Решение скалярного поля - Scalar field solution

В общая теория относительности, а решение скалярного поля является точное решение из Уравнение поля Эйнштейна в котором гравитационное поле полностью обусловлено энергией поля и импульсом скалярное поле. Такое поле может быть или не быть безмассовый, и можно считать, что соединение с минимальной кривизнойили другой вариант, например конформная связь.

Математическое определение

В общей теории относительности геометрическая установка физических явлений Лоренцево многообразие, который физически интерпретируется как искривленное пространство-время, и который математически задается путем определения метрический тензор ${\displaystyle g_{ab}}$ (или путем определения поле кадра ). В тензор кривизны ${\displaystyle R_{bcd}^{a}}$этого многообразия и связанных с ним величин, таких как Тензор Эйнштейна ${\displaystyle G_{ab}}$, хорошо определены даже в отсутствие какой-либо физической теории, но в общей теории относительности они получают физическую интерпретацию как геометрические проявления гравитационное поле.

Кроме того, мы должны указать скалярное поле, задав функцию ${\displaystyle \psi }$. Эта функция требуется для выполнения двух следующих условий:

1. Функция должна удовлетворять (искривленное пространство-время) без источника волновое уравнение ${\displaystyle g^{ab}\psi _{;ab}=0}$,
2. Тензор Эйнштейна должен соответствовать тензор энергии-импульса для скалярного поля, которое в простейшем случае a минимально связанное безмассовое скалярное поле, можно написать

${\displaystyle G_{ab}=8\pi \left(\psi _{;a}\psi _{;b}-{\frac {1}{2}}\psi _{;m}\psi ^{;m}g_{ab}\right)}$.

Оба условия следуют из изменения Плотность лагранжиана для скалярного поля, которое в случае минимально связанного безмассового скалярного поля равно

${\displaystyle L=-g^{mn}\,\psi _{;m}\,\psi _{;n}}$

Здесь,

${\displaystyle {\frac {\delta L}{\delta \psi }}=0}$

дает волновое уравнение, а

${\displaystyle {\frac {\delta L}{\delta g^{ab}}}=0}$

дает уравнение Эйнштейна (в случае, когда энергия поля скалярного поля является единственным источником гравитационного поля).

Физическая интерпретация

Скалярные поля часто интерпретируются как классические приближения в смысле эффективная теория поля, в какое-то квантовое поле. В общей теории относительности умозрительная квинтэссенция поле может отображаться как скалярное поле. Например, поток нейтрального пионы в принципе можно моделировать как минимально связанное безмассовое скалярное поле.

Тензор Эйнштейна

Компоненты тензора, вычисленные относительно поле кадра вместо координатного базиса часто называют физические компоненты, потому что это компоненты, которые в принципе могут быть измерены наблюдателем.

В частном случае минимально связанное безмассовое скалярное поле, адаптированная рама

${\displaystyle {\vec {e}}_{0},\;{\vec {e}}_{1},\;{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e}}_{3}}$

(первый - это подобный времени единица измерения векторное поле, последние три космический единичные векторные поля) всегда можно найти, в котором тензор Эйнштейна принимает простой вид

${\displaystyle G_{{\hat {a}}{\hat {b}}}=8\pi \sigma \,\left[{\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]}$куда ${\displaystyle \sigma }$ это плотность энергии скалярного поля.

Собственные значения

В характеристический многочлен тензора Эйнштейна в решении с минимально связанным безмассовым скалярным полем должно иметь вид

${\displaystyle \chi (\lambda )=(\lambda +8\pi \sigma )^{3}\,(\lambda -8\pi \sigma )}$

Другими словами, у нас есть простое собственное значение и тройное собственное значение, каждое из которых является отрицательным по отношению к другому. Умножить и использовать Основа Грёбнера методов, мы обнаруживаем, что следующие три инварианта должны одинаково обращаться в нуль:

${\displaystyle a_{2}=0,\;\;a_{1}^{3}+4a_{3}=0,\;\;a_{1}^{4}+16a_{4}=0}$

С помощью Личности Ньютона, мы можем переписать их в терминах следов сил. Мы находим, что

${\displaystyle t_{2}=t_{1}^{2},\;t_{3}=t_{1}^{3}/4,\;t_{4}=t_{1}^{4}/4}$

Мы можем переписать это в терминах индексной гимнастики как явно инвариантный критерий:

${\displaystyle {G^{a}}_{a}=-R}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a}=R^{2}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a}=R^{3}/4}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}=R^{4}/4}$

Примеры

Известные индивидуальные решения скалярного поля включают

• в Решение скалярного поля Джениса – Ньюмана – Винкура, что является уникальным статический и сферически симметричный безмассовое решение с минимально связанным скалярным полем.

Смотрите также

• Точные решения в общей теории относительности
• Группа Лоренца

Рекомендации

• Stephani, H .; Kramer, D .; MacCallum, M .; Hoenselaers, C. & Herlt, E. (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-46136-7.
• Хокинг, С. В. и Эллис, Г. Ф. Р. (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-09906-4. Видеть Раздел 3.3 для тензора энергии-импульса минимально связанного скалярного поля.