Гипергеометрическая функция - Hypergeometric function

Термин «гипергеометрическая функция» иногда относится к обобщенная гипергеометрическая функция. По поводу других гипергеометрических функций см. Смотрите также.

В математика, гауссовский или обычный гипергеометрическая функция ₂F₁(а,б;c;z) это специальная функция представлен гипергеометрический ряд, который включает в себя множество других специальных функций, таких как специфический или предельные случаи. Это решение второго порядка линейный обыкновенное дифференциальное уравнение (ODE). Каждое линейное ОДУ второго порядка с тремя регулярные особые точки можно преобразовать в это уравнение.

Для систематических списков некоторых из многих тысяч опубликованных идентичности с гипергеометрической функцией, см. справочные работы автора Erdélyi et al. (1953) и Старый Даалхуис (2010) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFOlde_Daalhuis2010 (Помогите). Не существует известной системы для организации всех идентичностей; действительно, не существует известного алгоритма, который может генерировать все идентичности; известен ряд различных алгоритмов, которые генерируют разные серии идентификаторов. Теория алгоритмического открытия идентичностей остается активной темой исследований.

История

Термин «гипергеометрический ряд» впервые был использован Джон Уоллис в его книге 1655 года Arithmetica Infinitorum.

Гипергеометрические ряды изучались Леонард Эйлер, но первое полное систематическое лечение было проведено Карл Фридрих Гаусс  (1813 ).

Исследования девятнадцатого века включали исследования Эрнст Куммер  (1836 ), а фундаментальная характеристика Бернхард Риманн  (1857 ) гипергеометрической функции с помощью дифференциального уравнения, которому она удовлетворяет.

Риман показал, что дифференциальное уравнение второго порядка для ₂F₁(z), рассматриваемые в комплексной плоскости, могут быть охарактеризованы (на Сфера Римана ) его тремя регулярные особенности.

Случаи, когда решения алгебраические функции были найдены Герман Шварц (Список Шварца ).

Гипергеометрический ряд

Гипергеометрическая функция определена для |z| < 1 посредством степенной ряд

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

Не определено (или бесконечно), если c равно неположительному целому числу. Здесь (q)_п это (поднимается) Символ Поххаммера, который определяется:

${\displaystyle (q)_{n}={\begin{cases}1&n=0\\q(q+1)\cdots (q+n-1)&n>0\end{cases}}}$

Серия завершается, если а или б является неположительным целым числом, и в этом случае функция сводится к полиному:

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;z)=\sum _{n=0}^{m}(-1)^{n}{\binom {m}{n}}{\frac {(b)_{n}}{(c)_{n}}}z^{n}.}$

Для сложных аргументов z с |z| ≥ 1 это может быть аналитически продолжение по любому пути в комплексной плоскости, который избегает точек ветвления 1 и бесконечности.

В качестве c → −м, где м является целым неотрицательным числом, ₂F₁(z) → ∞, но если разделить на Γ (c), у нас есть предел:

${\displaystyle \lim _{c\to -m}{\frac {{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}{\Gamma (c)}}={\frac {(a)_{m+1}(b)_{m+1}}{(m+1)!}}z^{m+1}{}_{2}F_{1}(a+m+1,b+m+1;m+2;z)}$

₂F₁(z) самый обычный вид обобщенный гипергеометрический ряд _пF_q, и часто обозначается просто F(z).

Формулы дифференцирования

Используя личность ${\displaystyle (a)_{n+1}=a(a+1)_{n}}$, показано, что

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {ab}{c}}\ {}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$

и в более общем плане

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}\ {}_{2}F_{1}(a+n,b+n;c+n;z)}$

В частном случае, когда ${\displaystyle c=a+1}$, у нас есть

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;a+1;z)={\frac {d}{dz}}\ {}_{2}F_{1}(b,a;a+1;z)={\frac {a((1-z)^{-b}-{}_{2}F_{1}(a,b;1+a;z))}{z}}}$

Особые случаи

Многие из общих математических функций могут быть выражены в терминах гипергеометрической функции или как ее предельные случаи. Вот некоторые типичные примеры:

${\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}\left(1,1;2;-z\right)&={\frac {\ln(1+z)}{z}}\\_{2}F_{1}(a,b;b;z)&=(1-z)^{-a},\quad (\forall b)\\_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}};z^{2}\right)&={\frac {\arcsin(z)}{z}}\\\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}};{\frac {3}{2}};-{\frac {27x^{2}}{4}}\right)&={\frac {{\sqrt[{3}]{\frac {3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}{2}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}}}}{x{\sqrt {3}}}}\\\end{aligned}}}$

В конфлюэнтная гипергеометрическая функция (или функция Куммера) может быть задана как предел гипергеометрической функции

${\displaystyle M(a,c,z)=\lim _{b\to \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;b^{-1}z)}$

поэтому все функции, которые являются его частными случаями, например Функции Бесселя, можно выразить как пределы гипергеометрических функций. К ним относятся большинство часто используемых функций математической физики.

Функции Лежандра являются решениями дифференциального уравнения второго порядка с 3 регулярными особыми точками, поэтому их можно выразить через гипергеометрическую функцию многими способами, например

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,1-a;c;z)=\Gamma (c)z^{\tfrac {1-c}{2}}(1-z)^{\tfrac {c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z)}$

Несколько ортогональных многочленов, в том числе Многочлены Якоби п^{(α, β)}
_п и их частные случаи Полиномы Лежандра, Полиномы Чебышева, Полиномы Гегенбауэра можно записать в терминах гипергеометрических функций, используя

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,\alpha +1+\beta +n;\alpha +1;x)={\frac {n!}{(\alpha +1)_{n}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1-2x)}$

Другие полиномы, которые являются частными случаями, включают Полиномы Кравчука, Полиномы Мейкснера, Многочлены Мейкснера – Поллачека.

Эллиптические модульные функции иногда можно выразить как функции, обратные отношениям гипергеометрических функций, аргументы которых а, б, c равны 1, 1/2, 1/3, ... или 0. Например, если

${\displaystyle \tau ={\rm {i}}{\frac {{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;1-z{\bigr )}}{{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;z{\bigr )}}}}$

тогда

${\displaystyle z=\kappa ^{2}(\tau )={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}}}$

является эллиптической модулярной функцией от τ.

Неполные бета-функции B_Икс(п,q) связаны

${\displaystyle B_{x}(p,q)={\tfrac {x^{p}}{p}}{}_{2}F_{1}(p,1-q;p+1;x)}$

В полные эллиптические интегралы K и E даны

${\displaystyle K(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right)}$

${\displaystyle E(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right)}$

Гипергеометрическое дифференциальное уравнение

Гипергеометрическая функция является решением гипергеометрического дифференциального уравнения Эйлера

${\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {dw}{dz}}-ab\,w=0.}$

который имеет три регулярные особые точки: 0,1 и ∞. Обобщение этого уравнения на три произвольных регулярных особых точки дается формулой Дифференциальное уравнение Римана. Любое дифференциальное уравнение второго порядка с тремя регулярными особыми точками можно преобразовать в гипергеометрическое дифференциальное уравнение заменой переменных.

Решения в особых точках

Решения гипергеометрического дифференциального уравнения строятся из гипергеометрического ряда ₂F₁(а,б;c;z). Уравнение имеет два линейно независимый решения. В каждой из трех особых точек 0, 1, ∞ обычно есть два специальных решения вида Икс^s раз голоморфная функция Икс, где s является одним из двух корней указательного уравнения и Икс - локальная переменная, обращающаяся в нуль в регулярной особой точке. Это дает 3 × 2 = 6 специальных решений, как показано ниже.

Вокруг точки z = 0, два независимых решения есть, если c не является целым неположительным числом,

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$

и при условии, что c не целое число,

${\displaystyle z^{1-c}\,_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}$

Если c - целое неположительное число 1−м, то первого из этих решений не существует и его необходимо заменить на ${\displaystyle z^{m}F(a+m,b+m;1+m;z).}$ Второго решения не существует, когда c является целым числом больше 1 и равно первому решению или его замене, когда c любое другое целое число. Так когда c является целым числом, для второго решения необходимо использовать более сложное выражение, равное умножению первого решения на ln (z), плюс еще ряд в степенях zс участием функция дигаммы. Видеть Старый Даалхуис (2010) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFOlde_Daalhuis2010 (Помогите) для подробностей.

Около z = 1, если c − а − б не является целым числом, есть два независимых решения

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;1+a+b-c;1-z)}$

и

${\displaystyle (1-z)^{c-a-b}\;_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z)}$

Около z = ∞, если а − б не является целым числом, есть два независимых решения

${\displaystyle z^{-a}\,_{2}F_{1}\left(a,1+a-c;1+a-b;z^{-1}\right)}$

и

${\displaystyle z^{-b}\,_{2}F_{1}\left(b,1+b-c;1+b-a;z^{-1}\right).}$

Опять же, когда не выполняются условия нецелостности, существуют другие более сложные решения.

Любые 3 из 6 вышеупомянутых решений удовлетворяют линейной зависимости, поскольку пространство решений двумерно, что дает (⁶
₃) = 20 линейных отношений между ними, называемых формулы подключения.

24 решения Куммера

Второй заказ Фуксово уравнение с п Особые точки имеют группу симметрий, действующих (проективно) на ее решениях, изоморфных Группа Кокстера D_п порядка п!2^п−1. Для гипергеометрического уравнения п= 3, поэтому группа имеет порядок 24 и изоморфна симметрической группе в 4 точках и была впервые описана формулойКуммер. Изоморфизм с симметрической группой является случайным и не имеет аналога для более чем трех особых точек, и иногда лучше думать о группе как о расширении симметрической группы на трех точках (действующей как перестановки трех особых точек) посредством а Кляйн 4-группа (элементы которого меняют знаки разности показателей в четном числе особых точек). Группа Куммера из 24 преобразований порождается тремя преобразованиями, принимающими решение F(а,б;c;z) одному из

${\displaystyle (1-z)^{-a}F\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)}$

${\displaystyle F(a,b;1+a+b-c;1-z)}$

${\displaystyle (1-z)^{-b}F\left(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)}$

которые соответствуют транспозициям (12), (23) и (34) при изоморфизме с симметрической группой в 4 точках 1, 2, 3, 4. (Первая и третья из них фактически равны F(а,б;c;z), тогда как второй является независимым решением дифференциального уравнения.)

Применение преобразований Куммера 24 = 6 × 4 к гипергеометрической функции дает приведенные выше решения 6 = 2 × 3, соответствующие каждому из 2 возможных показателей в каждой из 3 особых точек, каждая из которых появляется 4 раза из-за тождеств

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z)\ \ \ {\text{Euler transformation}}}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-a}\,{}_{2}F_{1}(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}})\ \ \ {\text{Pfaff transformation}}}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}})\ \ \ {\text{Pfaff transformation}}}$

Q-форма

Гипергеометрическое дифференциальное уравнение можно привести к Q-форме

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+Q(z)u(z)=0}$

сделав замену ш = УФ и исключая член первой производной. Считается, что

${\displaystyle Q={\frac {z^{2}[1-(a-b)^{2}]+z[2c(a+b-1)-4ab]+c(2-c)}{4z^{2}(1-z)^{2}}}}$

и v дается решением

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log v(z)=-{\frac {c-z(a+b+1)}{2z(1-z)}}=-{\frac {c}{2z}}-{\frac {1+a+b-c}{2(z-1)}}}$

который

${\displaystyle v(z)=z^{-c/2}(1-z)^{(c-a-b-1)/2}.}$

Q-форма важна по отношению к Производная Шварца (Хилле 1976 С. 307–401).

Карты треугольника Шварца

Смотрите также: Функция треугольника Шварца

В Карты треугольника Шварца или Шварц s-функции - отношения пар решений.

${\displaystyle s_{k}(z)={\frac {\phi _{k}^{(1)}(z)}{\phi _{k}^{(0)}(z)}}}$

где k является одной из точек 0, 1, ∞. Обозначение

${\displaystyle D_{k}(\lambda ,\mu ,\nu ;z)=s_{k}(z)}$

также иногда используется. Обратите внимание, что коэффициенты связи становятся Преобразования Мебиуса на треугольных картах.

Обратите внимание, что каждая карта треугольника обычный в z ∈ {0, 1, ∞} соответственно, причем

${\displaystyle s_{0}(z)=z^{\lambda }(1+{\mathcal {O}}(z))}$

${\displaystyle s_{1}(z)=(1-z)^{\mu }(1+{\mathcal {O}}(1-z))}$

и

${\displaystyle s_{\infty }(z)=z^{\nu }(1+{\mathcal {O}}({\tfrac {1}{z}})).}$

В частном случае вещественных λ, μ и ν, где 0 ≤ λ, μ, ν <1, s-отображения конформные карты из верхняя полуплоскость ЧАС к треугольникам на Сфера Римана, ограниченный дугами окружности. Это отображение обобщение из Отображение Шварца – Кристоффеля в треугольники с дугами окружности. Особые точки 0,1 и ∞ отправлены в вершины треугольника. Углы треугольника равны πλ, πμ и πν соответственно.

Кроме того, в случае λ = 1 /п, μ = 1 /q и ν = 1 /р для целых чисел п, q, р, то треугольник покрывает сферу, комплексную плоскость или верхнюю полуплоскость в зависимости от того, является ли λ + μ + ν - 1 положительным, нулевым или отрицательным; а s-отображения являются обратными функциями автоморфные функции для группа треугольников 〈п, q, р〉 = Δ (п, q, р).

Группа монодромии

Монодромия гипергеометрического уравнения описывает, как фундаментальные решения меняются при аналитическом продолжении по путям в z плоскости, которые возвращаются в ту же точку, то есть когда путь петляет вокруг сингулярности ₂F₁, значение решений в конечной точке будет отличаться от начальной.

Два фундаментальных решения гипергеометрического уравнения связаны друг с другом линейным преобразованием; таким образом, монодромия - это отображение (гомоморфизм групп):

${\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {C} \setminus \{0,1\},z_{0})\to {\text{GL}}(2,\mathbf {C} )}$

где π₁ это фундаментальная группа. Другими словами, монодромия - это двумерное линейное представление фундаментальной группы. В группа монодромии уравнения является образом этой карты, т. е. группой, порожденной матрицами монодромии. Представление монодромии фундаментальной группы можно явно вычислить в терминах показателей в особых точках.^[1] Если (α, α '), (β, β') и (γ, γ ') - показатели в точках 0, 1 и ∞, то, взяв z₀ вблизи 0 петли вокруг 0 ​​и 1 имеют матрицы монодромии

${\displaystyle g_{0}={\begin{pmatrix}e^{2\pi i\alpha }&0\\0&e^{2\pi i\alpha ^{\prime }}\end{pmatrix}}\,\,\,}$ и ${\displaystyle \,\,\,g_{1}={\begin{pmatrix}{\mu e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }} \over \mu -1}&{\mu (e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }}) \over (\mu -1)^{2}}\\e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e^{2\pi i\beta }&{\mu e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e^{2\pi i\beta } \over \mu -1}\end{pmatrix}},}$

где

${\displaystyle \mu ={\sin \pi (\alpha +\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta +\gamma ^{\prime }) \over \sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha +\beta +\gamma ^{\prime })}.}$

Если 1-а, c-а-б, а-б - нецелые рациональные числа со знаминателями k,л,м то группа монодромии конечна тогда и только тогда, когда ${\displaystyle 1/k+1/l+1/m>1}$, увидеть Список Шварца или Алгоритм Ковачича.

Интегральные формулы

Тип Эйлера

Если B это бета-функция тогда

${\displaystyle \mathrm {B} (b,c-b)\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\int _{0}^{1}x^{b-1}(1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a}\,dx\qquad \Re (c)>\Re (b)>0,}$

при условии, что z не является действительным числом, так что оно больше или равно 1. и может быть доказано путем разложения (1 -zx)^−а используя биномиальную теорему и затем почленно интегрировав z с абсолютным значением меньше 1 и аналитическим продолжением в другом месте. Когда z является действительным числом, большим или равным 1, необходимо использовать аналитическое продолжение, потому что (1 -zx) равен нулю в некоторой точке носителя интеграла, поэтому значение интеграла может быть некорректно определено. Это было дано Эйлером в 1748 году и подразумевает гипергеометрические преобразования Эйлера и Пфаффа.

Другие представления, соответствующие другим ветви, задаются тем же подынтегральным выражением, но путем интегрирования замыкается Цикл Поххаммера включение особенностей в различном порядке. Такие пути соответствуют монодромия действие.

Интеграл Барнса

Барнс использовал теорию остатки оценить Интеграл Барнса

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (-s)}{\Gamma (c+s)}}(-z)^{s}\,ds}$

так как

${\displaystyle {\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (c)}}\,_{2}F_{1}(a,b;c;z),}$

где проведен контур для отделения полюсов 0, 1, 2 ... от полюсов -а, −а − 1, ..., −б, −б - 1, .... Это справедливо до тех пор, пока z не является неотрицательным действительным числом.

Джон трансформация

Гипергеометрическую функцию Гаусса можно записать как Джон трансформация (Гельфанд, Гиндикин и Граев 2003, 2.1.2).

Смежные отношения Гаусса

Шесть функций

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a\pm 1,b;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b\pm 1;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b;c\pm 1;z)}$

называются смежными с ₂F₁(а, б; c; z). Гаусс показал, что ₂F₁(а, б; c; z) может быть записана как линейная комбинация любых двух смежных функций с рациональными коэффициентами в терминах а, б, c, и z. Это дает

${\displaystyle {\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}}=15}$

отношения, заданные путем определения любых двух строк в правой части

${\displaystyle {\begin{aligned}z{\frac {dF}{dz}}&=z{\frac {ab}{c}}F(a+,b+,c+)\\&=a(F(a+)-F)\\&=b(F(b+)-F)\\&=(c-1)(F(c-)-F)\\&={\frac {(c-a)F(a-)+(a-c+bz)F}{1-z}}\\&={\frac {(c-b)F(b-)+(b-c+az)F}{1-z}}\\&=z{\frac {(c-a)(c-b)F(c+)+c(a+b-c)F}{c(1-z)}}\end{aligned}}}$

где F = ₂F₁(а, б; c; z), F(а+) = ₂F₁(а + 1, б; c; z), и так далее. Повторное применение этих соотношений дает линейную зависимость над C(z) между любыми тремя функциями формы

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a+m,b+n;c+l;z),}$

где м, п, и л целые числа.

Непрерывная дробь Гаусса

Основная статья: Непрерывная дробь Гаусса

Гаусс использовал отношения смежности, чтобы дать несколько способов записать частное двух гипергеометрических функций в виде непрерывной дроби, например:

${\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

Формулы преобразования

Формулы преобразования связывают две гипергеометрические функции при разных значениях аргумента z.

Дробно-линейные преобразования

Преобразование Эйлера есть

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z).}$

Отсюда следует объединение двух преобразований Пфаффа

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}{}_{2}F_{1}\left(b,c-a;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-a}{}_{2}F_{1}\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)}$

которые, в свою очередь, следуют из интегрального представления Эйлера. О расширении первого и второго преобразований Эйлера см. Рати и Пэрис (2007) и Ракха и Рати (2011).Его также можно записать как линейную комбинацию

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c,z)={}&{\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}}{}_{2}F_{1}(a,b;a+b+1-c;1-z)\\[6pt]&{}+{\frac {\Gamma (c)\Gamma (a+b-c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z).\end{aligned}}}$

Квадратичные преобразования

Если два числа 1 -c, c − 1, а − б, б − а, а + б − c, c − а − б равны или одно из них 1/2, то есть квадратичное преобразование гипергеометрической функции, связав ее с другим значением z связаны квадратным уравнением. Первые примеры были приведены Куммер (1836), а полный список дал Гурса (1881). Типичный пример:

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;2b;z)=(1-z)^{-{\frac {a}{2}}}{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}}a,b-{\tfrac {1}{2}}a;b+{\tfrac {1}{2}};{\frac {z^{2}}{4z-4}}\right)}$

Преобразования высшего порядка

Если 1−c, а−б, а+б−c различаются знаками, или два из них равны 1/3 или −1/3, то есть кубическое преобразование гипергеометрической функции, связав ее с другим значением z связаны кубическим уравнением. Первые примеры были приведены Гурса (1881). Типичный пример:

${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {3}{2}}a,{\tfrac {1}{2}}(3a-1);a+{\tfrac {1}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{3}}\right)=(1+z)^{1-3a}\,{}_{2}F_{1}\left(a-{\tfrac {1}{3}},a;2a;2z(3+z^{2})(1+z)^{-3}\right)}$

Есть также некоторые преобразования степени 4 и 6. Преобразования других степеней существуют только в том случае, если а, б, и c некоторые рациональные числа (Видунас 2005 ). Например,

${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{8}};{\tfrac {7}{8}};z\right)(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{1/16}={}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{48}},{\tfrac {17}{48}};{\tfrac {7}{8}};{\tfrac {-432z(z-1)^{2}(z+1)^{8}}{(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{3}}}\right).}$

Ценности в особых точках z

Видеть Слейтер (1966, Приложение III) для списка формул суммирования в особых точках, большинство из которых также фигурируют в Бейли (1935). Гессель и Стэнтон (1982) дает дальнейшие оценки по большему количеству точек. Кёпф (1995) показывает, как большинство этих личностей можно проверить с помощью компьютерных алгоритмов.

Особые ценности в z = 1

Теорема суммирования Гаусса, названная в честь Карл Фридрих Гаусс, это тождество

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\qquad \Re (c)>\Re (a+b)}$

что следует из интегральной формулы Эйлера, если положить z = 1. Он включает Личность Вандермонда как частный случай.

Для особого случая, когда ${\displaystyle a=-m}$,

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;1)={\frac {(c-b)_{m}}{(c)_{m}}}}$

Формула Дугалла обобщает это на двусторонний гипергеометрический ряд в z = 1.

Теорема Куммера (z = −1)

Во многих случаях гипергеометрические функции могут быть оценены на z = −1, используя квадратичное преобразование для изменения z = −1 до z = 1, а затем используя теорему Гаусса для оценки результата. Типичный пример - теорема Куммера, названная в честь Эрнст Куммер:

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;-1)={\frac {\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a-b)}}}$

которое следует из квадратичных преобразований Куммера

${\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;z)&=(1-z)^{-a}\;_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {1+a}{2}}-b;1+a-b;-{\frac {4z}{(1-z)^{2}}}\right)\\&=(1+z)^{-a}\,_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {a+1}{2}};1+a-b;{\frac {4z}{(1+z)^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

и теорему Гаусса, положив z = −1 в первом тождестве. Обобщение суммирования Куммера см. Лавуа, Грондин и Рати (1996).

Ценности на z = 1/2

Вторая теорема Гаусса о суммировании:

${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right);{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+b\right))}}.}$

Теорема Бейли

${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}c)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c-a\right))}}.}$

Об обобщениях второй теоремы суммирования Гаусса и теоремы суммирования Бейли см. Лавуа, Грондин и Рати (1996).

Прочие моменты

Есть много других формул, дающих гипергеометрическую функцию как алгебраическое число при специальных рациональных значениях параметров, некоторые из которых перечислены в Гессель и Стэнтон (1982) и Кёпф (1995). Некоторые типичные примеры приведены

${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{4(x-1)}}\right)={\frac {(1-x)^{a}+(1-x)^{-a}}{2}},}$

который можно переформулировать как

${\displaystyle T_{a}(\cos x)={}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-\cos x)\right)=\cos(ax)}$

всякий раз, когда −π < Икс <π и Т является (обобщенным) Полином Чебышева.

Смотрите также

• Серия Appell, 2-переменное обобщение гипергеометрического ряда
• Базовый гипергеометрический ряд где соотношение членов является периодической функцией индекса
• Двусторонний гипергеометрический ряд _пЧАС_п похожи на обобщенные гипергеометрические ряды, но суммируются по всем целым числам
• Биномиальный ряд ₁F₀
• Конфлюэнтный гипергеометрический ряд ₁F₁(а;c;z)
• Эллиптический гипергеометрический ряд где отношение членов является эллиптической функцией индекса
• Гипергеометрический интеграл Эйлера, интегральное представление ₂F₁
• Фокс H-функция, расширение G-функции Мейера
• Функция Фокса – Райта, обобщение обобщенная гипергеометрическая функция
• Решение Фробениуса гипергеометрического уравнения
• Общая гипергеометрическая функция представлен И. М. Гельфанд.
• Обобщенный гипергеометрический ряд _пF_q где соотношение членов является рациональной функцией индекса
• Геометрическая серия, где соотношение слагаемых - постоянная
• Функция Гойна, решения ОДУ второго порядка с четырьмя регулярными особыми точками
• Функция рожка, 34 различных сходящихся гипергеометрических ряда от двух переменных
• Серия Гумберта 7 гипергеометрических функций от 2-х переменных
• Гипергеометрическое распределение, дискретное распределение вероятностей
• Гипергеометрическая функция матричного аргумента, многомерное обобщение гипергеометрического ряда
• Функция Кампе де Ферие, гипергеометрический ряд двух переменных
• Лауричелла гипергеометрический ряд, гипергеометрический ряд трех переменных
• МакРоберт E-функция, расширение обобщенного гипергеометрического ряда _пF_q к делу п>q+1.
• G-функция Мейера, расширение обобщенного гипергеометрического ряда _пF_q к делу п>q+1.
• Модульный гипергеометрический ряд, конечная форма эллиптического гипергеометрического ряда
• Тета-гипергеометрический ряд - особый вид эллиптических гипергеометрических рядов.
• Конформные блоки Вирасоро, специальные функции в двумерная конформная теория поля которые в некоторых случаях сводятся к гипергеометрическим функциям.

Рекомендации

1. 1944 г., стр. 393–393

• Эндрюс, Джордж Э.; Аски, Ричард и Рой, Ранджан (1999). Специальные функции. Энциклопедия математики и ее приложений. 71. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-62321-6. Г-Н  1688958.
• Бейли, W.N. (1935). Обобщенный гипергеометрический ряд (PDF). Издательство Кембриджского университета. Архивировано из оригинал (PDF) на 2017-06-24. Получено 2016-07-23.
• Beukers, Frits (2002), Гипергеометрическая функция Гаусса. (конспекты лекций с обзором основ, а также карты треугольников и монодромия)
• Olde Daalhuis, Адри Б. (2010), «Гипергеометрическая функция», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, Г-Н  2723248
• Эрдели, Артур; Магнус, Вильгельм; Оберхеттингер, Фриц и Трикоми, Франческо Г. (1953). Высшие трансцендентные функции (PDF). Vol. I. Нью-Йорк - Торонто - Лондон: McGraw – Hill Book Company, Inc. ISBN  978-0-89874-206-0. Г-Н  0058756.
• Гаспер, Джордж и Рахман, Мизан (2004). Базовая гипергеометрическая серия, 2-е издание, Энциклопедия математики и ее приложений, 96, Cambridge University Press, Кембридж. ISBN  0-521-83357-4.
• Гаусс, Карл Фридрих (1813). "Общие исследования серии бесконечных" ${\displaystyle 1+{\tfrac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}~x+{\tfrac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}~x~x+{\mbox{etc.}}}$". Комментарии societatis regiae scientificarum Gottingensis Recentiores (на латыни). Гёттинген. 2.
• Гельфанд, И. М .; Гиндикин С.Г., Граев М.И. (2003) [2000]. Избранные темы интегральной геометрии. Переводы математических монографий. 220. Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-2932-5. Г-Н  2000133.
• Гессель, Ира и Стэнтон, Деннис (1982). «Странные оценки гипергеометрических рядов». Журнал SIAM по математическому анализу. 13 (2): 295–308. Дои:10.1137/0513021. ISSN  0036-1410. Г-Н  0647127.
• Гурса, Эдуард (1881). "Sur l'équation différentielle linéaire, qui admet pour intégrale la série hypergéométrique". Научные Анналы Высшей Нормальной Школы (Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure) (На французском). 10: 3–142. Получено 2008-10-16.
• Хекман, Геррит и Шлихткрулл, Хенрик (1994). Гармонический анализ и специальные функции на симметричных пространствах. Сан-Диего: Academic Press. ISBN  0-12-336170-2. (часть 1 посвящена гипергеометрическим функциям на группах Ли)
• Хилле, Эйнар (1976). Обыкновенные дифференциальные уравнения в комплексной области. Дувр. ISBN  0-486-69620-0.
• Инс, Э. (1944). Обыкновенные дифференциальные уравнения.. Dover Publications.
• Кляйн, Феликс (1981). Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (на немецком языке). 39. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-10455-1. Г-Н  0668700.
• Кёпф, Вольфрам (1995). «Алгоритмы m-кратного гипергеометрического суммирования». Журнал символических вычислений. 20 (4): 399–417. Дои:10.1006 / jsco.1995.1056. ISSN  0747-7171. Г-Н  1384455.
• Куммер, Эрнст Эдуард (1836). "Über die hypergeometrische Reihe${\displaystyle 1+{\tfrac {\alpha \cdot \beta }{1\cdot \gamma }}~x+{\tfrac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}x^{2}+{\tfrac {\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)\beta (\beta +1)(\beta +2)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \gamma (\gamma +1)(\gamma +2)}}x^{3}+{\mbox{etc.}}}$". Журнал für die reine und angewandte Mathematik (на немецком). 15: 39–83, 127–172. ISSN  0075-4102.
• Lavoie, J. L .; Grondin, F .; Рати, А. (1996). "Обобщения теоремы Уиппла о сумме ₃F₂". J. Comput. Appl. Математика. 72: 293–300.
• Press, W.H .; Теукольский, С.А .; Веттерлинг, W.T. и Flannery, B.P. (2007). «Раздел 6.13. Гипергеометрические функции». Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-88068-8.
• Rakha, M.A .; Рати, Арджун К. (2011). «Расширения преобразования Эйлера типа II и теоремы Заальшуца». Бык. Корейская математика. Soc. 48 (1): 151–156.
• Рати, Арджун К .; Париж, РБ (2007). «Расширение преобразования типа Эйлера для ряда 3F2». Дальний Восток J. Math. Наука. 27 (1): 43–48.
• Риман, Бернхард (1857). "Beiträge zur Theorie der durch die Gauss'sche Reihe F (α, β, γ, x) дарстеллбарен Функционен ". Abhandlungen der Mathematischen Classe der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (на немецком). Геттинген: Verlag der Dieterichschen Buchhandlung. 7: 3–22. (перепечатку этой статьи можно найти в «Все публикации Римана» (PDF).)
• Слейтер, Люси Джоан (1960). Конфлюэнтные гипергеометрические функции. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. Г-Н  0107026.
• Слейтер, Люси Джоан (1966). Обобщенные гипергеометрические функции. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-06483-X. Г-Н  0201688. (есть мягкая обложка 2008 года с ISBN  978-0-521-09061-2)
• Видунас, Раймундас (2005). «Преобразования некоторых гипергеометрических функций Гаусса». Журнал символических вычислений. 178: 473–487. arXiv:математика / 0310436. Дои:10.1016 / j.cam.2004.09.053.
• Wall, H.S. (1948). Аналитическая теория непрерывных дробей. D. Van Nostrand Company, Inc.
• Уиттакер, E.T. & Уотсон, Г. (1927). Курс современного анализа. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета.
• Ёсида, Масааки (1997). Гипергеометрические функции, моя любовь: модульные интерпретации конфигурационных пространств. Брауншвейг - Висбаден: Фридр. Vieweg & Sohn. ISBN  3-528-06925-2. Г-Н  1453580.

внешняя ссылка

• «Гипергеометрическая функция», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Джон Пирсон, Вычисление гипергеометрических функций. (Оксфордский университет, Кандидатская диссертация)
• Марко Петковсек, Герберт Вильф и Дорон Цайльбергер, Книга "А = Б" (загружается бесплатно)
• Вайсштейн, Эрик В. «Гипергеометрическая функция». MathWorld.