Избыточное число - Superabundant number

В математика, а сверхизбыточное число (иногда сокращенно SA) является своего рода натуральное число. Натуральное число п называется сверхизбыточным именно тогда, когда при всех м < п

${\displaystyle {\frac {\sigma (m)}{m}}<{\frac {\sigma (n)}{n}}}$

куда σ обозначает функция суммы делителей (т.е. сумма всех положительных делителей п, включая п сам). Первые несколько избыточных чисел 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, ... (последовательность A004394 в OEIS ). Например, число 5 не является избыточным числом, потому что для 1, 2, 3, 4 и 5 сигма равна 1, 3, 4, 7, 6 и 7/4> 6/5.

Избыточные числа определялись Леонидас Алаоглу и Пол Эрдёш  (1944 ). Неизвестно Алаоглу и Эрдешу, около 30 страниц статьи Рамануджана 1915 года «Очень сложные числа» были закрыты. Эти страницы были наконец опубликованы в The Ramanujan Journal 1 (1997), 119–153. В разделе 59 этой статьи Рамануджан дает определение обобщенного очень сложные числа, которые включают в себя избыточные числа.

Характеристики

Диаграмма Эйлера из обильный, примитивный изобилие, очень много, избыточный, колоссально обильный, очень сложный, превосходный высоко композитный, странный и идеальные числа меньше 100 по отношению к неполноценный и составные числа

Леонидас Алаоглу и Пол Эрдёш  (1944 ) доказал, что если п сверхизбыток, то существует k и а₁, а₂, ..., а_k такой, что

${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}(p_{i})^{a_{i}}}$

куда п_я это я-е простое число и

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \dotsb \geq a_{k}\geq 1.}$

То есть они доказали, что если п сверхизбыточно, простое разложение п имеет невозрастающие показатели (показатель большего простого числа никогда не бывает больше, чем это меньшее простое число) и что все простые числа до ${\displaystyle p_{k}}$ факторы п. Тогда, в частности, любое сверхизбыточное число является четным целым числом, кратным числу k-го первобытный ${\displaystyle p_{k}\#.}$

Фактически, последний показатель а_k равно 1, кроме случаев, когда n равно 4 или 36.

Избыточные числа тесно связаны с очень сложные числа. Не все избыточные числа являются очень сложными числами. Фактически, только 449 избыточных и очень сложных чисел одинаковы (последовательность A166981 в OEIS ). Например, 7560 очень сложен, но не избыточен. И наоборот, 1163962800 избыточен, но не очень сложен.

Алаоглу и Эрдеш заметили, что все сверхизбыточные числа очень много.

Не все избыточные числа Числа харшада. Первым исключением является 105-й номер SA, 149602080797769600. Сумма цифр равна 81, но 81 не делится на этот номер SA равномерно.

Избыточные числа также представляют интерес в связи с Гипотеза Римана, и с Теорема Робина что гипотеза Римана эквивалентна утверждению, что

${\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{e^{\gamma }n\log \log n}}<1}$

для всех п больше, чем самое большое известное исключение, сверхизбыточное число 5040. Если это неравенство имеет больший контрпример, доказывающий ложность гипотезы Римана, наименьший такой контрпример должен быть сверхизбыточным числом (Акбари и Фриггстад ​​2009 ).

Не все избыточные числа колоссально обильный.

Расширение

В обобщенный ${\displaystyle k}$-супер обильные номера такие, что ${\displaystyle {\frac {\sigma _{k}(m)}{m^{k}}}<{\frac {\sigma _{k}(n)}{n^{k}}}}$ для всех ${\displaystyle m<n}$, куда ${\displaystyle \sigma _{k}(n)}$ это сумма ${\displaystyle k}$-ые степени делителей ${\displaystyle n}$.

1-сверхизобильные числа - сверхизбыточные числа. 0-сверхизобильные числа - очень сложные числа.

Например, обобщенные числа с двумя сверхизобильными числами: 1, 2, 4, 6, 12, 24, 48, 60, 120, 240,… (A208767 в OEIS)

Рекомендации

• Бриггс, Кейт (2006), «Обильные числа и гипотеза Римана», Экспериментальная математика, 15: 251–256.
• Акбары, Амир; Фриггстад, Захари (2009), «Сверхизобилие и гипотеза Римана», Американский математический ежемесячный журнал, 116 (3): 273–275, Дои:10.4169 / 193009709X470128.
• Алаоглу, Леонидас; Эрдеш, Пол (1944), «О очень сложных и похожих числах», Труды Американского математического общества, Американское математическое общество, 56 (3): 448–469, Дои:10.2307/1990319, JSTOR  1990319.

внешняя ссылка

• MathWorld: сверхизбыточное число