Сорт Севери – Брауэра - Severi–Brauer variety

В математика, а Сорт Севери – Брауэра через поле K является алгебраическое многообразие V который становится изоморфный к проективное пространство над алгебраическое замыкание из K. Сорта связаны с центральные простые алгебры таким образом, что алгебра распадается на K тогда и только тогда, когда многообразие имеет точку, рациональную над K.^[1] Франческо Севери  (1932 ) изучили эти разновидности, и они также названы в честь Ричард Брауэр из-за их близкого отношения к Группа Брауэра.

В размерности один многообразия Севери – Брауэра являются коники. Соответствующие центральные простые алгебры - это кватернионные алгебры. Алгебра (а,б)_K соответствует конической C(а,б) с уравнением

${\displaystyle z^{2}=ax^{2}+by^{2}\ }$

и алгебра (а,б)_K раскол, то есть, (а,б)_K изоморфен матричная алгебра над K, если и только если C(а,б) имеет точку, определенную над K: это, в свою очередь, эквивалентно C(а,б), изоморфный проективная линия над K.^[1][2]

Такие сорта интересны не только в диофантова геометрия, но и в Когомологии Галуа. Они представляют (по крайней мере, если K это идеальное поле ) Классы когомологий Галуа вЧАС¹(PGL_п),куда PGL_пэто проективная линейная группа, и п это измерение разнообразия V. Существует короткая точная последовательность

1 → GL₁ → GL_п → PGL_п → 1

из алгебраические группы. Это означает связывающий гомоморфизм

ЧАС¹(PGL_п) → ЧАС²(GL₁)

на уровне когомологий. Здесь ЧАС²(GL₁) отождествляется с Группа Брауэра из K, а ядро ​​тривиально, потому чтоЧАС¹(GL_п) = {1} расширением Теорема Гильберта 90.^[3][4] Следовательно, многообразия Севери – Брауэра могут быть точно представлены элементами группы Брауэра, т.е. классами центральные простые алгебры.

Лихтенбаум показал, что если Икс является многообразием Севери – Брауэра над K тогда есть точная последовательность

${\displaystyle 0\rightarrow \mathrm {Pic} (X)\rightarrow \mathbb {Z} {\stackrel {\delta }{\rightarrow }}\mathrm {Br} (K)\rightarrow \mathrm {Br} (K)/(X)\rightarrow 0\ .}$

Здесь отображение δ переводит 1 в класс Брауэра, соответствующий Икс.^[2]

Как следствие, мы видим, что если класс Икс есть заказ d в группе Брауэра имеется класс делителя степени d на Икс. Связанный линейная система определяет d-мерное вложение Икс над полем расщепления L.^[5]

Смотрите также

• проективный пучок

Примечание

1. Джейкобсон (1996) стр.113
2. Гилле и Самуэли (2006) стр.129
3. Гилле и Самуэли (2006), стр.26
4. Бергюи, Грегори (2010), Введение в когомологии Галуа и их приложения, Серия лекций Лондонского математического общества, 377, Издательство Кембриджского университета, п. 113, ISBN  0-521-73866-0, Zbl  1207.12003
5. Гилле и Самуэли (2006) стр.131

Рекомендации

• Артин, Майкл (1982), "Разновидности Брауэра-Севери", Группы Брауэра в теории колец и алгебраической геометрии (Wilrijk, 1981), Конспект лекций по математике, 917, Примечания А. Вершорена, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 194–210, Дои:10.1007 / BFb0092235, ISBN  978-3-540-11216-7, МИСТЕР  0657430, Zbl  0536.14006
• «Сорт Брауэра – Севери», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Жиль, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006), «Разновидности Севери – Брауэра», Центральные простые алгебры и когомологии Галуа, Кембриджские исследования по высшей математике, 101, Издательство Кембриджского университета, стр. 114–134, ISBN  0-521-86103-9, МИСТЕР  2266528, Zbl  1137.12001
• Джейкобсон, Натан (1996), Конечномерные алгебры с делением над полями, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  3-540-57029-2, Zbl  0874.16002
• Солтман, Дэвид Дж. (1999), Лекции по алгебрам с делением, Серия региональных конференций по математике, 94, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN  0-8218-0979-2, Zbl  0934.16013
• Севери, Франческо (1932), "Un nuovo campo di ricerche nella geometria sopra una superficie e sopra una varietà algebrica", Memorie della Reale Accademia d'Italia (на итальянском), 3 (5), перепечатанный в томе 3 его собрания сочинений

дальнейшее чтение

• Кнус, Макс-Альберт; Меркурьев Александр; Рост, Маркус; Тиньоль, Жан-Пьер (1998), Книга инволюций, Публикации коллоквиума, 44, С предисловием Дж. Титса, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN  0-8218-0904-0, МИСТЕР  1632779, Zbl  0955.16001

внешняя ссылка

• Разъяснительная статья о спуске Галуа (PDF)