Линейное дробное преобразование - Linear fractional transformation

В математика, а дробно-линейное преобразование является, грубо говоря, преобразованием вида

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}},}$

который имеет обратный. Точное определение зависит от природы а, б, c, d, и z. Другими словами, дробно-линейное преобразование - это трансформация что представлено дробная часть числитель и знаменатель которой линейный.

В самых простых настройках а, б, c, d, и z находятся сложные числа (в этом случае преобразование также называется Преобразование Мёбиуса ) или, в более общем смысле, элементы поле. Тогда условие обратимости имеет вид объявление – до н.э ≠ 0. Над полем дробно-линейное преобразование - это ограничение в поле проективное преобразование или омография из проективная линия.

Когда а, б, c, d находятся целое число (или, в более общем смысле, принадлежат область целостности ), z должен быть рациональное число (или принадлежать к поле дробей области целостности. В этом случае условием обратимости является то, что объявление – до н.э должен быть единица измерения домена (то есть 1 или −1 в случае целых чисел).^[1]

В самых общих условиях а, б, c, d и z находятся квадратные матрицы, или, в более общем смысле, элементы кольцо. Примером такого дробно-линейного преобразования является Преобразование Кэли, который изначально был определен на 3 x 3 реальных матричное кольцо.

Дробно-линейные преобразования широко используются в различных областях математики и ее приложений в технике, например, в классической математике. геометрия, теория чисел (они используются, например, в Доказательство Уайлса Великой теоремы Ферма ), теория групп, теория управления.

Общее определение

В общем случае дробно-линейное преобразование - это омография из P (А), проективная прямая над кольцом А. Когда А это коммутативное кольцо, то дробно-линейное преобразование имеет знакомый вид

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}},}$

где а, б, c, d являются элементами А такой, что объявление – до н.э это единица измерения из А (это объявление – до н.э имеет мультипликативный обратный в А)

В некоммутативном кольце А, с (z, t) в А², единицы ты определить отношение эквивалентности ${\displaystyle (z,t)\sim (uz,ut).}$ An класс эквивалентности в проективной прямой над А пишется U [z, t] где скобки обозначают проективные координаты. Тогда дробно-линейные преобразования действуют справа от элемента P (А):

${\displaystyle U[z,t]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=U[za+tb,\ zc+td]\sim U[(zc+td)^{-1}(za+tb),\ 1].}$

Кольцо вложено в свою проективную прямую посредством z → U [z, 1], поэтому т = 1 восстанавливает обычное выражение. Это дробно-линейное преобразование корректно определено, поскольку U [за + tb, zc + тд] не зависит от того, какой элемент выбран для операции из своего класса эквивалентности.

Дробно-линейные преобразования образуют группа, обозначенный ${\displaystyle \operatorname {PGL} _{1}(A).}$

Группа ${\displaystyle \operatorname {PGL} _{1}(\mathbb {Z} )}$ дробно-линейных преобразований называется модульная группа. Он широко изучался из-за его многочисленных приложений к теория чисел, которые включают, в частности, Доказательство Уайлса Великой теоремы Ферма.

Использование в гиперболической геометрии

Основная статья: Гиперболическая геометрия

в комплексная плоскость а обобщенный круг является линией или кругом. Когда завершается бесконечно удаленная точка, обобщенные круги на плоскости соответствуют окружностям на поверхности Сфера Римана, выражение сложной проективной линии. Дробно-линейные преобразования переставляют эти круги на сфере и соответствующие конечные точки обобщенных кругов на комплексной плоскости.

Для построения моделей гиперболической плоскости единичный диск и верхняя полуплоскость используются для обозначения точек. Эти подмножества комплексной плоскости обеспечивают метрика с Метрика Кэли-Клейна. Затем вычисляется расстояние между двумя точками с использованием обобщенного круга, проходящего через точки и перпендикулярного границе подмножества, используемого для модели. Этот обобщенный круг пересекает границу в двух других точках. Все четыре точки используются в перекрестное соотношение который определяет метрику Кэли-Клейна. Дробно-линейные преобразования оставляют неизменным поперечное отношение, поэтому любое дробно-линейное преобразование, которое оставляет единичный диск или верхние полуплоскости стабильными, является изометрия гиперболической плоскости метрическое пространство. С Анри Пуанкаре объяснил эти модели, они были названы в его честь: Модель диска Пуанкаре и Модель полуплоскости Пуанкаре. Каждая модель имеет группа изометрий, которая является подгруппой Группа Мебиуса: группа изометрии для модели диска СУ (1, 1) где дробно-линейные преобразования являются «специальными унитарными», а для верхней полуплоскости группой изометрий является PSL (2, R), a проективная линейная группа дробно-линейных преобразований с вещественными элементами и детерминант равно единице.^[2]

Использование в высшей математике

Преобразования Мёбиуса обычно появляются в теории непрерывные дроби, И в аналитическая теория чисел из эллиптические кривые и модульные формы, поскольку он описывает автоморфизмы верхней полуплоскости под действием модульная группа. Это также является каноническим примером Расслоение Хопфа, где геодезический поток индуцированное дробно-линейным преобразованием, разлагает комплексное проективное пространство на устойчивые и неустойчивые многообразия, с орициклы кажущийся перпендикулярным геодезическим. Увидеть Аносов поток для рабочего примера расслоения: в этом примере геодезические задаются дробно-линейным преобразованием

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot i\exp(t)={\frac {ai\exp(t)+b}{ci\exp(t)+d}}}$

с а, б, c и d настоящий, с ${\displaystyle ad-bc=1}$. Грубо говоря, центральный коллектор генерируется параболические преобразования, неустойчивое многообразие - гиперболическими преобразованиями, а устойчивое многообразие - эллиптическими преобразованиями.

Использование в теории управления

Дробно-линейные преобразования широко используются в теория управления для решения проблем взаимоотношений между предприятием и контроллером в механический и электротехника.^[3][4] Общая процедура совмещения дробно-линейных преобразований с Звездный продукт Redheffer позволяет применять их к теория рассеяния общих дифференциальных уравнений, включая S-матрица подход в квантовой механике и квантовой теории поля, рассеяние акустических волн в средах (например, термоклины и подводные лодки в океанах и т. д.) и общий анализ рассеяния и связанных состояний в дифференциальных уравнениях. Здесь компоненты матрицы 3x3 относятся к входящему, связанному и исходящему состояниям. Пожалуй, самый простой пример применения дробно-линейных преобразований происходит при анализе затухающий гармонический осциллятор. Еще одно простейшее приложение - получение Нормальная форма Фробениуса, т.е. сопутствующая матрица полинома.

Конформное свойство

Коммутативные кольца разделенные комплексные числа и двойные числа присоединиться к обычному сложные числа как кольца, выражающие угол и «вращение». В каждом случае экспоненциальная карта примененный к мнимой оси дает изоморфизм между однопараметрические группы в (А, +) и в группа единиц (U, × ):^[5]

${\displaystyle \exp(yj)=\cosh y+j\sinh y,\quad j^{2}=+1,}$

${\displaystyle \exp(y\epsilon )=1+y\epsilon ,\quad \epsilon ^{2}=0,}$

${\displaystyle \exp(yi)=\cos y+i\sin y,\quad i^{2}=-1.}$

Угол" у является гиперболический угол, склон, или круговой угол согласно принимающему кольцу.

Показано, что дробно-линейные преобразования имеют вид конформные карты учитывая их генераторы: мультипликативная инверсия z → 1/z и аффинные преобразования z → а я + б. Соответствие можно подтвердить, продемонстрировав, что все генераторы конформны. Перевод z → z + б является изменением происхождения и не влияет на угол. Чтобы увидеть это z → az конформно, рассмотрим полярное разложение из а и z. В каждом случае угол а добавляется к z в результате получается конформное отображение. Наконец, инверсия конформна, поскольку z → 1/z отправляет ${\displaystyle \exp(yb)\mapsto \exp(-yb),\quad b^{2}=1,0,-1.}$

Смотрите также

• Линейно-дробное программирование
• Методы H-бесконечности в теории управления

Рекомендации

1. Н. Дж. Янг (1984) «Дробно-линейные преобразования в кольцах и модулях», Линейная алгебра и ее приложения 56:251–90
2. К. Л. Сигель (А. Шеницер и М. Третьков, переводчики) (1971) Темы теории сложных функций, том 2, Wiley-Interscience ISBN  0-471-79080 Х
3. Джон Дойл, Энди Паккард, Кемин Чжоу, "Обзор LFT, LMI и му", (1991) Материалы 30-й конференции по принятию решений и контролю [1]
4. Хуан К. Кокберн, "Многомерные реализации систем с параметрической неопределенностью" [2]
5. Кисиль, Владимир В. (2012). Геометрия преобразований Мёбиуса. Эллиптическое, параболическое и гиперболическое действия SL (2, R). Лондон: Imperial College Press. п. xiv + 192. Дои:10.1142 / p835. ISBN  978-1-84816-858-9. Г-Н  2977041.

• Б.А. Дубровин, А. Фоменко, С.П. Новиков (1984) Современная геометрия - методы и приложения, том 1, глава 2, §15 Конформные преобразования евклидовых и псевдоевклидовых пространств нескольких измерений, Springer-Verlag ISBN  0-387-90872-2.
• Джеффри Фокс (1949) Элементарная теория гиперкомплексной переменной и теория конформных отображений в гиперболической плоскости, Дипломная работа, Университет Британской Колумбии.
• П.Г. Гормли (1947) "Стереографическая проекция и дробно-линейная группа преобразований кватернионов", Труды Королевской ирландской академии, Раздел A 51: 67–85.
• А.Э. Моттер и М.А.Ф. Роза (1998) "Гиперболическое исчисление", Успехи в прикладных алгебрах Клиффорда 8 (1): 109–28, §4 Конформные преобразования, стр. 119.
• Цурусабуро Такасу (1941) Gemeinsame Behandlungsweise der elliptischen konformen, hyperbolischen konformen und parabolischen konformen Differentialgeometrie, 2, Известия Императорской Академии 17 (8): 330–8, ссылка с Проект Евклид, Г-Н14282
• Исаак Яглом (1968) Комплексные числа в геометрии, стр. 130 и 157, Академическая пресса