Алгебраическое многообразие - Algebraic variety

Эта статья об алгебраических многообразиях. Относительно термина «многообразие алгебр» см. Разнообразие (универсальная алгебра).

В витая кубическая является проективным алгебраическим многообразием.

Алгебраические многообразия являются центральными объектами изучения в алгебраическая геометрия, подполе математика. Классически алгебраическое многообразие определяется как набор решений из система полиномиальных уравнений над настоящий или же сложные числа. Современные определения обобщают эту концепцию несколькими способами, пытаясь сохранить геометрическую интуицию, лежащую в основе исходного определения.^[1]:58

Соглашения относительно определения алгебраического многообразия немного различаются. Например, некоторые определения требуют, чтобы алгебраическое многообразие было неприводимым, что означает, что это не союз двух меньших наборы которые закрыто в Топология Зарисского. В соответствии с этим определением неприводимые алгебраические многообразия называются алгебраические множества. Другие соглашения не требуют сводимости.

В основная теорема алгебры устанавливает связь между алгебра и геометрия показывая, что монический многочлен (алгебраический объект) по одной переменной с комплексными числовыми коэффициентами определяется набором ее корни (геометрический объект) в комплексная плоскость. Обобщая этот результат, Nullstellensatz Гильберта обеспечивает фундаментальное соответствие между идеалами кольца многочленов и алгебраические множества. С использованием Nullstellensatz и связанных результатов, математики установили строгое соответствие между вопросами алгебраических множеств и вопросами теория колец. Это соответствие является определяющей чертой алгебраической геометрии.

Многие алгебраические многообразия коллекторы, но алгебраическое многообразие может иметь особые точки в то время как коллектор не может. Алгебраические многообразия можно охарактеризовать измерение. Алгебраические многообразия размерности один называются алгебраические кривые а алгебраические многообразия размерности два называются алгебраические поверхности.

В контексте современного схема теории алгебраическое многообразие над полем - это интегральная (неприводимая и редуцированная) схема над этим полем, структурный морфизм разделен и имеет конечный тип.

Обзор и определения

An аффинное разнообразие над алгебраически замкнутое поле концептуально является наиболее простым для определения типом разнообразия, что и будет сделано в этом разделе. Далее аналогичным образом можно определить проективные и квазипроективные многообразия. Наиболее общее определение многообразия получается путем склеивания меньших квазипроективных многообразий. Не очевидно, что таким способом можно построить действительно новые образцы многообразий, но Нагата привел пример такого нового сорта в 1950-х годах.

Аффинные разновидности

Основная статья: Аффинное разнообразие

Для алгебраически замкнутого поля K и натуральное число п, позволять А^п быть аффинный п-Космос над K. Полиномы  ж  в ринге K[Икс₁, ..., Икс_п] можно рассматривать как K-значные функции на А^п оценивая  ж  в точках А^п, т.е. выбирая значения в K для каждого Икс_я. Для каждого набора S многочленов от K[Икс₁, ..., Икс_п], определим нулевой геометрический Z(S) как множество точек в А^п на котором функции в S одновременно исчезают, то есть

${\displaystyle Z(S)=\left\{x\in \mathbf {A} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ for all }}f\in S\right\}.}$

Подмножество V из А^п называется аффинное алгебраическое множество если V = Z(S) для некоторых S.^[1]:2 Непустое аффинное алгебраическое множество V называется несводимый если это не может быть записано как объединение двух правильный алгебраические подмножества.^[1]:3 Неприводимое аффинное алгебраическое множество также называется аффинное разнообразие.^[1]:3 (Многие авторы используют фразу аффинное разнообразие для обозначения любого аффинного алгебраического множества, неприводимого или нет^{[примечание 1]})

Аффинным разновидностям можно дать естественная топология объявив закрытые наборы быть в точности аффинными алгебраическими множествами. Эта топология называется топологией Зарисского.^[1]:2

Учитывая подмножество V из А^п, мы определяем я(V) быть идеалом всех полиномиальных функций, обращающихся в нуль на V:

${\displaystyle I(V)=\left\{f\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]\mid f(x)=0{\text{ for all }}x\in V\right\}.}$

Для любого аффинного алгебраического множества V, то координатное кольцо или же структурное кольцо из V это частное кольца многочленов этим идеалом.^[1]:4

Проективные многообразия и квазипроективные многообразия

Основные статьи: Проективное разнообразие и Квазипроективное многообразие

Позволять k - алгебраически замкнутое поле и пусть п^п быть проективный п-Космос над k. Позволять  ж  в k[Икс₀, ..., Икс_п] быть однородный многочлен степени d. Нет четкого определения для оценки  ж  по пунктам в п^п в однородные координаты. Однако, поскольку  ж  однородна, что означает, что  ж  (λx₀, ..., λx_п) = λ^d ж  (Икс₀, ..., Икс_п), Это делает имеет смысл спросить, есть ли  ж  исчезает в какой-то момент [Икс₀ : ... : Икс_п]. Для каждого набора S однородных многочленов, определим геометрическое место нулей S быть набором точек в п^п на котором функции в S исчезнуть:

${\displaystyle Z(S)=\{x\in \mathbf {P} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ for all }}f\in S\}.}$

Подмножество V из п^п называется проективное алгебраическое множество если V = Z(S) для некоторых S.^[1]:9 Неприводимое проективное алгебраическое множество называется проективное разнообразие.^[1]:10

Проективные многообразия также снабжены топологией Зарисского, объявляя все алгебраические множества замкнутыми.

Учитывая подмножество V из п^п, позволять я(V) - идеал, порожденный всеми однородными многочленами, обращающимися в нуль на V. Для любого проективного алгебраического множества V, то координатное кольцо из V является фактором кольца многочленов по этому идеалу.^[1]:10

А квазипроективное многообразие это Зариски открытый подмножество проективного многообразия. Обратите внимание, что каждое аффинное многообразие квазипроективно.^[2] Отметим также, что дополнение алгебраического множества в аффинном многообразии является квазипроективным многообразием; в контексте аффинных многообразий такое квазипроективное многообразие обычно называют не многообразием, а конструктивный набор.

Абстрактные разновидности

В классической алгебраической геометрии все разновидности по определению квазипроективные многообразия, что означает, что они были открытыми подмногообразиями замкнутых подмногообразий в проективное пространство. Например, в главе 1 Хартсхорна разнообразие над алгебраически замкнутым полем определяется как квазипроективное многообразие,^[1]:15 но начиная с главы 2 термин разнообразие (также называемый абстрактное разнообразие) относится к более общему объекту, который локально является квазипроективным многообразием, но при рассмотрении в целом не обязательно является квазипроективным; т.е. он может не иметь встраивания в проективное пространство.^[1]:105 Таким образом, классически определение алгебраического многообразия требовало вложения в проективное пространство, и это вложение использовалось для определения топологии на многообразии и регулярные функции по разнообразию. Недостатком такого определения является то, что не все многообразия имеют естественные вложения в проективное пространство. Например, в соответствии с этим определением продукт п¹ × п¹ не является разнообразием, пока не вложено в проективное пространство; обычно это делается Сегре встраивание. Однако любое многообразие, допускающее одно вложение в проективное пространство, допускает многие другие, составляя вложение с Веронезе вложение. Следовательно, многие понятия, которые должны быть внутренними, такие как концепция регулярной функции, не являются очевидными.

Самая ранняя успешная попытка абстрактного определения алгебраического многообразия без вложения была сделана Андре Вайль. В его Основы алгебраической геометрии, Вейль определил абстрактное алгебраическое многообразие, используя оценки. Клод Шевалле дал определение схема, который служил аналогичной цели, но был более общим. Тем не мение, Александр Гротендик Определение схемы в России является еще более общим и получило самое широкое признание. На языке Гротендика абстрактное алгебраическое многообразие обычно определяется как интеграл, отделенный схема конечный тип над алгебраически замкнутым полем,^{[заметка 2]} хотя некоторые авторы отбрасывают неприводимость, редуцируемость или условие разделенности или допускают, чтобы лежащее в основе поле не было алгебраически замкнутым.^{[заметка 3]} Классические алгебраические многообразия - это квазипроективные интегральные разделенные схемы конечного типа над алгебраически замкнутым полем.

Существование неквазипроективных абстрактных алгебраических многообразий

Один из самых ранних примеров неквазипроективного алгебраического многообразия был дан Нагатой.^[3] Пример Нагаты не был полный (аналог компактности), но вскоре после этого он нашел алгебраическую поверхность, которая была полной и непроективной.^[4] С тех пор были найдены и другие примеры.

Примеры

Подмножество

А подмножество является подмножеством многообразия, которое само является многообразием (относительно структуры, индуцированной из объемлющего многообразия). Например, каждое открытое подмножество разнообразия - это разнообразие. Смотрите также закрытое погружение.

Nullstellensatz Гильберта говорит, что замкнутые подмногообразия аффинного или проективного многообразия находятся во взаимно однозначном соответствии с первичными идеалами или однородными первичными идеалами координатного кольца этого многообразия.

Аффинное разнообразие

Пример 1

Позволять k = C, и А² быть двумерным аффинное пространство над C. Полиномы в кольце C[Икс, у] можно рассматривать как комплексные функции на А² оценивая в точках в А². Пусть подмножество S из C[Икс, у] содержат единственный элемент  ж  (Икс, у):

${\displaystyle f(x,y)=x+y-1.}$

Нулевая точка  ж  (Икс, у) это множество точек в А² на котором эта функция обращается в нуль: это множество всех пар комплексных чисел (Икс, у) такие, что у = 1 − Икс. Это называется линия в аффинной плоскости. (В классическая топология исходя из топологии комплексных чисел, комплексная прямая - это вещественное многообразие размерности два.) Это множество Z( ж ):

${\displaystyle Z(f)=\{(x,1-x)\in \mathbf {C} ^{2}\}.}$

Таким образом, подмножество V = Z( ж ) из А² является алгебраический набор. Набор V не пусто. Оно неприводимо, так как не может быть записано как объединение двух собственных алгебраических подмножеств. Таким образом, это аффинное алгебраическое многообразие.

Пример 2

Позволять k = C, и А² - двумерное аффинное пространство над C. Полиномы в кольце C[Икс, у] можно рассматривать как комплексные функции на А² оценивая в точках в А². Пусть подмножество S из C[Икс, у] содержат единственный элемент грамм(Икс, у):

${\displaystyle g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1.}$

Нулевая точка грамм(Икс, у) - множество точек в А² на котором эта функция обращается в нуль, то есть множество точек (Икс,у) такие, что Икс² + у² = 1. Поскольку грамм(Икс, у) является абсолютно несводимый полином, это алгебраическое многообразие. Множество его реальных точек (то есть точек, для которых Икс и у являются действительными числами), известна как единичный круг; это название также часто дают всему разнообразию.

Пример 3

Следующий пример не является гиперповерхность, ни линейное пространство, ни единой точки. Позволять А³ - трехмерное аффинное пространство над C. Набор точек (Икс, Икс², Икс³) за Икс в C является алгебраическим многообразием, а точнее алгебраической кривой, не лежащей ни в какой плоскости.^{[примечание 4]} Это витая кубическая показано на рисунке выше. Его можно определить уравнениями

${\displaystyle {\begin{aligned}y-x^{2}&=0\\z-x^{3}&=0\end{aligned}}}$

Неприводимость этого алгебраического множества требует доказательства. Один из подходов в этом случае - проверить, что проекция (Икс, у, z) → (Икс, у) является инъективный на множестве решений и что его образ - неприводимая плоская кривая.

Для более сложных примеров всегда можно привести аналогичное доказательство, но оно может потребовать сложных вычислений: сначала Основа Грёбнера вычисление для вычисления размера с последующим случайным линейным изменением переменных (не всегда необходимо); затем Основа Грёбнера вычисление для другого мономиальный порядок вычислить проекцию и доказать, что она в целом инъективен и что его образ гиперповерхность, и наконец полиномиальная факторизация чтобы доказать неприводимость изображения.

Проективное разнообразие

А проективное разнообразие является замкнутым подмногообразием проективного пространства. То есть это нулевое геометрическое место набора однородные многочлены которые создают главный идеал.

Пример 1

Аффинная плоская кривая у² = Икс³ − Икс. Соответствующая проективная кривая называется эллиптической кривой.

Плоская проективная кривая - это геометрическое место нулей неприводимого однородного многочлена от трех неопределенностей. В проективная линия п¹ является примером проективной кривой; ее можно рассматривать как кривую на проективной плоскости п² = {[Икс, у, z]} определяется Икс = 0. В качестве другого примера сначала рассмотрим аффинную кубическую кривую

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x.}$

в двумерном аффинном пространстве (над полем характеристики не два). Ему соответствует кубическое однородное полиномиальное уравнение:

${\displaystyle y^{2}z=x^{3}-xz^{2},}$

который определяет кривую в п² называется эллиптическая кривая. Кривая имеет род один (формула рода ); в частности, она не изоморфна проективной прямой п¹, имеющего нулевой род. Использование рода для различения кривых очень просто: фактически, род является первым инвариантом, который используется для классификации кривых (см. Также построение модули алгебраических кривых ).

Пример 2

Позволять V - конечномерное векторное пространство. В Грассманово многообразие грамм_п(V) - множество всех п-мерные подпространства V. Это проективное многообразие: оно вкладывается в проективное пространство через Плюккеровское вложение:

${\displaystyle {\begin{cases}G_{n}(V)\hookrightarrow \mathbf {P} \left(\wedge ^{n}V\right)\\\langle b_{1},\ldots ,b_{n}\rangle \mapsto [b_{1}\wedge \cdots \wedge b_{n}]\end{cases}}}$

куда б_я - произвольный набор линейно независимых векторов из V, ${\displaystyle \wedge ^{n}V}$ это п-й внешняя сила из V, а скобка [ш] означает линию, натянутую на ненулевой вектор ш.

Грассманиан имеет естественный векторный набор (или же локально свободная связка в другой терминологии) называется тавтологический пучок, что важно при изучении характеристические классы Такие как Классы Черна.

Неаффинный и непроективный пример

Алгебраическое многообразие не может быть ни аффинным, ни проективным. В качестве примера пусть Икс = п¹ × А¹ и п: Икс → А¹ проекция. Это алгебраическое многообразие, поскольку оно является продуктом многообразий. Это не аффинно, поскольку п¹ замкнутое подмногообразие в Икс (как нулевое геометрическое место п), но аффинное многообразие не может содержать проективное многообразие положительной размерности как замкнутое подмногообразие. Он также не проективен, поскольку существует непостоянная обычная функция на Икс; а именно, п.

Другой пример неаффинного непроективного многообразия: Икс = А² - (0, 0) (ср. морфизм разновидностей # Примеры.)

Основные результаты

• Аффинное алгебраическое множество V это разнообразие если и только если я(V) это главный идеал; эквивалентно, V является многообразием тогда и только тогда, когда его координатное кольцо является область целостности.^[5]:52[1]:4
• Каждое непустое аффинное алгебраическое множество может быть однозначно записано как конечное объединение алгебраических многообразий (где ни одно из многообразий в разложении не является подмногообразием какого-либо другого).^[1]:5
• В измерение разновидности могут быть определены различными эквивалентными способами. Видеть Размерность алгебраического многообразия для подробностей.
• Произведение конечного числа алгебраических многообразий (над алгебраически замкнутым полем) является алгебраическим многообразием.

Изоморфизм алгебраических многообразий

Смотрите также: морфизм разновидностей

Позволять V₁, V₂ быть алгебраическими многообразиями. Мы говорим V₁ и V₂ находятся изоморфный, и писать V₁ ≅ V₂, если есть обычные карты φ : V₁ → V₂ и ψ : V₂ → V₁ так что композиции ψ ∘ φ и φ ∘ ψ являются карты идентичности на V₁ и V₂ соответственно.

Обсуждение и обобщения

Приведенные выше основные определения и факты позволяют заниматься классической алгебраической геометрией. Чтобы иметь возможность делать больше - например, иметь дело с разнообразием полей, которые не алгебраически замкнутый - необходимы фундаментальные изменения. Современное понятие многообразия значительно более абстрактно, чем приведенное выше, хотя и эквивалентно в случае многообразий над алгебраически замкнутыми полями. An абстрактное алгебраическое многообразие это особый вид схемы; Обобщение схем с геометрической стороны позволяет расширить соответствие, описанное выше, на более широкий класс колец. Схема - это локально окольцованное пространство такая, что каждая точка имеет окрестность, которая как локально окольцованное пространство изоморфна спектр кольца. В основном, разнообразие превышает k это схема, структурная связка это пучок из k-алгебры с тем свойством, что кольца р что происходит выше, все целостные области и все конечно порождены k-алгебры, то есть они являются частными от полиномиальные алгебры к главные идеалы.

Это определение работает с любым полем k. Он позволяет склеивать аффинные многообразия (вдоль общих открытых множеств), не беспокоясь о том, можно ли поместить полученный объект в какое-то проективное пространство. Это также приводит к трудностям, поскольку можно ввести несколько патологических объектов, например аффинная линия с нулем удвоена. Такие объекты обычно не считаются разновидностями и исключаются, требуя, чтобы схемы, лежащие в основе разновидности, были отделенный. (Строго говоря, существует также третье условие, а именно, что в приведенном выше определении требуется только конечное число аффинных фрагментов.)

Некоторые современные исследователи также снимают ограничение на разновидность, имеющую область целостности аффинные карты, и, говоря о разнообразии, требуется только, чтобы аффинные карты имели тривиальные нильрадикал.

А полное разнообразие такое многообразие, что любое отображение из открытого подмножества неособого изгиб в него можно однозначно продолжить на всю кривую. Всякое проективное многообразие полно, но не наоборот.

Эти разновидности были названы "разновидностями в смысле Серра", поскольку Серр основополагающий документ FAC по когомологии пучков был написан для них. Они остаются типичными объектами для начала изучения алгебраической геометрии, даже если более общие объекты также используются во вспомогательных целях.

Один из способов, который ведет к обобщениям, - разрешить приводимые алгебраические множества (и поля k которые не являются алгебраически замкнутыми), поэтому кольца р могут не быть целостными доменами. Более существенная модификация - позволить нильпотенты в связке колец, т. е. колец, не являющихся уменьшенный. Это одно из нескольких обобщений классической алгебраической геометрии, встроенных в Гротендик Теория схем.

Разрешение нильпотентных элементов в кольцах связано с отслеживанием «кратностей» в алгебраической геометрии. Например, замкнутая подсхема аффинной прямой, определяемая формулой Икс² = 0 отличается от подсхемы, определяемой Икс = 0 (начало координат). В более общем плане волокно морфизма схем Икс → Y в точке Y может не уменьшаться, даже если Икс и Y уменьшаются. С геометрической точки зрения это говорит о том, что слои хороших отображений могут иметь нетривиальную «бесконечно малую» структуру.

Есть и другие обобщения, называемые алгебраические пространства и стеки.

Алгебраические многообразия

Основная статья: Алгебраическое многообразие

Алгебраическое многообразие - это алгебраическое многообразие, которое также является м-мерное многообразие, а значит, каждый достаточно малый локальный фрагмент изоморфен k^м. Эквивалентно разновидность гладкий (без особых точек). Когда k это реальные числа, р, алгебраические многообразия называются Коллекторы Нэша. Алгебраические многообразия можно определить как нулевое множество конечного набора аналитических алгебраических функций. Проективные алгебраические многообразия являются эквивалентным определением для проективных многообразий. В Сфера Римана это один из примеров.

Смотрите также

• Разнообразие (значения) - перечисление также нескольких математических значений
• Функциональное поле алгебраического многообразия
• Бирациональная геометрия
• Абелева разновидность
• Мотив
• Аналитическое разнообразие
• Пространство Зарисского – Римана
• Полуалгебраический набор

Сноски

1. Хартсхорн, p.xv, отмечает, что его выбор необычен; см., например, Харрис, стр. 3
2. Хартсхорн 1976, стр. 104–105 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFHartshorne1976 (помощь)
3. Лю, Цин. Алгебраическая геометрия и арифметические кривые, п. 55 Определение 2.3.47 и с. 88 Пример 3.2.3
4. Харрис, стр.9; его несводимость утверждается в Хартсхорне, стр.7.

Рекомендации

1. Хартсхорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия. Springer-Verlag. ISBN  0-387-90244-9.
2. Хартсхорн, Упражнение I.2.9, стр.12
3. Нагата, Масаёши (1956), «К проблеме вложения абстрактных многообразий в проективные многообразия», Воспоминания Колледжа наук Университета Киото. Серия A: математика, 30: 71–82, МИСТЕР  0088035
4. Нагата, Масаёши (1957 г.), «О вложениях абстрактных поверхностей в проективные многообразия», Воспоминания Колледжа наук Университета Киото. Серия A: Математика, 30: 231–235, МИСТЕР  0094358
5. Харрис, Джо (1992). Алгебраическая геометрия - первый курс. Springer-Verlag. ISBN  0-387-97716-3.

• Кокс, Дэвид; Джон Литтл; Дон О'Ши (1997). Идеалы, разновидности и алгоритмы (второе изд.). Springer-Verlag. ISBN  0-387-94680-2.
• Эйзенбуд, Дэвид (1999). Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии. Springer-Verlag. ISBN  0-387-94269-6.
• Милн, Джеймс С. (2008). «Алгебраическая геометрия». Получено 2009-09-01.

В этой статье использованы материалы из Изоморфизм многообразий на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.