Полупервичное кольцо - Semiprime ring

А Диаграмма Хассе части решетки идеалов целых чисел Z. Пурпурные и зеленые узлы указывают на полупервичные идеалы. Фиолетовые узлы главные идеалы, а фиолетовые и синие узлы - основные идеалы.

В теория колец, раздел математики, полупервичный идеалы и полупервичный кольца являются обобщениями главные идеалы и основные кольца. В коммутативная алгебра, полупервичные идеалы также называют радикальные идеалы.

Например, в ринге целые числа, полупервичные идеалы - это нулевой идеал вместе с идеалами вида ${displaystyle nmathbb {Z} }$ где п это целое число без квадратов. Так, ${displaystyle 30mathbb {Z} }$ является полупервичным идеалом целых чисел (поскольку 30 = 2 × 3 × 5, без повторяющихся простых множителей), но ${displaystyle 12mathbb {Z} ,}$ нет (потому что 12 = 2² × 3, с повторяющимся простым множителем).

Класс полупервичных колец включает полупримитивные кольца, основные кольца и уменьшенные кольца.

Большинство определений и утверждений в этой статье представлены в (Лам 1999 ) и (Лам 2001 ).

Определения

Для коммутативного кольца р, настоящий идеал А это полупервичный идеал если А удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

• Если Икс^k в А для некоторого положительного целого числа k и элемент Икс из р, тогда Икс в А.
• Если у в р но не в А, все положительные целые степени у не в А.

Последнее условие «замкнутости дополнения по степеням» аналогично тому, что дополнения к простым идеалам замкнуты относительно умножения.

Как и в случае с простыми идеалами, он распространяется на некоммутативные кольца «идеально». Следующие условия являются эквивалентными определениями полупервичного идеала А в кольце р:

• Для любого идеала J из р, если J^k⊆А для положительного натурального числа k, тогда J⊆А.
• Для любого верно идеальный J из р, если J^k⊆А для положительного натурального числа k, тогда J⊆А.
• Для любого оставили идеальный J из р, если J^k⊆А для положительного натурального числа k, тогда J⊆А.
• Для любого Икс в р, если xRx⊆А, тогда Икс в А.

Здесь снова имеется некоммутативный аналог простых идеалов как дополнений к м-системы. Непустое подмножество S кольца р называется n-система если для любого s в S, существует р в р такой, что srs в S. С этим понятием, к приведенному выше списку может быть добавлен дополнительный эквивалентный пункт:

• рА это n-система.

Кольцо р называется полупервичное кольцо если нулевой идеал - полупервичный идеал. В коммутативном случае это эквивалентно р будучи уменьшенное кольцо, поскольку р не имеет ненулевых нильпотентных элементов. В некоммутативном случае кольцо просто не имеет ненулевых правых нильпотентных идеалов. Итак, хотя редуцированное кольцо всегда полупервично, обратное неверно.^[1]

Общие свойства полупервичных идеалов

Для начала ясно, что простые идеалы полупервичные, а для коммутативных колец полупервичные первичный идеал простое.

Хотя пересечение простых идеалов обычно не является простым, оно является полупервичный идеал. Вскоре будет показано, что верно и обратное, что каждый полупервичный идеал является пересечением семейства простых идеалов.

Для любого идеала B в кольце р, мы можем сформировать следующие множества:

${displaystyle {sqrt {B}}:=igcap {Psubseteq Rmid Bsubseteq P,P{mbox{ a prime ideal}}}subseteq {xin Rmid x^{n}in B{mbox{ for some }}nin mathbb {N} ^{+}},}$

Набор ${displaystyle {sqrt {B}}}$ это определение радикал B и, очевидно, является полупервичным идеалом, содержащим B, и фактически является наименьшим полупервичным идеалом, содержащим B. Приведенное выше включение иногда бывает правильным в общем случае, но для коммутативных колец оно становится равенством.

При таком определении идеальный А полупервично тогда и только тогда, когда ${displaystyle {sqrt {A}}=A}$. Здесь также очевидно, что каждый полупервичный идеал на самом деле является пересечением семейства первичных идеалов. Более того, это показывает, что пересечение любых двух полупервичных идеалов снова полупервично.

По определению р полупервично тогда и только тогда, когда ${displaystyle {sqrt {{0}}}={0}}$, то есть пересечение всех простых идеалов равно нулю. Этот идеал ${displaystyle {sqrt {{0}}}}$ также обозначается ${displaystyle Nil_{*}(R),}$ а также называется Бэр нижний нильрадикал или Радикал Бэра-Маккой или главный радикал из р.

Кольца Semiprime Goldie

Основная статья: Теорема Голди

Право Кольцо Goldie кольцо, имеющее конечные единый размер (также называемый конечный ранг) как правый модуль над собой и удовлетворяет условие возрастающей цепи на правом аннигиляторы его подмножеств. Теорема Голди заявляет, что полупервичный правильные кольца Goldie - это именно те, которые имеют полупростой Артиниан верно классическое кольцо частных. В Теорема Артина – Веддерберна затем полностью определяет структуру этого кольца частных.

Рекомендации

1. Полное кольцо матриц размером два на два над полем полупервично с ненулевыми нильпотентными элементами.

• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам, Тексты для выпускников по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-98428-5, Г-Н  1653294
• Лам, Т. Ю. (2001), Первый курс некоммутативных колец, Тексты для выпускников по математике, 131 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. Xx + 385, ISBN  978-0-387-95183-6, Г-Н  1838439

внешняя ссылка

• Статья в PlanetMath о полупервичных идеалах