Спрей (математика) - Spray (mathematics)

В дифференциальная геометрия, а спрей это векторное поле ЧАС на касательный пучок TM который кодирует квазилинейный Система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на базовом многообразии M. Обычно требуется, чтобы спрей был однородным в том смысле, что его интегральные кривые т→ Φ_ЧАС^т(ξ) ∈TM подчиняться правилу Φ_ЧАС^т(λξ) = Φ_ЧАС^λt(ξ) в положительных репараметризациях. Если это требование будет снято, ЧАС называется полураспыление.

Спреи возникают естественным образом в Риманов и Финслерова геометрия как геодезические спреи, чей интегральные кривые являются в точности касательными кривыми к кривым, минимизирующим локальную длину. Полураспыления возникают естественным образом как экстремальные кривые интегралов действия в Лагранжева механика. Обобщая все эти примеры, любая (возможно, нелинейная) связь на M вызывает полураспыление ЧАС, и наоборот, любой полубрызг ЧАС индуцирует нелинейную связность без кручения на M. Если исходная связность не имеет кручения, она совпадает со связностью, индуцированной ЧАС, а однородные соединения без кручения находятся во взаимно однозначном соответствии с полными форсунками.^[1]

Формальные определения

Позволять M быть дифференцируемое многообразие и (TM, π_TM,M) его касательное расслоение. Тогда векторное поле ЧАС на TM (это раздел из пучок двойных касательных ТТМ) это полураспыление на M, если выполняется одно из трех эквивалентных условий:

• (π_TM)_*ЧАС_ξ = ξ.
• JH=V, куда J касательная структура на TM и V каноническое векторное поле на TM\0.
• j∘ЧАС=ЧАС, куда j:ТТМ→ТТМ это канонический флип и ЧАС рассматривается как отображение TM→ТТМ.

Полураспыление ЧАС на M это (полный) спрей если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

• ЧАС_λξ = λ_*(λЧАС_ξ), где λ_*:ТТМ→ТТМ является продолжением умножения λ:TM→TM положительным скаляром λ> 0.
• Ли-производная от ЧАС вдоль канонического векторного поля V удовлетворяет [V,ЧАС]=ЧАС.
• Интегральные кривые т→ Φ_ЧАС^т(ξ) ∈TM 0 из ЧАС удовлетворяют Φ_ЧАС^т(λξ) = λΦ_ЧАС^λt(ξ) для любого λ> 0.

Позволять (Икс^я, ξ^я) - локальные координаты на TM связанные с локальными координатами (Икс^я) на M с использованием координатного базиса на каждом касательном пространстве. потом ЧАС это полубрызг на M тогда и только тогда, когда он имеет локальное представление формы

${\displaystyle H_{\xi }=\xi ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\Big |}_{(x,\xi )}-2G^{i}(x,\xi ){\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}{\Big |}_{(x,\xi )}.}$

в каждой связанной системе координат на TM. Полураспыление ЧАС является (полным) спреем, если и только если коэффициенты распыления грамм^я удовлетворить

${\displaystyle G^{i}(x,\lambda \xi )=\lambda ^{2}G^{i}(x,\xi ),\quad \lambda >0.\,}$

Полураспыления в лагранжевой механике

Физическая система моделируется в лагранжевой механике с помощью функции Лагранжа L:TM→р на касательном расслоении некоторого конфигурационного пространства M. Динамический закон получается из принципа Гамильтона, который гласит, что временная эволюция γ: [а,б]→M состояния системы стационарно для интеграла действия

${\displaystyle {\mathcal {S}}(\gamma ):=\int _{a}^{b}L(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))dt}$.

В связанных координатах на TM первая вариация интеграла действия имеет вид

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}{\Big |}_{s=0}{\mathcal {S}}(\gamma _{s})={\Big |}_{a}^{b}{\frac {\partial L}{\partial \xi ^{i}}}X^{i}-\int _{a}^{b}{\Big (}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \xi ^{j}\partial \xi ^{i}}}{\ddot {\gamma }}^{j}+{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x^{j}\partial \xi ^{i}}}{\dot {\gamma }}^{j}-{\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}{\Big )}X^{i}dt,}$

куда Икс:[а,б]→р - векторное поле вариации, связанное с вариацией γ_s:[а,б]→M около γ (т) = γ₀(т). Эту формулу первого варианта можно преобразовать в более информативную форму, введя следующие концепции:

• Ковектор ${\displaystyle \alpha _{\xi }=\alpha _{i}(x,\xi )dx^{i}|_{x}\in T_{x}^{*}M}$ с ${\displaystyle \alpha _{i}(x,\xi )={\tfrac {\partial L}{\partial \xi ^{i}}}(x,\xi )}$ это сопряженный импульс из ${\displaystyle \xi \in T_{x}M}$.
• Соответствующая одноформная ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1}(TM)}$ с ${\displaystyle \alpha _{\xi }=\alpha _{i}(x,\xi )dx^{i}|_{(x,\xi )}\in T_{\xi }^{*}TM}$ это Гильбертова форма связанный с лагранжианом.
• Билинейная форма ${\displaystyle g_{\xi }=g_{ij}(x,\xi )(dx^{i}\otimes dx^{j})|_{x}}$ с ${\displaystyle g_{ij}(x,\xi )={\tfrac {\partial ^{2}L}{\partial \xi ^{i}\partial \xi ^{j}}}(x,\xi )}$ это фундаментальный тензор лагранжиана при ${\displaystyle \xi \in T_{x}M}$.
• Лагранжиан удовлетворяет Условие Лежандра если фундаментальный тензор ${\displaystyle \displaystyle g_{\xi }}$ невырожден на каждом ${\displaystyle \xi \in T_{x}M}$. Тогда обратная матрица ${\displaystyle \displaystyle g_{ij}(x,\xi )}$ обозначается ${\displaystyle \displaystyle g^{ij}(x,\xi )}$.
• В Энергия ассоциированный с лагранжианом ${\displaystyle \displaystyle E(\xi )=\alpha _{\xi }(\xi )-L(\xi )}$.

Если условие Лежандра выполнено, то dα∈Ω²(TM) это симплектическая форма, и существует единственный Гамильтоново векторное поле ЧАС на TM соответствующей функции Гамильтона E такой, что

${\displaystyle \displaystyle dE=-\iota _{H}d\alpha }$.

Позволять (Икс^я,Y^я) - компоненты гамильтонова векторного поля ЧАС в связанных координатах на TM. потом

${\displaystyle \iota _{H}d\alpha =Y^{i}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \xi ^{i}\partial x^{j}}}dx^{j}-X^{i}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \xi ^{i}\partial x^{j}}}d\xi ^{j}}$

и

${\displaystyle dE={\Big (}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x^{i}\partial \xi ^{j}}}\xi ^{j}-{\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}{\Big )}dx^{i}+\xi ^{j}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \xi ^{i}\partial x^{j}}}d\xi ^{i}}$

Итак, мы видим, что гамильтоново векторное поле ЧАС является полубрызгом на конфигурационном пространстве M с коэффициентами распыления

${\displaystyle G^{k}(x,\xi )={\frac {g^{ki}}{2}}{\Big (}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \xi ^{i}\partial x^{j}}}\xi ^{j}-{\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}{\Big )}.}$

Теперь первую вариационную формулу можно переписать в виде

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}{\Big |}_{s=0}{\mathcal {S}}(\gamma _{s})={\Big |}_{a}^{b}\alpha _{i}X^{i}-\int _{a}^{b}g_{ik}({\ddot {\gamma }}^{k}+2G^{k})X^{i}dt,}$

и мы видим γ [а,б]→M стационарен для интеграла действия с фиксированными концами тогда и только тогда, когда его касательная кривая γ ': [а,б]→TM является интегральной кривой для гамильтонова векторного поля ЧАС. Следовательно, динамика механических систем описывается полуоблесами, возникающими из интегралов действия.

Геодезический спрей

Кривые, минимизирующие локальную длину Риманов и Финслеровы многообразия называются геодезические. Используя рамки лагранжевой механики, можно описать эти кривые с помощью струйных структур. Определите функцию Лагранжа на TM к

${\displaystyle L(x,\xi )={\tfrac {1}{2}}F^{2}(x,\xi ),}$

куда F:TM→р это Функция Финслера. В римановом случае используется F²(Икс, ξ) = грамм_ij(Икс) ξ^яξ^j. Теперь представьте концепции из раздела выше. В римановом случае оказывается, что фундаментальный тензор грамм_ij(Икс, ξ) - это просто риманова метрика грамм_ij(Икс). В общем случае условие однородности

${\displaystyle F(x,\lambda \xi )=\lambda F(x,\xi ),\quad \lambda >0}$

финслер-функции вытекает из следующих формул:

${\displaystyle \alpha _{i}=g_{ij}\xi ^{i},\quad F^{2}=g_{ij}\xi ^{i}\xi ^{j},\quad E=\alpha _{i}\xi ^{i}-L={\tfrac {1}{2}}F^{2}.}$

В терминах классической механики последнее уравнение утверждает, что вся энергия в системе (M,L) находится в кинетической форме. Кроме того, получаем свойства однородности

${\displaystyle g_{ij}(\lambda \xi )=g_{ij}(\xi ),\quad \alpha _{i}(x,\lambda \xi )=\lambda \alpha _{i}(x,\xi ),\quad G^{i}(x,\lambda \xi )=\lambda ^{2}G^{i}(x,\xi ),}$

из которых последний говорит, что гамильтоново векторное поле ЧАС для этой механической системы - полный спрей. Геодезические постоянной скорости нижележащего финслеровского (или риманова) многообразия описываются этим спреем по следующим причинам:

• С грамм_ξ положительно определен для финслеровских пространств, каждая достаточно короткая стационарная кривая для функционала длины минимизирует длину.
• Каждая стационарная кривая для интеграла действия имеет постоянную скорость ${\displaystyle F(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))=\lambda }$, поскольку энергия автоматически является константой движения.
• Для любой кривой ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to M}$ постоянной скорости интеграл действия и функционал длины связаны соотношением

${\displaystyle {\mathcal {S}}(\gamma )={\frac {(b-a)\lambda ^{2}}{2}}={\frac {\ell (\gamma )^{2}}{2(b-a)}}.}$

Следовательно, кривая ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to M}$ стационарен по отношению к интегралу действия тогда и только тогда, когда он имеет постоянную скорость и стационарен по отношению к функционалу длины. Гамильтоново векторное поле ЧАС называется геодезический спрей финслерова многообразия (M,F) и соответствующий поток Φ_ЧАС^т(ξ) называется геодезический поток.

Соответствие с нелинейными связями

Полураспыление ЧАС на гладком многообразии M определяет связь Эресмана Т(TM\0) = ЧАС(TM\0) ⊕ V(TM 0) на касательном пучке щелей через его горизонтальную и вертикальную проекции

${\displaystyle h:T(TM\setminus 0)\to T(TM\setminus 0)\quad ;\quad h={\tfrac {1}{2}}{\big (}I-{\mathcal {L}}_{H}J{\big )},}$

${\displaystyle v:T(TM\setminus 0)\to T(TM\setminus 0)\quad ;\quad v={\tfrac {1}{2}}{\big (}I+{\mathcal {L}}_{H}J{\big )}.}$

Эта связь на TM 0 всегда имеет исчезающий тензор кручения, который определяется как скобка Фрелихера-НийенхейсаТ=[J,v]. В более элементарных терминах кручение можно определить как

${\displaystyle \displaystyle T(X,Y)=J[hX,hY]-v[JX,hY)-v[hX,JY].}$

Введение в каноническое векторное поле V на TM 0 и сопряженной конструкции Θ индуцированной связности горизонтальная часть полуобрызга может быть записана как чч= ΘV. Вертикальная часть ε =vH полураспрея известен как инвариант первого распыления, а полураспыление ЧАС сам разлагается на

${\displaystyle \displaystyle H=\Theta V+\epsilon .}$

Первый инвариант распыления связан с натяжением

${\displaystyle \tau ={\mathcal {L}}_{V}v={\tfrac {1}{2}}{\mathcal {L}}_{[V,H]-H}J}$

индуцированной нелинейной связи через обыкновенное дифференциальное уравнение

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V}\epsilon +\epsilon =\tau \Theta V.}$

Следовательно, первый инвариант распыления ε (а значит, и весь полураспыление ЧАС) восстанавливается из нелинейной связности по формуле

${\displaystyle \epsilon |_{\xi }=\int \limits _{-\infty }^{0}e^{-s}(\Phi _{V}^{-s})_{*}(\tau \Theta V)|_{\Phi _{V}^{s}(\xi )}ds.}$

Из этого соотношения также видно, что индуцированная связь однородна тогда и только тогда, когда ЧАС это полный спрей.

Поля Якоби спреев и полубрызгов

Хорошим источником якобиевских полей полуразбрызгивания является раздел 4.4. Уравнения Якоби полубрея общедоступной книги Геометрия Финслера-Лагранжа Букэтару и Мирон. Особо следует отметить их концепцию динамическая ковариантная производная. В другая бумага Букэтару, Константинеску и Даль связывают эту концепцию с концепцией Бипроизводный Косамби оператор.

Для хорошего знакомства с Косамби методы, см. статью, Что такое теория Косамби-Картана-Черна?.

Рекомендации

1. И. Букэтару, Р. Мирон, Геометрия Финслера-Лагранжа, Editura Academiei Române, 2007.

• Штернберг, Шломо (1964), Лекции по дифференциальной геометрии, Прентис-Холл.
• Ланг, Серж (1999), Основы дифференциальной геометрии, Springer-Verlag.