Тензор Эйнштейна - Einstein tensor

В дифференциальная геометрия, то Тензор Эйнштейна (названный в честь Альберт Эйнштейн; также известный как обратный след Тензор Риччи) используется для выражения кривизна из псевдориманово многообразие. В общая теория относительности, это происходит в Уравнения поля Эйнштейна за гравитация которые описывают пространство-время искривление таким образом, чтобы это соответствовало закону сохранения энергии и количества движения.

Определение

Тензор Эйнштейна ${\displaystyle \mathbf {G} }$ это тензор порядка 2, определенного над псевдоримановы многообразия. В безиндексная запись это определяется как

${\displaystyle \mathbf {G} =\mathbf {R} -{\frac {1}{2}}\mathbf {g} R,}$

куда ${\displaystyle \mathbf {R} }$ это Тензор Риччи, ${\displaystyle \mathbf {g} }$ это метрический тензор и ${\displaystyle R}$ это скалярная кривизна. В компонентной форме предыдущее уравнение читается как

${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R.}$

Тензор Эйнштейна симметричен

${\displaystyle G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }}$

и, как и на оболочке тензор энергии-импульса, без расхождения

${\displaystyle \nabla _{\mu }G^{\mu \nu }=0\,.}$

Явная форма

Тензор Риччи зависит только от метрического тензора, поэтому тензор Эйнштейна можно определить непосредственно с помощью только метрического тензора. Однако это выражение сложно и редко цитируется в учебниках. Сложность этого выражения можно показать, используя формулу тензора Риччи в терминах Символы Кристоффеля:

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=R_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }R\\&=R_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }R_{\gamma \zeta }\\&=(\delta _{\alpha }^{\gamma }\delta _{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta })R_{\gamma \zeta }\\&=(\delta _{\alpha }^{\gamma }\delta _{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta })(\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \zeta ,\epsilon }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \epsilon ,\zeta }+\Gamma ^{\epsilon }{}_{\epsilon \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\gamma \zeta }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\zeta \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\epsilon \gamma }),\\G^{\alpha \beta }&=(g^{\alpha \gamma }g^{\beta \zeta }-{\frac {1}{2}}g^{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta })(\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \zeta ,\epsilon }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\gamma \epsilon ,\zeta }+\Gamma ^{\epsilon }{}_{\epsilon \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\gamma \zeta }-\Gamma ^{\epsilon }{}_{\zeta \sigma }\Gamma ^{\sigma }{}_{\epsilon \gamma }),\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle \delta _{\beta }^{\alpha }}$ это Тензор Кронекера и символ Кристоффеля ${\displaystyle \Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }}$ определяется как

${\displaystyle \Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }={\frac {1}{2}}g^{\alpha \epsilon }(g_{\beta \epsilon ,\gamma }+g_{\gamma \epsilon ,\beta }-g_{\beta \gamma ,\epsilon }).}$

До отмены эта формула приводит к ${\displaystyle 2\times (6+6+9+9)=60}$ индивидуальные условия. Отмена несколько снижает это число.

В частном случае локально инерциальная система отсчета вблизи точки первые производные метрического тензора обращаются в нуль и компонентная форма тензора Эйнштейна значительно упрощается:

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=g^{\gamma \mu }{\bigl [}g_{\gamma [\beta ,\mu ]\alpha }+g_{\alpha [\mu ,\beta ]\gamma }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\epsilon \sigma }(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }){\bigr ]}\\&=g^{\gamma \mu }(\delta _{\alpha }^{\epsilon }\delta _{\beta }^{\sigma }-{\frac {1}{2}}g^{\epsilon \sigma }g_{\alpha \beta })(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }),\end{aligned}}}$

где квадратные скобки условно обозначают антисимметризация над индексами в квадратных скобках, т.е.

${\displaystyle g_{\alpha [\beta ,\gamma ]\epsilon }\,={\frac {1}{2}}(g_{\alpha \beta ,\gamma \epsilon }-g_{\alpha \gamma ,\beta \epsilon }).}$

След

В след тензора Эйнштейна можно вычислить как договор уравнение в определение с метрический тензор ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$. В ${\displaystyle n}$ размеры (произвольной подписи):

${\displaystyle {\begin{aligned}g^{\mu \nu }G_{\mu \nu }&=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }R\\G&=R-{1 \over 2}(nR)\\G&={{2-n} \over 2}R\end{aligned}}}$

Следовательно, в частном случае п = 4 размеры, ${\displaystyle G\ =-R}$. То есть след тензора Эйнштейна является отрицательным Тензор Риччи след. Таким образом, другое название тензора Эйнштейна - это тензор Риччи с обращенным следом. Этот ${\displaystyle n=4}$ случай особенно актуален в общая теория относительности.

Использование в общей теории относительности

Тензор Эйнштейна позволяет Уравнения поля Эйнштейна записать в краткой форме:

${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu },}$

куда ${\displaystyle \Lambda }$ это космологическая постоянная и ${\displaystyle \kappa }$ это Гравитационная постоянная Эйнштейна.

От явный вид тензора Эйнштейна, тензор Эйнштейна является нелинейный функция метрического тензора, но линейна во втором частные производные метрики. Как симметричный тензор второго порядка, тензор Эйнштейна имеет 10 независимых компонент в 4-мерном пространстве. Отсюда следует, что уравнения поля Эйнштейна представляют собой набор из 10 квазилинейный уравнения в частных производных второго порядка для метрического тензора.

В сокращенные идентичности Бьянки также легко выражается с помощью тензора Эйнштейна:

${\displaystyle \nabla _{\mu }G^{\mu \nu }=0.}$

(Сжатые) тождества Бианки автоматически обеспечивают ковариантное сохранение тензор энергии-импульса в искривленном пространстве-времени:

${\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0.}$

Это тождество подчеркивает физическое значение тензора Эйнштейна. В терминах тензора уплотненных напряжений, сжатых на Вектор убийства ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$, выполняется обычный закон сохранения:

${\displaystyle \partial _{\mu }({\sqrt {-g}}T^{\mu }{}_{\nu }\xi ^{\nu })=0}$.

Уникальность

Смотрите также: Теорема Лавлока

Дэвид Лавлок показал, что в четырехмерном дифференцируемое многообразие, тензор Эйнштейна - единственный тензорный и расхождение -свободная функция ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ и самое большее их первая и вторая частные производные.^{[1][2][3][4][5]}

Тем не менее Уравнение поля Эйнштейна это не единственное уравнение, которое удовлетворяет трем условиям:^[6]

1. Напоминать, но обобщать Уравнение гравитации Ньютона – Пуассона.
2. Применить ко всем системам координат и
3. Гарантировать локальное ковариантное сохранение энергии-импульса для любого метрического тензора.

Было предложено много альтернативных теорий, таких как Теория Эйнштейна – Картана, которые также удовлетворяют указанным выше условиям.

Смотрите также

• Физический портал

• Контрактные личности Бьянки
• Теорема Вермейля
• Математика общей теории относительности
• Ресурсы по общей теории относительности

Примечания

1. Лавлок, Д. (1971). «Тензор Эйнштейна и его обобщения». Журнал математической физики. 12 (3): 498–502. Bibcode:1971JMP .... 12..498л. Дои:10.1063/1.1665613. Архивировано из оригинал 24 февраля 2013 г.
2. Лавлок, Д. (1972). «Четырехмерность пространства и тензор Эйнштейна». Журнал математической физики. 13 (6): 874–876. Bibcode:1972JMP .... 13..874L. Дои:10.1063/1.1666069.
3. Лавлок, Д. (1969). «Единственность уравнений поля Эйнштейна в четырехмерном пространстве». Архив рациональной механики и анализа. 33 (1): 54–70. Bibcode:1969ArRMA..33 ... 54L. Дои:10.1007 / BF00248156.
4. Фархуди, М. (2009). «Тензор Лавлока как обобщенный тензор Эйнштейна». Общая теория относительности и гравитации. 41 (1): 17–29. arXiv:gr-qc / 9510060. Bibcode:2009GReGr..41..117F. Дои:10.1007 / s10714-008-0658-9.
5. Риндлер, Вольфганг (2001). Относительность: специальная, общая и космологическая. Oxford University Press. п. 299. ISBN  978-0-19-850836-6.
6. Шютц, Бернард (31 мая 2009 г.). Первый курс общей теории относительности (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п.185. ISBN  978-0-521-88705-2.

Рекомендации

• Ohanian, Hans C .; Ремо Руффини (1994). Гравитация и пространство-время (Второе изд.). W. W. Norton & Company. ISBN  978-0-393-96501-8.
• Мартин, Джон Легат (1995). Общая теория относительности: первый курс для физиков. Международная серия Prentice Hall по физике и прикладной физике (пересмотренная редакция). Prentice Hall. ISBN  978-0-13-291196-2.