Кососимметричная матрица - Skew-symmetric matrix

Для матриц с антисимметрией по комплексное число поле, см. Косоэрмитова матрица.

В математика, особенно в линейная алгебра, а кососимметричный (или антисимметричный или антиметрический^[1]) матрица это квадратная матрица чья транспонировать равно его отрицательному. То есть удовлетворяет условию^{[2]:п. 38}

${\displaystyle A{\text{ skew-symmetric}}\quad \iff \quad A^{\textsf {T}}=-A.}$

В терминах элементов матрицы, если ${\textstyle a_{ij}}$ обозначает запись в ${\textstyle i}$-й ряд и ${\textstyle j}$-го столбца, то условие кососимметричности эквивалентно

${\displaystyle A{\text{ skew-symmetric}}\quad \iff \quad a_{ji}=-a_{ij}.}$

пример

Матрица

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&2&-45\\-2&0&-4\\45&4&0\end{bmatrix}}}$

кососимметричен, потому что

${\displaystyle -A={\begin{bmatrix}0&-2&45\\2&0&4\\-45&-4&0\end{bmatrix}}=A^{\textsf {T}}.}$

Характеристики

Всюду мы предполагаем, что все элементы матрицы принадлежат поле ${\textstyle \mathbb {F} }$ чья характеристика не равно 2. То есть мы предполагаем, что 1 + 1 ≠ 0, где 1 обозначает мультипликативную единицу, а 0 - аддитивную единицу данного поля. Если характеристика поля равна 2, то кососимметричная матрица - это то же самое, что симметричная матрица.

• Сумма двух кососимметричных матриц кососимметрична.
• Скалярное кратное кососимметричной матрицы является кососимметричным.
• Элементы на диагонали кососимметричной матрицы равны нулю, и поэтому ее след равно нулю.
• Если ${\textstyle A}$ - вещественная кососимметричная матрица и ${\textstyle \lambda }$ настоящий собственное значение, тогда ${\textstyle \lambda =0}$, т.е. ненулевые собственные значения кососимметричной матрицы невещественны.
• Если ${\textstyle A}$ - вещественная кососимметричная матрица, то ${\textstyle I+A}$ является обратимый, где ${\textstyle I}$ - единичная матрица.
• Если ${\textstyle A}$ является кососимметричной матрицей, то ${\textstyle A^{2}}$ симметричный отрицательная полуопределенная матрица.

Структура векторного пространства

В результате первых двух свойств, описанных выше, набор всех кососимметричных матриц фиксированного размера образует векторное пространство. Пространство ${\textstyle n\times n}$ кососимметричные матрицы имеют измерение ${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n-1).}$

Позволять ${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}}$ обозначим пространство ${\textstyle n\times n}$ матрицы. Кососимметричная матрица определяется формулой ${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n-1)}$ скаляры (количество записей над главная диагональ ); а симметричная матрица определяется ${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n+1)}$ скаляры (количество вхождений на главной диагонали или выше). Позволять ${\textstyle {\mbox{Skew}}_{n}}$ обозначим пространство ${\textstyle n\times n}$ кососимметричные матрицы и ${\textstyle {\mbox{Sym}}_{n}}$ обозначим пространство ${\textstyle n\times n}$ симметричные матрицы. Если ${\textstyle A\in {\mbox{Mat}}_{n}}$ тогда

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(A+A^{\mathsf {T}}\right).}$

Заметь ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(A-A^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Skew}}_{n}}$ и ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(A+A^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}.}$ Это верно для каждого квадратная матрица ${\textstyle A}$ с записями из любых поле чья характеристика отличается от 2. Тогда, поскольку ${\textstyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Skew}}_{n}+{\mbox{Sym}}_{n}}$ и ${\textstyle {\mbox{Skew}}_{n}\cap {\mbox{Sym}}_{n}=0,}$

${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Skew}}_{n}\oplus {\mbox{Sym}}_{n},}$

где ${\displaystyle \oplus }$ обозначает прямая сумма.

Обозначим через ${\textstyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ стандарт внутренний продукт на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Реальность ${\displaystyle n\times n}$ матрица ${\textstyle A}$ кососимметрична тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =-\langle x,Ay\rangle \quad \forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}.}$

Это также эквивалентно ${\textstyle \langle x,Ax\rangle =0}$ для всех ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ (одно следствие очевидно, другое - простое следствие ${\textstyle \langle x+y,A(x+y)\rangle =0}$ для всех ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$).

Поскольку это определение не зависит от выбора основа, кососимметрия - это свойство, зависящее только от линейный оператор ${\displaystyle A}$ и выбор внутренний продукт.

${\displaystyle 3\times 3}$ кососимметричные матрицы могут использоваться для представления перекрестные продукты как матричные умножения.

Детерминант

Позволять ${\displaystyle A}$ быть ${\displaystyle n\times n}$ кососимметричная матрица. В детерминант из ${\displaystyle A}$ удовлетворяет

${\displaystyle \det \left(A^{\textsf {T}}\right)=\det(-A)=(-1)^{n}\det(A).}$

В частности, если ${\displaystyle n}$ нечетно, и поскольку основное поле не имеет характеристики 2, определитель обращается в нуль. Следовательно, все кососимметричные матрицы нечетной размерности сингулярны, поскольку их определители всегда равны нулю. Этот результат называется Теорема Якоби, после Карл Густав Якоби (Eves, 1980).

Чётный случай более интересен. Оказывается, определитель ${\displaystyle A}$ за ${\displaystyle n}$ даже можно записать как квадрат многочлен в записях ${\displaystyle A}$, что впервые было доказано Кэли:^[3]

${\displaystyle \det {(A)}=\operatorname {Pf} (A)^{2}.}$

Этот многочлен называется Пфаффиан из ${\displaystyle A}$ и обозначается ${\displaystyle \operatorname {Pf} (A)}$. Таким образом, определитель реальной кососимметричной матрицы всегда неотрицателен. Однако этот последний факт можно элементарно доказать следующим образом: собственные значения вещественной кососимметричной матрицы являются чисто мнимыми (см. Ниже) и каждому собственному значению соответствует сопряженное собственное значение той же кратности; следовательно, поскольку определитель является произведением собственных значений, каждое из которых повторяется в соответствии с его кратностью, сразу следует, что определитель, если он не равен 0, является положительным действительным числом.

Количество различных терминов ${\displaystyle s(n)}$ в разложении определителя кососимметричной матрицы порядка ${\displaystyle n}$ уже рассматривался Кэли, Сильвестром и Пфаффом. Из-за отмены это количество довольно мало по сравнению с количеством членов общей матрицы порядка. ${\displaystyle n}$, который ${\displaystyle n!}$. Последовательность ${\displaystyle s(n)}$ (последовательность A002370 в OEIS ) является

1, 0, 1, 0, 6, 0, 120, 0, 5250, 0, 395010, 0, …

и он закодирован в экспоненциальная производящая функция

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {s(n)}{n!}}x^{n}=\left(1-x^{2}\right)^{-{\frac {1}{4}}}\exp \left({\frac {x^{2}}{4}}\right).}$

Последняя поддается асимптотике (при ${\displaystyle n}$ четное)

${\displaystyle s(n)=\pi ^{-{\frac {1}{2}}}2^{\frac {3}{4}}\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)\left({\frac {n}{e}}\right)^{n-{\frac {1}{4}}}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).}$

Количество положительных и отрицательных членов составляет примерно половину от общего числа, хотя их разница принимает все большие и большие положительные и отрицательные значения, поскольку ${\displaystyle n}$ увеличивается (последовательность A167029 в OEIS ).

Перекрестное произведение

Кососимметричные матрицы размером три на три могут использоваться для представления перекрестных произведений в виде умножения матриц. Учитывать векторов ${\textstyle \mathbf {a} =\left(a_{1}\ a_{2}\ a_{3}\right)^{\textsf {T}}}$ и ${\textstyle \mathbf {b} =\left(b_{1}\ b_{2}\ b_{3}\right)^{\textsf {T}}.}$ Затем, определяя матрицу

${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }={\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}},}$

перекрестное произведение можно записать как

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} .}$

Это можно сразу проверить, вычислив обе части предыдущего уравнения и сравнив каждый соответствующий элемент результатов.

Смотрите также: Матрица Плюккера

У одного действительно есть

${\displaystyle [\mathbf {a\times b} ]_{\times }=[\mathbf {a} ]_{\times }[\mathbf {b} ]_{\times }-[\mathbf {b} ]_{\times }[\mathbf {a} ]_{\times };}$

т.е. коммутатор кососимметричных матриц размером три на три можно отождествить с кросс-произведением трех векторов. Поскольку кососимметричные матрицы размером три на три являются Алгебра Ли группы ротации ${\textstyle SO(3)}$ это проясняет связь между трехпространственным ${\textstyle \mathbb {R} ^{3}}$, поперечное произведение и трехмерные вращения. Подробнее о бесконечно малых поворотах можно найти ниже.

Спектральная теория

Поскольку матрица аналогичный для своего собственного транспонирования они должны иметь одинаковые собственные значения. Отсюда следует, что собственные значения кососимметричной матрицы всегда попадают в пары ± λ (за исключением нечетномерного случая, когда имеется дополнительное непарное собственное значение 0). От спектральная теорема, для вещественной кососимметричной матрицы все ненулевые собственные значения являются чистыми воображаемый и поэтому имеют вид ${\displaystyle \lambda _{1}i,-\lambda _{1}i,\lambda _{2}i,-\lambda _{2}i,\ldots }$ где каждый из ${\displaystyle \lambda _{k}}$ настоящие.

Действительные кососимметричные матрицы: нормальные матрицы (они ездят со своими примыкает ) и, таким образом, подпадают под спектральная теорема, который утверждает, что любую вещественную кососимметричную матрицу можно диагонализовать унитарная матрица. Поскольку собственные значения реальной кососимметричной матрицы мнимые, диагонализовать их с помощью действительной матрицы невозможно. Однако любую кососимметричную матрицу можно привести к диагональ блока форма специальное ортогональное преобразование.^[4][5] В частности, каждый ${\displaystyle 2n\times 2n}$ вещественная кососимметричная матрица может быть записана в виде ${\displaystyle A=Q\Sigma Q^{\textsf {T}}}$ где ${\displaystyle Q}$ ортогонален и

${\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&\lambda _{1}\\-\lambda _{1}&0\end{matrix}}&0&\cdots &0\\0&{\begin{matrix}0&\lambda _{2}\\-\lambda _{2}&0\end{matrix}}&&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\begin{matrix}0&\lambda _{r}\\-\lambda _{r}&0\end{matrix}}\\&&&&{\begin{matrix}0\\&\ddots \\&&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

для реального положительно определенного ${\displaystyle \lambda _{k}}$. Ненулевые собственные значения этой матрицы равны ± λ_k я. В нечетномерном случае Σ всегда имеет хотя бы одну строку и столбец нулей.

В более общем смысле любая комплексная кососимметричная матрица может быть записана в виде ${\displaystyle A=U\Sigma U^{\mathrm {T} }}$ где ${\displaystyle U}$ унитарен и ${\displaystyle \Sigma }$ имеет приведенную выше блочно-диагональную форму с ${\displaystyle \lambda _{k}}$ все еще реальный положительно определенный. Это пример разложения Юла сложной квадратной матрицы.^[6]

Кососимметричные и знакопеременные формы

А кососимметричная форма ${\displaystyle \varphi }$ на векторное пространство ${\displaystyle V}$ через поле ${\displaystyle K}$ произвольной характеристики определяется как билинейная форма

${\displaystyle \varphi :V\times V\mapsto K}$

такое, что для всех ${\displaystyle v,w}$ в ${\displaystyle V,}$

${\displaystyle \varphi (v,w)=-\varphi (w,v).}$

Это определяет форму с желательными свойствами для векторных пространств над полями характеристики, не равной 2, но в векторном пространстве над полем характеристики 2 определение эквивалентно определению симметричной формы, поскольку каждый элемент является его собственным аддитивным обратным .

Где векторное пространство ${\displaystyle V}$ находится над полем произвольных характеристика включая характеристику 2, мы можем определить переменная форма как билинейная форма ${\displaystyle \phi }$ такой, что для всех векторов ${\displaystyle v}$ в ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \varphi (v,v)=0.}$

Это эквивалентно кососимметричной форме, когда поле не имеет характеристики 2, как видно из

${\displaystyle 0=\varphi (v+w,v+w)=\varphi (v,v)+\varphi (v,w)+\varphi (w,v)+\varphi (w,w)=\varphi (v,w)+\varphi (w,v),}$

откуда

${\displaystyle \varphi (v,w)=-\varphi (w,v).}$

Билинейная форма ${\displaystyle \varphi }$ будет представлена ​​матрицей ${\displaystyle A}$ такой, что ${\displaystyle \varphi (v,w)=v^{\textsf {T}}Aw}$, когда основа из ${\displaystyle V}$ выбирается, и, наоборот, ${\displaystyle n\times n}$ матрица ${\displaystyle A}$ на ${\displaystyle K^{n}}$ вызывает отправку формы ${\displaystyle (v,w)}$ к ${\displaystyle v^{\textsf {T}}Aw.}$ Для каждой из симметричных, кососимметричных и переменных форм представляющие матрицы являются симметричными, кососимметричными и чередующимися соответственно.

Бесконечно малые вращения

Дальнейшая информация: Теорема Эйлера вращения § Генераторы вращений, Матрица вращения § Бесконечно малые вращения, и Теория бесконечно малых деформаций § Тензор бесконечно малых вращений

Кососимметричные матрицы над полем действительных чисел образуют касательное пространство к настоящему ортогональная группа ${\displaystyle O(n)}$ у единичной матрицы; формально специальная ортогональная алгебра Ли. В этом смысле кососимметричные матрицы можно представить как бесконечно малые вращения.

Другими словами, пространство кососимметричных матриц образует Алгебра Ли ${\displaystyle o(n)}$ из Группа Ли ${\displaystyle O(n).}$ Скобка Ли на этом пространстве задается коммутатор:

${\displaystyle [A,B]=AB-BA.\,}$

Легко проверить, что коммутатор двух кососимметричных матриц снова кососимметричен:

${\displaystyle {\begin{aligned}{[}A,B{]}^{\textsf {T}}&=B^{\textsf {T}}A^{\textsf {T}}-A^{\textsf {T}}B^{\textsf {T}}\\&=(-B)(-A)-(-A)(-B)=BA-AB=-[A,B]\,.\end{aligned}}}$

В матричная экспонента кососимметричной матрицы ${\displaystyle A}$ тогда ортогональная матрица ${\displaystyle R}$:

${\displaystyle R=\exp(A)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}.}$

Образ экспоненциальная карта алгебры Ли всегда лежит в связный компонент группы Ли, содержащей единичный элемент. В случае группы Ли ${\displaystyle O(n),}$ этот компонент связности является специальная ортогональная группа ${\displaystyle SO(n),}$ состоящий из всех ортогональных матриц с определителем 1. Итак ${\displaystyle R=\exp(A)}$ будет иметь определитель +1. Более того, поскольку экспоненциальное отображение связной компактной группы Ли всегда сюръективно, оказывается, что каждый Ортогональную матрицу с единичным определителем можно записать как экспоненту некоторой кососимметричной матрицы. В особо важном случае размерности ${\displaystyle n=2,}$ экспоненциальное представление для ортогональной матрицы сводится к хорошо известному полярная форма комплексного числа единичного модуля. Действительно, если ${\displaystyle n=2,}$ специальная ортогональная матрица имеет вид

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&-b\\b&\,a\end{bmatrix}},}$

с ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=1}$. Поэтому, положив ${\displaystyle a=\cos \theta }$ и ${\displaystyle b=\sin \theta ,}$ это можно написать

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \,\theta &-\sin \,\theta \\\sin \,\theta &\,\cos \,\theta \end{bmatrix}}=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&-1\\1&\,0\end{bmatrix}}\right),}$

что в точности соответствует полярной форме ${\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }}$ комплексного числа единичного модуля.

Экспоненциальное представление ортогональной матрицы порядка ${\displaystyle n}$ можно также получить, исходя из того, что в размерности ${\displaystyle n}$ любая специальная ортогональная матрица ${\displaystyle R}$ можно записать как ${\displaystyle R=QSQ^{\textsf {T}},}$ где ${\displaystyle Q}$ ортогонален и S является блочно-диагональная матрица с ${\textstyle \lfloor n/2\rfloor }$ блоки порядка 2, плюс один из порядка 1, если ${\displaystyle n}$ нечетный; поскольку каждый отдельный блок порядка 2 также является ортогональной матрицей, он допускает экспоненциальную форму. Соответственно матрицаS записывает как экспоненту кососимметричной блочной матрицы ${\displaystyle \Sigma }$ формы выше, ${\displaystyle S=\exp(\Sigma ),}$ так что ${\displaystyle R=Q\exp(\Sigma )Q^{\textsf {T}}=\exp(Q\Sigma Q^{\textsf {T}}),}$ экспонента кососимметричной матрицы ${\displaystyle Q\Sigma Q^{\textsf {T}}.}$ И наоборот, сюръективность экспоненциального отображения вместе с вышеупомянутой блочной диагонализацией для кососимметричных матриц подразумевает блочную диагонализацию для ортогональных матриц.

Без координат

По сути (то есть без использования координат), кососимметричные линейные преобразования в векторном пространстве ${\displaystyle V}$ с внутренний продукт можно определить как бивекторы на пространстве, которые представляют собой суммы простых бивекторов (2 лопасти ) ${\textstyle v\wedge w.}$ Соответствие дается картой ${\textstyle v\wedge w\mapsto v^{*}\otimes w-w^{*}\otimes v,}$ где ${\textstyle v^{*}}$ ковектор, двойственный вектору ${\textstyle v}$; в ортонормированных координатах это и есть элементарные кососимметричные матрицы. Эта характеристика используется при интерпретации завиток векторного поля (естественно, 2-вектора) как бесконечно малое вращение или "завиток", отсюда и название.

Кососимметризуемая матрица

An ${\displaystyle n\times n}$ матрица ${\displaystyle A}$ как говорят кососимметризуемый если существует обратимый диагональная матрица ${\displaystyle D}$ такой, что ${\displaystyle DA}$ кососимметрична. За настоящий ${\displaystyle n\times n}$ матрицы, иногда условие ${\displaystyle D}$ иметь положительные записи добавляется.^[7]

Смотрите также

• Преобразование Кэли
• Симметричная матрица
• Косоэрмитова матрица
• Симплектическая матрица
• Симметрия в математике

использованная литература

1. Ричард А. Реймент; К. Г. Йореског; Лесли Ф. Маркус (1996). Прикладной факторный анализ в естествознании. Издательство Кембриджского университета. п. 68. ISBN  0-521-57556-7.
2. Липшуц, Сеймур; Липсон, Марк. Очерк теории и проблем линейной алгебры Шаума. Макгроу-Хилл. ISBN  9780070605022.
3. Кэли, Артур (1847). "Sur les определители gauches" [О косых детерминантах]. Журнал Крелля. 38: 93–96. Перепечатано в Кэли, А. (2009). "Sur les Déterminants Gauches". Сборник статей по математике. 1. п. 410. Дои:10.1017 / CBO9780511703676.070. ISBN  978-0-511-70367-6.
4. Воронов, Теодор. Пфаффиан, в: Краткая энциклопедия суперсимметрии и некоммутативных структур в математике и физике, ред. С. Дуплий, В. Сигель, Дж. Баггер (Берлин, Нью-Йорк: Springer 2005), стр. 298.
5. Зумино, Бруно (1962). «Нормальные формы комплексных матриц». Журнал математической физики. 3 (5): 1055–1057. Bibcode:1962JMP ..... 3.1055Z. Дои:10.1063/1.1724294.
6. Юла, Д. К. (1961). «Нормальная форма матрицы относительно унитарной группы конгруэнции». Мочь. J. Math. 13: 694–704. Дои:10.4153 / CJM-1961-059-8.
7. Фомин, Сергей; Зелевинский, Андрей (2001). «Кластерные алгебры I: Основы». arXiv:математика / 0104151v1.

дальнейшее чтение

• Евс, Ховард (1980). Элементарная матричная теория. Dover Publications. ISBN  978-0-486-63946-8.
• Супруненко, Д. А. (2001) [1994], «Кососимметричная матрица», Энциклопедия математики, EMS Press
• Эйткен, А. С. (1944). «О числе различных членов в разложении симметричных и косых определителей». Edinburgh Math. Примечания.

внешняя ссылка

• «Антисимметричная матрица». Вольфрам Mathworld.
• Беннер, Питер; Кресснер, Дэниел. "HAPACK - Программное обеспечение для (косо-) гамильтоновых задач на собственные значения".
• Ward, R.C .; Грей, Л. Дж. (1978). «Алгоритм 530: алгоритм вычисления собственной системы кососимметричных матриц и класса симметричных матриц [F2]». Транзакции ACM на математическом ПО. 4 (3): 286. Дои:10.1145/355791.355799. Фортран Fortran90