Специальное конформное преобразование - Special conformal transformation

Координатная сетка до специального конформного преобразования

Та же сетка после специального конформного преобразования

В проективная геометрия, а специальное конформное преобразование это дробно-линейное преобразование то есть нет ан аффинное преобразование. Таким образом поколение специального конформного преобразования предполагает использование мультипликативная инверсия, который является генератором неаффинных дробно-линейных преобразований.

В математическая физика, определенный конформные карты известный как сферические волновые преобразования находятся специальные конформные преобразования.

Векторная презентация

Можно записать специальное конформное преобразование^[1]

${\displaystyle x'^{\mu }={\frac {x^{\mu }-b^{\mu }x^{2}}{1-2b\cdot x+b^{2}x^{2}}}\,.}$

Это композиция инверсия (Икс^μ → Икс^μ/Икс²), а перевод (Икс^μ → Икс^μ − б^μ) и инверсия:

${\displaystyle {\frac {x'^{\mu }}{x'^{2}}}={\frac {x^{\mu }}{x^{2}}}-b^{\mu }\,.}$

Его бесконечно малый генератор является

${\displaystyle K_{\mu }=-i(2x_{\mu }x^{\nu }\partial _{\nu }-x^{2}\partial _{\mu })\,.}$

Альтернативная презентация

Инверсию также можно взять^[2] быть мультипликативной инверсией бикватернионы B. Комплексная алгебра B продолжается до P (B) сквозь проективная прямая над кольцом. Омографии на P (B) включают переводы:

${\displaystyle U(q,1){\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}}=U(q+t,1).}$

Группа гомографии G (B) включает конъюгирует перевода инверсией:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Матрица описывает действие специального конформного преобразования.

Рекомендации

1. Ди Франческо; Матье, Сенешаль (1997). Конформная теория поля. Тексты для выпускников по современной физике. Springer. С. 97–98. ISBN  978-0-387-94785-3.
2. Артур Конвей (1911) «О применении кватернионов к некоторым недавним разработкам теории электричества», Труды Королевской ирландской академии 29: 1–9, особенно стр. 9