Двойной касательный пучок - Double tangent bundle

В математика, особенно дифференциальная топология, то пучок двойных касательных или второй касательный пучок относится к касательный пучок (ТТМ,π_ТТМ,TM) общей площади TM из касательный пучок (TM,π_TM,M) из гладкое многообразие M.^[1] Примечание к обозначениям: в этой статье мы обозначаем карты проекций их областями, например, π_ТТМ : ТТМ → TM. Некоторые авторы вместо этого индексируют эти карты по их диапазонам, поэтому для них эта карта будет написана π_TM.

Второй касательный пучок возникает при изучении связи и обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка, т. е. (полу) распылительные конструкции на гладких коллекторах, и его не следует путать с струйный пучок второго порядка.

Структура вторичного векторного расслоения и канонический флип

С (TM,π_TM,M) является самостоятельным векторным расслоением, его касательное расслоение имеет структура вторичного векторного расслоения (ТТМ,(π_TM)_*,TM), куда (π_TM)_*:ТТМ→TM продвижение канонической проекции π_TM:TM→M.Далее обозначим

${\displaystyle \xi =\xi ^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{x}\in T_{x}M,\qquad X=X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{x}\in T_{x}M}$

и примените связанную систему координат

${\displaystyle \xi \mapsto (x^{1},\ldots ,x^{n},\xi ^{1},\ldots ,\xi ^{n})}$

на TM. Тогда слой структуры вторичного векторного расслоения при Икс∈Т_ИксM принимает форму

${\displaystyle (\pi _{TM})_{*}^{-1}(X)={\Big \{}\ X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{\xi }+Y^{k}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}{\Big |}_{\xi }\ {\Big |}\ \xi \in T_{x}M\ ,\ Y^{1},\ldots ,Y^{n}\in \mathbb {R} \ {\Big \}}.}$

Расслоение по двойному касательному - это двойное векторное расслоение.

В канонический флип^[2] гладкая инволюция j:ТТМ→ТТМ который меняет эти структуры векторного пространства в том смысле, что это изоморфизм векторного расслоения между (ТТМ,π_ТТМ,TM) и (ТТМ,(π_TM)_*,TM). В связанных координатах на TM это читается как

${\displaystyle j{\Big (}X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{\xi }+Y^{k}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}{\Big |}_{\xi }{\Big )}=\xi ^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{X}+Y^{k}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}{\Big |}_{X}.}$

Канонический флип обладает тем свойством, что для любого ж: р² → M,

${\displaystyle {\frac {\partial f}{{\partial t}{\partial s}}}=j\circ {\frac {\partial f}{{\partial s}{\partial t}}}}$

куда s и т - координаты стандартного базиса р ². Обратите внимание, что обе частные производные являются функциями от р² к ТТМ.

Фактически, это свойство может быть использовано для внутреннего определения канонического переворота.^[3] Действительно, есть погружениеп: J²₀ (р², М) → ТТМ данный

${\displaystyle p([f])={\frac {\partial f}{{\partial t}{\partial s}}}(0,0)}$

куда п можно определить в пространстве двух струй в нуле, поскольку зависит только от ж до двух по нулю. Рассматриваем заявку:

${\displaystyle J:J_{0}^{2}(\mathbb {R} ^{2},M)\to J_{0}^{2}(\mathbb {R} ^{2},M)\quad /\quad J([f])=[f\circ \alpha ]}$

где α (s,т)= (т,s). потом J совместим с проекцией п и индуцирует канонический переворот частного ТТМ.

Канонические тензорные поля на касательном расслоении

Что касается любого векторный набор, касательные пространства Т_ξ(Т_ИксM) волокон Т_ИксM касательного пучка (TM,π_TM,M) можно идентифицировать с волокнами Т_ИксM самих себя. Формально это достигается за счет вертикальный подъемник, который является естественным изоморфизмом векторных пространствvl_ξ:Т_ИксM→V_ξ(Т_ИксM) определяется как

${\displaystyle (\operatorname {vl} _{\xi }X)[f]:={\frac {d}{dt}}{\Big |}_{t=0}f(x,\xi +tX),\qquad f\in C^{\infty }(TM).}$

Вертикальный подъем также можно рассматривать как естественный изоморфизм векторных расслоенийvl: (π_TM)^*TM→VTMиз откатного набора (TM,π_TM,M) над π_TM:TM→M на вертикальный касательный пучок

${\displaystyle VTM:=\operatorname {Ker} (\pi _{TM})_{*}\subset TTM.}$

Вертикальный подъем позволяет нам определить каноническое векторное поле

${\displaystyle V:TM\to TTM;\qquad V_{\xi }:=\operatorname {vl} _{\xi }\xi ,}$

гладкой в ​​касательном расслоении щелей TM 0. Каноническое векторное поле можно также определить как инфинитезимальный генератор действия группы Ли

${\displaystyle \mathbb {R} \times (TM\setminus 0)\to TM\setminus 0;\qquad (t,\xi )\mapsto e^{t}\xi .}$

В отличие от канонического векторного поля, которое может быть определено для любого векторного расслоения, канонический эндоморфизм

${\displaystyle J:TTM\to TTM;\qquad J_{\xi }X:=\operatorname {vl} _{\xi }(\pi _{TM})_{*}X,\qquad X\in T_{\xi }TM}$

является специальным по отношению к касательному расслоению. Канонический эндоморфизм J удовлетворяет

${\displaystyle \operatorname {Ran} (J)=\operatorname {Ker} (J)=VTM,\qquad {\mathcal {L}}_{V}J=-J,\qquad J[X,Y]=J[JX,Y]+J[X,JY],}$

и он также известен как касательная структура по следующей причине. Если (E,п,M) - любое векторное расслоение с каноническим векторным полем V и (1,1) -тензорное поле J который удовлетворяет перечисленным выше свойствам, с VE на месте VTM, то векторное расслоение (E,п,M) изоморфно касательному расслоению (TM,π_TM,M) базового многообразия и J соответствует касательной структуре TM в этом изоморфизме.

Есть и более сильный результат такого рода ^[4] в котором говорится, что если N это 2п-мерное многообразие и если существует (1,1) -тензорное поле J на N это удовлетворяет

${\displaystyle \operatorname {Ran} (J)=\operatorname {Ker} (J),\qquad J[X,Y]=J[JX,Y]+J[X,JY],}$

тогда N диффеоморфно открытому множеству тотального пространства касательного расслоения некоторых п-мерное многообразие M, и J соответствует касательной структуре TM в этом диффеоморфизме.

В любой связанной системе координат на TM каноническое векторное поле и канонический эндоморфизм имеют координатные представления

${\displaystyle V=\xi ^{k}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}},\qquad J=dx^{k}\otimes {\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}.}$

(Полу) распыляемые структуры

А Структура полуспрея на гладком многообразии M по определению является гладким векторным полем ЧАС на TM 0 такой, что JH=V. Эквивалентное определение: j(ЧАС)=ЧАС, куда j:ТТМ→ТТМ канонический флип. Полураспыление ЧАС это спрей, если дополнительно [V,ЧАС]=ЧАС.

Спрей и полуобрызганные структуры являются инвариантными версиями обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на M. Разница между спреем и полуобрызгиванием заключается в том, что кривые раствора спреев неизменны в положительном перепараметризация^{[жаргон ]} как точки на M, в то время как кривые раствора для полуобрызгивания обычно не так.

Нелинейные ковариантные производные на гладких многообразиях

Канонический флип позволяет определять нелинейные ковариантные производные на гладких многообразиях следующим образом. Позволять

${\displaystyle T(TM\setminus 0)=H(TM\setminus 0)\oplus V(TM\setminus 0)}$

быть Связь Эресманна на касательном пучке щелей TM 0 и рассмотрим отображение

${\displaystyle D:(TM\setminus 0)\times \Gamma (TM)\to TM;\quad D_{X}Y:=(\kappa \circ j)(Y_{*}X),}$

куда Y_*:TM→ТТМ это толчок вперед, j:ТТМ→ТТМ канонический флип и κ:Т(TM/0)→TM/ 0 - это карта коннекторов. Отображение D_Икс является дифференцированием в модуле Γ (TM) гладких векторных полей на M в том смысле, что

• ${\displaystyle D_{X}(\alpha Y+\beta Z)=\alpha D_{X}Y+\beta D_{X}Z,\qquad \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$.
• ${\displaystyle D_{X}(fY)=X[f]Y+fD_{X}Y,\qquad \qquad \qquad f\in C^{\infty }(M)}$.

Любое отображение D_Икс с этими свойствами называется (нелинейная) ковариантная производная^[5] на M.Период, термин нелинейный относится к тому факту, что такая ковариантная производная D_Икс on не обязательно линейно по направлению Икс∈TM/ 0 дифференцирования.

Глядя на локальные представления, можно подтвердить, что связи Эресмана на (TM/ 0, π_TM/0,M) и нелинейных ковариантных производных на M находятся во взаимно-однозначном соответствии. Кроме того, если D_Икс линейно по Икс, то связность Эресмана линейна по структура вторичного векторного расслоения, и D_Икс совпадает со своей линейной ковариантной производной.

Смотрите также

• Спрей (математика)
• Структура вторичного векторного расслоения
• Финслеровский коллектор

Рекомендации

1. Дж. М. Ли, Введение в гладкие многообразия, Springer-Verlag, 2003.
2. P.Michor. Темы по дифференциальной геометрии, Американское математическое общество, 2008.
3. Роберт Дж. Фишер и Х. Тернер Лакер, Касательные векторы второго порядка в римановой геометрии, J. Korean Math. Soc. 36 (1999), № 5, стр. 959-1008
4. Д.С. Гоэль, Почти касательные структуры, Kodai Math.Sem.Rep. 26 (1975), 187-193.
5. И.Букатару, Р.Мирон, Геометрия Финслера-Лагранжа, Editura Academiei Române, 2007.