Метод растянутой сетки - Stretched grid method

В метод растянутой сетки (SGM) это численная техника для поиска приближенных решений различных математических и инженерных задач, которые могут быть связаны с поведением упругой сетки. В частности, метеорологи используют метод растянутой сетки для прогнозирования погоды^[1] а инженеры используют метод растянутой сетки для проектирования палаток и других натяжные конструкции.

Уточнение сетки МКЭ и БЭМ

В последние десятилетия заключительный элемент и методы граничных элементов (МКЭ и БЭМ) стали основой промышленного проектирования и анализа. Все более крупные и сложные конструкции моделируются с помощью FEM или BEM. Однако некоторые проблемы инженерного анализа FEM и BEM все еще остаются актуальными. Первая проблема - надежность инженерного анализа, которая сильно зависит от качества исходных данных, генерируемых на этапе предварительной обработки. Известно, что автомат создание сетки методы на этом этапе стали широко используемыми инструментами для анализа сложных моделей реального мира.^[2] С ростом популярности МКЭ и БЭМ появляется стимул для улучшения алгоритмов автоматического построения сетки. Однако все эти алгоритмы могут создавать искаженные и даже непригодные для использования элементы сетки. Существует несколько методов, позволяющих использовать существующую сетку и улучшить ее качество. Например сглаживание (также называемый уточнение сетки ) является одним из таких методов, который перемещает узловые точки, чтобы минимизировать искажение элементов. Метод растянутой сетки (SGM) позволяет очень легко и быстро получать псевдорегулярные сетки в одноэтапном решении (см. ^[3]).

Предположим, что существует произвольная треугольная сетка, встроенная в плоский многоугольный единый когерентный контур и созданная процедурой автоматического зацепления (см. Рис.1). Далее можно предположить, что сетка, рассматриваемая как физическая узловая система, искажена на ряд искажения. Предполагается, что полная потенциальная энергия этой системы пропорциональна длине некоторого ${\displaystyle \ n}$-мерный вектор со всеми сегментами сети в качестве его компонентов.

Рис.1 Треугольная сетка, ограниченная плоским многоугольным однокогерентным контуром

Таким образом, потенциальная энергия принимает следующий вид

${\displaystyle \Pi =D\sum _{j=1}^{n}{R_{j}}^{2}}$

куда

• ${\displaystyle \ n}$ - общее количество сегментов в сети,
• ${\displaystyle \ R_{j}}$ - Длина номера сегмента ${\displaystyle \ j}$,
• ${\displaystyle \ D}$ - произвольная константа.

Длина номера сегмента ${\displaystyle \ j}$ может быть выражено двумя узловыми координатами как

${\displaystyle \ R={\sqrt {(X_{12}-X_{11})^{2}+(X_{22}-X_{21})^{2}}}}$

Также можно предположить, что вектор координат ${\displaystyle \{\ X\}}$ всех узлов связана с неискаженной сетью и вектором координат ${\displaystyle \{\ X'\}}$ связан с искаженной сетью. Выражение для вектора ${\displaystyle \{\ X\}}$ можно записать как

${\displaystyle \{\ X\}=\{\ X'\}+\{\Delta \ X\}}$

Вектор ${\displaystyle \{\ X\}}$ определение связано с минимизацией квадратичной формы ${\displaystyle \ \Pi }$ по инкрементному вектору ${\displaystyle \{\Delta \ X\}}$, т.е.

${\displaystyle {\frac {\partial \Pi }{\partial \Delta X_{kl}}}=0}$

куда

• ${\displaystyle \ l}$ - номер внутреннего узла участка,
• ${\displaystyle \ k}$ - номер координаты

После всех преобразований мы можем записать следующие две независимые системы линейных алгебраических уравнений

${\displaystyle [\ A]\{\Delta X_{1}\}=\{\ B_{1}\}}$

${\displaystyle [\ A]\{\Delta X_{2}\}=\{\ B_{2}\}}$

куда

• ${\displaystyle [\ A]}$ - симметричная матрица в полосчатой ​​форме, аналогичная глобальной матрице жесткости сборки МКЭ,
• ${\displaystyle \{\Delta \ X_{1}\}}$ и ${\displaystyle \{\Delta \ X_{2}\}}$- инкрементальные векторы координат всех узлов по осям 1, 2,
• ${\displaystyle \{\ B_{1}\}}$ и ${\displaystyle \{\ B_{2}\}}$ - векторы правой части, объединенные по координатам всех узлов в осях 1, 2.

Рис.2 Слева: искаженная 2D-сетка, справа: исправленная сетка

Решение обеих систем, сохраняя все граничные узлы консервативными, получает новые положения внутренних узлов, соответствующие неискаженной сетке с псевдорегулярными элементами. Например, на рис. 2 представлена ​​прямоугольная область, покрытая треугольной сеткой. Исходная автоматическая сетка содержит несколько дегенеративных треугольников (левая сетка). Конечная сетка (правая сетка), созданная процедурой SGM, является псевдорегулярной без каких-либо искаженных элементов.

Поскольку указанные выше системы являются линейными, процедура очень быстро переходит в одношаговое решение. Более того, положение каждого конечного внутреннего узла соответствует требованию среднего арифметического координат узлов, окружающих его, и соответствует Делоне критерии тоже. Следовательно, SGM имеет все положительные значения, свойственные лапласиану и другим подходам сглаживания, но намного проще и надежнее из-за целочисленного представления конечных матриц. Наконец, описанный выше SGM прекрасно применим не только к 2D-сеткам, но и к 3D-сеткам, состоящим из любых однородных ячеек, а также к смешанным или переходным сеткам.

Решение задачи с минимальной поверхностью

Математически поверхность, вложенная в неплоскую замкнутую кривую, называется минимальной, если ее площадь минимальна среди всех поверхностей, проходящих через эту кривую. Самый известный образец минимальной поверхности - это мыльная пленка ограничен проволочным каркасом. Обычно для создания минимальной поверхности используется фиктивный конститутивный закон, который поддерживает постоянное предварительное напряжение, независимо от каких-либо изменений деформации.^[4] Альтернативный приближенный подход к решению задачи минимальной поверхности основан на SGM. Эта формулировка позволяет минимизировать поверхность, вложенную в неплоские и плоские замкнутые контуры.

Рис 3. Катеноидный поверхность

Идея состоит в том, чтобы аппроксимировать часть поверхности, встроенную в трехмерный неплоской контур, произвольной треугольной сеткой. Чтобы свести такую ​​треугольную сетку к сетке с минимальной площадью, необходимо решить те же две системы, описанные выше. Приращения третьих узловых координат могут быть дополнительно определены аналогичной системой на оси 3 следующим образом

${\displaystyle [\ A]\{\Delta X_{3}\}=\{\ B_{3}\}}$

Решая все три системы одновременно, можно получить новую сетку, которая будет аппроксимирующей минимальная поверхность вложена в неплоскую замкнутую кривую из-за минимума функции ${\displaystyle \ \Pi }$ где параметр ${\displaystyle \ j=1,2,3}$.

В качестве примера поверхность катеноид которая рассчитывается описанным выше подходом, представлена ​​на рис. 3. Радиусы колец и высота катеноида равны 1,0. Числовая площадь катеноидальной поверхности, определенная SGM, равна 2,9967189 (точное значение 2,992).

Поиск форм натяжных тканевых конструкций

Рис.4 Hypar (гиперболический параболоид)

Рис.5 Седельный навес

Для структурного анализа конфигурация конструкции обычно известна априори. Это не так для натяжные конструкции например, напряжение тканевые конструкции. Поскольку мембрана в натяжной конструкции не обладает жесткостью на изгиб, ее форма или конфигурация зависят от начального предварительного напряжения и нагрузок, которым она подвергается. Таким образом, несущая способность и форма мембраны не могут быть разделены и в целом не могут быть описаны только простыми геометрическими моделями. Форма мембраны, нагрузки на конструкцию и внутренние напряжения взаимодействуют нелинейным образом, удовлетворяя уравнениям равновесия.

Рис.6 Модель сетки покрытия танцпола

Рис.7 Визуализация покрытия танцпола

Рис.8 Настоящее покрытие танцпола

Предварительное проектирование натяжных конструкций включает определение исходной конфигурации, называемой поиском формы. Помимо выполнения условий равновесия, первоначальная конфигурация должна удовлетворять как архитектурным (эстетическим), так и структурным (прочность и устойчивость) требованиям. Кроме того, должны быть соблюдены требования к пространству и зазору, основные напряжения мембраны должны быть растягивающими, чтобы избежать образования складок, а радиусы поверхности с двойной кривизной должны быть достаточно малыми, чтобы выдерживать нагрузки вне плоскости и обеспечивать стабильность конструкции ( работай ^[5]). Было разработано несколько вариантов подходов к поиску формы, основанных на МКЭ, чтобы помочь инженерам в проектировании натяжных тканевых конструкций. Все они основаны на том же предположении, которое используется для анализа поведения натяжных конструкций при различных нагрузках. Однако, как отмечают некоторые исследователи, иногда может быть предпочтительнее использовать так называемый "минимальные поверхности ’В проектировании натяжных конструкций.

Физический смысл SGM заключается в сведении энергии произвольной сеточной структуры, встроенной в жесткий (или упругий) трехмерный контур, к минимуму, который эквивалентен минимальным суммарным расстояниям между произвольными парами узлов сетки. Это позволяет найти решение задачи минимальной поверхностной энергии, заменяющее нахождение минимума суммарной энергии сеточной структуры, что обеспечивает гораздо более простую конечную систему алгебраических уравнений, чем обычная формулировка МКЭ. Обобщенная формулировка SGM предполагает возможность применения набора внешних сил и жестких или упругих ограничений к узлам структуры сетки, что позволяет моделировать различные внешние эффекты. Мы можем получить следующее выражение для такой рецептуры SGM

${\displaystyle \Pi =\sum _{j=1}^{n}D_{j}R_{j}^{2}+\sum _{i=1}^{3}\left(\sum _{k=1}^{m}C_{ik}\Delta X_{ik}^{2}-\sum _{k=1}^{m}P_{ik}\Delta X_{ik}\right)}$

куда

• ${\displaystyle \ n}$ - общее количество сегментов сетки,
• ${\displaystyle \ m}$ - общее количество узлов,
• ${\displaystyle \ R_{j}}$ - длина номера сегмента ${\displaystyle \ j}$,
• ${\displaystyle \ D_{j}}$ - жесткость номера сегмента ${\displaystyle \ j}$,
• ${\displaystyle \ \Delta X_{ik}}$ - приращение координат узла ${\displaystyle \ k}$ на оси ${\displaystyle \ i}$,
• ${\displaystyle \ C_{ik}}$ - жесткость упругой связи в узле ${\displaystyle \ k}$ на оси ${\displaystyle \ i}$,
• ${\displaystyle \ P_{ik}}$ - внешняя сила в узле ${\displaystyle \ k}$ на оси ${\displaystyle \ i}$.

Проблема разворачивания и создание схемы раскроя

Как только удовлетворительная форма найдена, схема резки могут быть созданы. Натяжные конструкции сильно различаются по размеру, кривизне и жесткости материала. Аппроксимация схемы раскроя сильно зависит от каждого из этих факторов. Для метода создания схемы раскроя важно минимизировать возможное приближение и получить надежные данные о плоской ткани.

Цель состоит в том, чтобы разработать формы, описываемые этими данными, максимально приближенные к идеальным дважды изогнутым полосам. Обычно создание схемы раскроя состоит из двух этапов. Во-первых, общая поверхность натяжной конструкции делится на отдельные полотна. Соответствующий шаблон раскроя на втором этапе можно найти, просто взяв каждую полоску ткани и развернув ее на плоском участке. В случае идеальной двояковыпуклой поверхности мембраны подповерхность не может быть просто развернута, и они должны быть выровнены. Например, в,^[6][7] SGM использовался для решения проблемы сплющивания.

Задача создания схемы раскроя фактически подразделяется на две независимые постановки. Это создание плоской формы без искажений, которая разворачивает каждую полосу ткани и выравнивает поверхности с двойной кривизной, которые невозможно просто развернуть. Внимательно изучив проблему, можно заметить, что с позиции дифференциальная геометрия оба состава одинаковы. Мы можем рассматривать это как изометрическое отображение поверхности на плоскость, которая будет конформное отображение и эквивалентное отображение одновременно из-за неизменности углов между любыми кривыми и неизменности любых кусков площади. В случае поверхности с одним изгибом, которая может быть точно развернута равноплощадочный Маппинг позволяет без искажений получить раскрой структуры ткани. Второй тип поверхностей может быть равноплощадочный нанесена на карту лишь приблизительно с некоторыми искажениями линейных элементов поверхности, ограниченными свойствами ткани. Предположим, что две поверхности параметризованный так что их первые квадратичные формы можно записать следующим образом

${\displaystyle I_{1}=E_{1}(u,v)\operatorname {d} u^{2}+2F_{1}(u,v)\operatorname {d} u\operatorname {d} v+G_{1}(u,v)\operatorname {d} v^{2}}$

${\displaystyle I_{2}=E_{2}(u,v)\operatorname {d} u^{2}+2F_{2}(u,v)\operatorname {d} u\operatorname {d} v+G_{2}(u,v)\operatorname {d} v^{2}}$

Состояние конформное отображение для двух поверхностей, как это сформулировано в дифференциальной геометрии, требует, чтобы

${\displaystyle {\sqrt {I_{2}}}=\lambda {\sqrt {I_{1}}}}$

куда ${\displaystyle \ \lambda }$ - коэффициент искажения поверхности из-за конформного отображения.

Известно, что первая квадратичная форма отражает расстояние между двумя точками поверхности ${\displaystyle \ (u,v)}$ и ${\displaystyle \ (u+\operatorname {d} u,v+\operatorname {d} v)}$. Когда ${\displaystyle \ \lambda }$-отношение близко к 1, указанное выше уравнение сходится к условию изометрического отображения и к равноплощадному отображению соответственно из-за инвариантных углов между любыми кривыми и инвариантности любых частей площади. Помня, что первый этап поиска формы основан на треугольной сетке поверхности и использовании метод взвешенных остатков для описания изометрического и равноплоскостного отображения минимальной поверхности на плоскую область мы можем написать следующую функцию, которая определяется суммой интегралов по отрезкам криволинейных треугольников

${\displaystyle \Pi =D\sum _{j=1}^{n}\oint _{S_{j}}w_{j}\left(\lambda {\sqrt {I_{1}}}-{\sqrt {I_{2}}}\right)^{2}\operatorname {d} s}$

куда

• ${\displaystyle \ n}$ - общее количество ячеек сетки,
• ${\displaystyle \ w_{j}}$ - весовые коэффициенты,
• ${\displaystyle \ \Pi }$ - общий остаток отображения,
• ${\displaystyle \ D}$ - константа, которая не влияет на конечный результат и может использоваться как коэффициент масштабирования.

Учитывая другие весовые коэффициенты ${\displaystyle \ w_{j}=1}$ мы можем преобразовать уравнение. в приближенную конечную сумму, которая представляет собой комбинацию линейных расстояний между узлами поверхностной сетки, и запишите основное условие равноплощадного отображения поверхности как минимум следующей нелинейной функции

${\displaystyle \Pi =D\sum _{j=1}^{n}\oint _{S_{j}}w_{j}\left(\lambda R_{j}-L_{j}\right)^{2}\operatorname {d} s}$

куда

• ${\displaystyle \ R_{j}}$ - начальная длина номера линейного отрезка ${\displaystyle \ j}$,
• ${\displaystyle \ L_{j}}$ - окончательная длина номера сегмента ${\displaystyle \ j}$,
• ${\displaystyle \ \lambda }$ - коэффициент искажения близок к 1 и может быть разным для каждого сегмента.

Начальная и конечная длины номера сегмента ${\displaystyle \ j}$ может быть выражено, как обычно, двумя узловыми координатами как

${\displaystyle R={\sqrt {(X_{12}-X_{11})^{2}+(X_{22}-X_{21})^{2}+(X_{32}-X_{31})^{2}}}}$

${\displaystyle L={\sqrt {(x_{12}-x_{11})^{2}+(x_{22}-x_{21})^{2}}}}$

куда

• ${\displaystyle \ X_{ik}}$ - координаты узлов начального участка,
• ${\displaystyle \ x_{ik}}$ - координаты узлов конечного участка.

Согласно исходному предположению мы можем написать ${\displaystyle \ x_{32}=x_{31}=0}$ для отображения плоской поверхности. Выражение для векторов ${\displaystyle \{\ x\}}$ и ${\displaystyle \{\ X\}}$ с координатными приращениями срок использования может быть записан как

${\displaystyle \{\ x\}=\{\ X\}+\{\Delta \ X\}}$

Рис. 9 Вырез тента из двух козырьков

Рис.10 Исходный вид нашивки

Рис.11 Плоский патч

Вектор ${\displaystyle \{\Delta \ X\}}$ определение сделано как ранее

${\displaystyle {\frac {\partial \Pi }{\partial \Delta X_{kl}}}=0}$

После преобразований мы можем записать следующие две независимые системы нелинейных алгебраических уравнений

${\displaystyle [\ A]\{\Delta X_{1}\}=\{\ B_{1}\}+\{\Delta P_{1}\}}$

${\displaystyle [\ A]\{\Delta X_{2}\}=\{\ B_{2}\}+\{\Delta P_{2}\}}$

где все части системы могут быть выражены как ранее и ${\displaystyle \{\ \Delta P_{1}\}}$ и ${\displaystyle \{\ \Delta P_{2}\}}$ - векторы псевдонапряжений в осях 1, 2, которые имеют следующий вид

${\displaystyle \{\Delta P_{lt}\}=-\left\{\sum _{j=1}^{N}\lambda {\frac {R_{m}}{L_{m}}}(x_{lm}-x_{lt})\right\}}$

куда

• ${\displaystyle \ N}$ - общее количество узлов, окружающих номер узла ${\displaystyle \ t}$,
• ${\displaystyle \ l}$ - количество глобальных осей.

Вышеупомянутый подход является другой формой SGM и позволяет получить две независимые системы нелинейных алгебраических уравнений, которые могут быть решены с помощью любой стандартной итерационной процедуры. Чем меньше гауссова кривизна поверхности, тем выше точность отображения плоскости. Как правило, картографирование плоскости позволяет получить узор с линейными размерами на 1-2% меньше соответствующих пространственных линий конечной поверхности. Поэтому при нанесении рисунка необходимо обеспечить соответствующие поля.

Типичный образец вырезки - также называемый вырезом, кровь (сегмент), или нашивка - представлена ​​на рис. 9, 10, 11.

Смотрите также

• Генерация сетки
• Виды сетки

Рекомендации

1. ЦЯНЬ Цзянь-хуа. «Применение растянутой сетки с переменным разрешением к региональной модели атмосферы с физической параметризацией»
2. Зенкевич О.С., Келли Д.В., Беттес П. Связь метода конечных элементов и процедуры граничного решения. // Международный журнал численных методов в технике, вып. 11, N 12, 1977. С. 355–375.
3. Попов Е.В.,О некоторых вариационных формулировках минимальной поверхности. Труды Канадского общества инженеров механики, Univ. Альберты, том 20, № 4, 1997 г., стр. 391–400.
4. Табаррок, Ю. Сюн. Некоторые вариационные формулировки минимальной поверхности. Acta Mechanica, том 89 / 1–4, 1991, стр. 33–43.
5. Б. Табаррок, З. Цинь. Поиск формы и создание рисунка раскроя для тканевых натяжных конструкций, -Микрокомпьютеры в гражданском строительстве, J., № 8, 1993, стр. 377–384).
6. Попов Е.В. Геометрическое моделирование тканевых конструкций палатки методом растянутой сетки.. (на русском языке) Материалы 11-й Международной конференции по компьютерной графике и зрению GRAPHICON’2001, УНН, Нижний Новгород, 2001. С. 138–143.
7. Попов, Е.В. Создание схемы раскроя тентовых конструкций, представленных минимумом поверхностей. Труды Канадского общества машиностроения, Univ. Альберты, т. 22, N 4A, 1999, стр. 369–377.

внешняя ссылка

• К3-Тент система для наложения форм и раскроя натяжных тканевых конструкций
• Кубантент корп