Отображение Шварца – Кристоффеля - Schwarz–Christoffel mapping

В комплексный анализ, а Отображение Шварца – Кристоффеля это конформное преобразование из верхняя полуплоскость на интерьер простой многоугольник. Отображения Шварца – Кристоффеля используются в теория потенциала и некоторые из его приложений, в том числе минимальные поверхности и динамика жидкостей. Они названы в честь Элвин Бруно Кристоффель и Герман Амандус Шварц.

Определение

Рассмотрим многоугольник на комплексной плоскости. В Теорема римана отображения подразумевает, что существует биголоморфный отображение ж из верхней полуплоскости

${\displaystyle \{\zeta \in \mathbb {C} :\operatorname {Im} \zeta >0\}}$

внутрь многоугольника. Функция ж отображает действительную ось на края многоугольника. Если у многоугольника есть внутренний углы ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots }$, то это отображение имеет вид

${\displaystyle f(\zeta )=\int ^{\zeta }{\frac {K}{(w-a)^{1-(\alpha /\pi )}(w-b)^{1-(\beta /\pi )}(w-c)^{1-(\gamma /\pi )}\cdots }}\,\mathrm {d} w}$

куда ${\displaystyle K}$ это постоянный, и ${\displaystyle a<b<c<\cdots }$ - значения вдоль действительной оси ${\displaystyle \zeta }$ плоскости, точек, соответствующих вершинам многоугольника в ${\displaystyle z}$ самолет. Преобразование такой формы называется Отображение Шварца – Кристоффеля.

Интеграл можно упростить, отобразив точка в бесконечности из ${\displaystyle \zeta }$ плоскости к одной из вершин ${\displaystyle z}$ плоский многоугольник. Таким образом, первый множитель в формуле становится постоянным и может быть включен в константу. ${\displaystyle K}$. Обычно бесконечно удаленная точка отображается на вершину с углом ${\displaystyle \alpha }$.

Пример

Рассмотрим полубесконечную полосу в z самолет. Это можно рассматривать как ограничивающую форму треугольник с вершинами п = 0, Q = π я, и р (с р реальный), как р стремится к бесконечности. Сейчас же α = 0 и β = γ =^π⁄₂ в пределе. Предположим, мы ищем отображение ж с ж(−1) = Q, ж(1) = п, и ж(∞) = р. потом ж дан кем-то

${\displaystyle f(\zeta )=\int ^{\zeta }{\frac {K}{(w-1)^{1/2}(w+1)^{1/2}}}\,\mathrm {d} w.\,}$

Оценка этого интеграла дает

${\displaystyle z=f(\zeta )=C+K\operatorname {arcosh} \zeta ,}$

куда C - (комплексная) постоянная интегрирования. Требуя этого ж(−1) = Q и ж(1) = п дает C = 0 и K = 1. Следовательно, отображение Шварца – Кристоффеля задается формулой

${\displaystyle z=\operatorname {arcosh} \zeta .}$

Схема этого преобразования представлена ​​ниже.

Отображение Шварца – Кристоффеля верхней полуплоскости в полубесконечную полосу

Другие простые сопоставления

Треугольник

Отображение на самолет треугольник с внутренними углами ${\displaystyle \pi a,\,\pi b}$ и ${\displaystyle \pi (1-a-b)}$ дан кем-то

${\displaystyle z=f(\zeta )=\int ^{\zeta }{\frac {dw}{(w-1)^{1-a}(w+1)^{1-b}}},}$

что может быть выражено через гипергеометрические функции.

Квадрат

Верхняя полуплоскость отображается на квадрат формулой

${\displaystyle z=f(\zeta )=\int ^{\zeta }{\frac {\mathrm {d} w}{\sqrt {w(1-w^{2})}}}={\sqrt {2}}\,F\left({\sqrt {\zeta +1}};{\sqrt {2}}/2\right),}$

куда F неполный эллиптический интеграл первого вида.

Общий треугольник

Верхняя полуплоскость отображается в треугольник с дугами окружности для ребер Карта треугольника Шварца.

Смотрите также

• В Производная Шварца появляется в теории отображений Шварца – Кристоффеля.

Рекомендации

• Дрисколл, Тобин А .; Trefethen, Ллойд Н. (2002), Отображение Шварца – Кристоффеля, Кембриджские монографии по прикладной и вычислительной математике, 8, Издательство Кембриджского университета, Дои:10.1017 / CBO9780511546808, ISBN  978-0-521-80726-5, МИСТЕР  1908657
• Нехари, Зеев (1982) [1952], Конформное отображение, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0-486-61137-2, МИСТЕР  0045823
• Конформный гиперболический квадрат и его аналог Чемберлен Фонг, Материалы конференции Bridges Finland, 2016 г.

дальнейшее чтение

Аналог SC-маппинга, работающий также для многосвязных, представлен в: Кейс, Джеймс (2008), «Прорыв в конформном отображении» (PDF), Новости SIAM, 41 (1).

внешняя ссылка

• «Преобразование Шварца – Кристоффеля». PlanetMath.
• Набор инструментов Шварца – Кристоффеля (программное обеспечение для MATLAB )