}$ соответственно. Например, ${\displaystyle e^{\mu a}=g^{\mu \nu }e_{\nu }^{\;\,a}}$ и ${\displaystyle e_{\nu a}=\eta _{ab}e_{\nu }^{\;\,b}}$

В без кручения спин-связь задается

${\displaystyle \omega _{\mu }^{\ ab}=e_{\nu }^{\ a}\Gamma _{\ \sigma \mu }^{\nu }e^{\sigma b}+e_{\nu }^{\ a}\partial _{\mu }e^{\nu b}=e_{\nu }^{\ a}\Gamma _{\ \sigma \mu }^{\nu }e^{\sigma b}-e^{\nu b}\partial _{\mu }e_{\nu }^{\ a},}$

куда ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }}$ являются Символы Кристоффеля. Это определение следует рассматривать как определение спинового соединения без кручения, поскольку, по соглашению, символы Кристоффеля являются производными от Леви-Чивита связь, которая является единственной метрической согласованной связностью без кручения на римановом многообразии. В общем, ограничений нет: спиновое соединение также может содержать кручение.

Обратите внимание, что ${\displaystyle \omega _{\mu }^{\ ab}=e_{\nu }^{\ a}\partial _{;\mu }e^{\nu b}=e_{\nu }^{\ a}(\partial _{\mu }e^{\nu b}+\Gamma _{\ \sigma \mu }^{\nu }e^{\sigma b})}$ используя гравитационную ковариантную производную ${\displaystyle \partial _{;\mu }e^{\nu b}}$ контравариантного вектора ${\displaystyle e^{\nu b}}$. Спиновую связь можно записать чисто в терминах поля Вирбейна как^[1]

${\displaystyle \omega _{\mu }^{\ ab}={\frac {1}{2}}e^{\nu a}(\partial _{\mu }e_{\nu }^{\ b}-\partial _{\nu }e_{\mu }^{\ b})-{\frac {1}{2}}e^{\nu b}(\partial _{\mu }e_{\nu }^{\ a}-\partial _{\nu }e_{\mu }^{\ a})-{\frac {1}{2}}e^{\rho a}e^{\sigma b}(\partial _{\rho }e_{\sigma c}-\partial _{\sigma }e_{\rho c})e_{\mu }^{\ c},}$

которая по определению антисимметрична по своим внутренним индексам ${\displaystyle a,b}$.

Спиновое соединение ${\displaystyle \omega _{\mu }^{\ ab}}$ определяет ковариантную производную ${\displaystyle D_{\mu }}$ на обобщенных тензорах. Например, его действие на ${\displaystyle V_{\nu }^{\ a}}$ является

${\displaystyle D_{\mu }V_{\nu }^{\ a}=\partial _{\mu }V_{\nu }^{\ a}+{{\omega _{\mu }}^{a}}_{b}V_{\nu }^{\ b}-\Gamma _{\ \nu \mu }^{\sigma }V_{\sigma }^{\ a}}$

Структурные уравнения Картана

в Картановский формализм, спиновое соединение используется для определения кручения и кривизны. Их легче всего прочитать, работая с дифференциальные формы, так как за этим скрывается изобилие индексов. Представленные здесь уравнения фактически являются повторением тех, которые можно найти в статье о форма подключения и форма кривизны. Основное отличие состоит в том, что они сохраняют индексы на vierbein, а не полностью их скрывают. В более узком смысле, формализм Картана следует интерпретировать в его историческом контексте как обобщение идеи аффинная связь к однородное пространство; это еще не так широко, как идея основная связь на пучок волокон. Он служит подходящей промежуточной точкой между более узкой настройкой в Риманова геометрия и полностью абстрактную настройку жгута волокон, тем самым подчеркивая сходство с калибровочная теория. Обратите внимание, что структурные уравнения Картана, как они выражены здесь, имеют прямой аналог: Уравнения Маурера – Картана за Группы Ли (то есть это те же уравнения, но в другой настройке и обозначении).

Письмо

${\displaystyle e^{a}=e_{\mu }^{\;\,a}dx^{\mu }}$

для ортонормированных координат на котангенсный пучок, одна форма аффинной спиновой связности есть

${\displaystyle \omega ^{ab}=\omega _{\mu }^{\;\;ab}dx^{\mu }}$

В кручение 2-форма дается

${\displaystyle \Theta ^{a}=de^{a}+\omega _{\;b}^{a}\wedge e^{b}}$

в то время как кривизна 2-форма является

${\displaystyle R_{\;\,b}^{a}=d\omega _{\;\,b}^{a}+\omega _{\;c}^{a}\wedge \omega _{\;\,b}^{c}={\frac {1}{2}}R_{\;\,bcd}^{a}e^{c}\wedge e^{d}}$

Эти два уравнения, вместе взятые, называются Структурные уравнения Картана.^[2]Последовательность требует, чтобы Бьянки идентичности подчиняться. Первое тождество Бьянки получается взятием внешней производной от кручения:

${\displaystyle d\Theta ^{a}+\omega _{\;b}^{a}\wedge \Theta ^{b}=R_{\;\,b}^{a}\wedge e^{b}}$

а второй - дифференцированием кривизны:

${\displaystyle dR_{\;\,b}^{a}+\omega _{\;c}^{a}\wedge R_{\;\,b}^{c}-R_{\;\,c}^{a}\wedge \omega _{\;b}^{c}=0.}$

Ковариантная производная для общего дифференциальная форма ${\displaystyle V_{\;\,b}^{a}}$ степени п определяется

${\displaystyle DV_{\;\,b}^{a}=dV_{\;\,b}^{a}+\omega _{\;c}^{a}\wedge V_{\;\,b}^{c}-(-1)^{p}V_{\;\,c}^{a}\wedge \omega _{\;b}^{c}.}$

Затем вторая личность Бьянки становится

${\displaystyle DR_{\;\,b}^{a}=0.}$

Разница между соединением с кручением и уникальным соединением без кручения определяется тензор искривления. Связь с кручением обычно встречается в теориях телепараллелизм, Теория Эйнштейна – Картана, калибровочная теория гравитации и супергравитация.

Вывод

Метричность

Легко вывести, повышая и понижая индексы по мере необходимости, что поля кадра определяется ${\displaystyle g_{\mu \nu }={e_{\mu }}^{a}{e_{\nu }}^{b}\eta _{ab}}$ также удовлетворит ${\displaystyle {e_{\mu }}^{a}{e^{\mu }}_{b}=\delta _{b}^{a}}$ и ${\displaystyle {e_{\mu }}^{b}{e^{\nu }}_{b}=\delta _{\mu }^{\nu }}$. Мы ожидаем, что ${\displaystyle D_{\mu }}$ также аннигилирует метрику Минковского ${\displaystyle \eta _{ab}}$,

${\displaystyle D_{\mu }\eta _{ab}=\partial _{\mu }\eta _{ab}-{\omega _{\mu a}}^{c}\eta _{cb}-{\omega _{\mu b}}^{c}\eta _{ac}=0.}$

Это означает, что соединение антисимметрично по своим внутренним индексам, ${\displaystyle {\omega _{\mu }}^{ab}=-{\omega _{\mu }}^{ba}.}$ Это также выводится путем взятия гравитационной ковариантной производной ${\displaystyle \partial _{;\beta }({e_{\mu }}^{a}{e^{\mu }}_{b})=0}$ откуда следует, что ${\displaystyle \partial _{;\beta }{e_{\mu }}^{a}{e^{\mu }}_{b}=-{e_{\mu }}^{a}\partial _{;\beta }{e^{\mu }}_{b}}$ таким образом, в конечном итоге, ${\displaystyle {\omega _{\beta }}^{ab}=-{\omega _{\beta }}^{ba}}$. Иногда это называют условие метричности;^[2] это аналогично более часто устанавливаемому условию метричности, что ${\displaystyle g_{\mu \nu ;\alpha }=0.}$ Заметим, что это условие выполняется только для спиновой связности Леви-Чивиты, но не для аффинной спиновой связности вообще.

Подставляя формулу для символов Кристоффеля ${\displaystyle {\Gamma ^{\nu }}_{\sigma \mu }={1 \over 2}g^{\nu \delta }(\partial _{\sigma }g_{\delta \mu }+\partial _{\mu }g_{\sigma \delta }-\partial _{\delta }g_{\sigma \mu })}$ написано с точки зрения ${\displaystyle {e_{\mu }}^{a}}$, спиновая связь может быть полностью записана в терминах ${\displaystyle {e_{\mu }}^{a}}$,

${\displaystyle {\omega _{\mu }}^{ab}=e^{\nu [a}({{e_{\nu }}^{b]}}_{,\mu }-{{e_{\mu }}^{b]}}_{,\nu }+e^{\sigma |b]}{e_{\mu }}^{c}e_{\nu c,\sigma })}$

где антисимметризация индексов имеет неявный множитель 1/2.

По метрической совместимости

Эта формула может быть получена другим способом. Чтобы напрямую решить условие совместимости спинового соединения ${\displaystyle {\omega _{\mu }}^{ab}}$, можно использовать тот же прием, который использовался для решения ${\displaystyle \nabla _{\rho }g_{\alpha \beta }=0}$ для символов Кристоффеля ${\displaystyle {\Gamma ^{\gamma }}_{\alpha \beta }}$. Сначала заключите условие совместимости, чтобы

${\displaystyle {e^{\alpha }}_{b}{e^{\beta }}_{c}(\partial _{[\alpha }e_{\beta ]a}+{\omega _{[\alpha a}}^{d}\;e_{\beta ]d})=0}$.

Затем произведите циклическую перестановку свободных индексов ${\displaystyle a,b,}$ и ${\displaystyle c}$, и сложите и вычтите три полученных уравнения:

${\displaystyle \Omega _{bca}+\Omega _{abc}-\Omega _{cab}+2{e^{\alpha }}_{b}\omega _{\alpha ac}=0}$

где мы использовали определение ${\displaystyle \Omega _{bca}:={e^{\alpha }}_{b}{e^{\beta }}_{c}\partial _{[\alpha }e_{\beta ]a}}$. Решение для спинового соединения:

${\displaystyle \omega _{\alpha ca}={1 \over 2}{e_{\alpha }}^{b}(\Omega _{bca}+\Omega _{abc}-\Omega _{cab})}$.

Отсюда получаем ту же формулу, что и раньше.

Приложения

Спиновая связь возникает в Уравнение Дирака когда выражено на языке искривленное пространство-время, видеть Уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени. В частности, есть проблемы, связанные с привязкой гравитации к спинор полей: нет конечномерных спинорных представлений общая ковариационная группа. Однако, конечно, существуют спинорные представления о Группа Лоренца. Этот факт используется с помощью тетрадных полей, описывающих плоское касательное пространство в каждой точке пространства-времени. В Матрицы Дирака ${\displaystyle \gamma ^{a}}$ заключены на vierbiens,

${\displaystyle \gamma ^{a}{e^{\mu }}_{a}(x)=\gamma ^{\mu }(x)}$.

Мы хотим построить общековариантное уравнение Дирака. Под плоским касательным пространством Преобразование Лоренца спинор преобразуется как

${\displaystyle \psi \mapsto e^{i\epsilon ^{ab}(x)\sigma _{ab}}\psi }$

Мы ввели локальные преобразования Лоренца на плоском касательном пространстве, порожденные ${\displaystyle \sigma _{ab}}$такие, что ${\displaystyle \epsilon _{ab}}$ это функция пространства-времени. Это означает, что частная производная спинора больше не является истинным тензором. Как обычно, вводится поле связи ${\displaystyle {\omega _{\mu }}^{ab}}$ что позволяет нам калибровать группу Лоренца. Ковариантная производная, определенная с помощью спиновой связи, равна

${\displaystyle \nabla _{\mu }\psi =(\partial _{\mu }-{i \over 4}{\omega _{\mu }}^{ab}\sigma _{ab})\psi =(\partial _{\mu }-{i \over 4}e^{\nu a}\partial _{;\mu }{e_{\nu }}^{b}\sigma _{ab})\psi }$,

и является настоящим тензором, а уравнение Дирака переписывается как

${\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }-m)\psi =0}$.

Общековариантное действие фермионов связывает фермионы с гравитацией при добавлении к первому порядку тетрадное действие Палатини,

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{1 \over 2\kappa ^{2}}e\,{e^{\mu }}_{a}{e^{\nu }}_{b}{\Omega _{\mu \nu }}^{ab}[\omega ]+e{\overline {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }-m)\psi }$

куда ${\displaystyle e:=\det {e_{\mu }}^{a}={\sqrt {-g}}}$ и ${\displaystyle {\Omega _{\mu \nu }}^{ab}}$ - кривизна спинового соединения.

Тетрадическая формулировка общей теории относительности Палатини, которая является формулировкой первого порядка теории относительности. Действие Эйнштейна – Гильберта где тетрада и спиновая связь - основные независимые переменные. В версии 3 + 1 формулировки Палатини информация о пространственной метрике, ${\displaystyle q_{ab}(x)}$, закодировано в триаде ${\displaystyle e_{a}^{i}}$ (трехмерный, пространственный вариант тетрады). Здесь мы расширяем условие метрической совместимости ${\displaystyle D_{a}q_{bc}=0}$ к ${\displaystyle e_{a}^{i}}$, то есть, ${\displaystyle D_{a}e_{b}^{i}=0}$ и мы получаем формулу, аналогичную приведенной выше, но для пространственной спиновой связи ${\displaystyle \Gamma _{a}^{ij}}$.

Пространственная спиновая связь появляется в определении Переменные Аштекара-Барберо что позволяет переписать общую теорию относительности 3 + 1 как особый тип ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ Ян – Миллс калибровочная теория. Один определяет ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}=\epsilon ^{ijk}\Gamma _{a}^{jk}}$. Переменная связи Аштекар-Барберо затем определяется как ${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}+\beta c_{a}^{i}}$ куда ${\displaystyle c_{a}^{i}=c_{ab}e^{bi}}$ и ${\displaystyle c_{ab}}$ это внешний кривизна и ${\displaystyle \beta }$ это Параметр Иммирзи. С ${\displaystyle A_{a}^{i}}$ в качестве конфигурационной переменной сопряженный импульс представляет собой уплотненную триаду ${\displaystyle E_{a}^{i}=|\det(e)|e_{a}^{i}}$. С 3 + 1 общая теория относительности переписывается как особый тип ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ Ян – Миллс калибровочной теории, она позволяет импортировать непертурбативные методы, используемые в Квантовая хромодинамика канонической квантовой общей теории относительности.

Смотрите также

• Переменные Аштекара
• Оператор Дирака
• Картановое соединение
• Леви-Чивита связь
• Исчисление Риччи
• Супергравитация
• Тензор кручения
• Конторсионный тензор
• Уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени

Рекомендации

1. М.Б. Грин, Дж. Шварц, Э. Виттен, "Теория суперструн", Vol. 2.
2. Тору Эгути, Питер Б. Гилки и Эндрю Дж. Хэнсон "Гравитация, калибровочные теории и дифференциальная геометрия ", Отчеты по физике 66 (1980) стр. 213-393.

• Hehl, F.W .; von der Heyde, P .; Kerlick, G.D .; Нестер, Дж. М. (1976), «Общая теория относительности со спином и кручением: основы и перспективы», Ред. Мод. Phys. 48, 393.
• Киббл, T.W.B. (1961), «Лоренц-инвариантность и гравитационное поле», J. Math. Phys. 2, 212.
• Поплавски, Н.Дж. (2009), «Пространство-время и поля», arXiv: 0911.0334
• Sciama, D.W. (1964), «Физическая структура общей теории относительности», Ред. Мод. Phys. 36, 463.