Риск хвоста (TVaR ), также известный как хвостовое условное ожидание (ТВК ) или же условное хвостовое ожидание (CTE ), это мера риска связаны с более общим стоимость под риском . Он количественно оценивает ожидаемую величину убытка с учетом того, что произошло событие за пределами заданного уровня вероятности.
Фон В литературе есть ряд связанных, но несколько отличающихся друг от друга формулировок TVaR. В литературе часто встречается определение TVaR и средняя величина риска в той же мере.[1] ожидаемый дефицит когда основной функция распределения является непрерывный в VaR α ( Икс ) {displaystyle operatorname {VaR} _ {alpha} (X)} α {displaystyle alpha} [2] [3] согласованная мера риска в целом, однако, оно согласовано, если лежащее в основе распределение является непрерывным.[4] [3] ожидание только в хвосте раздачи.
Математическое определение Каноническое значение хвоста в опасности - это левый хвост (большие отрицательные значения) в некоторых дисциплинах и правый хвост (большие положительные значения) в других, например актуарная наука . Обычно это происходит из-за разницы в правилах рассмотрения потерь как больших отрицательных или положительных значений. Используя соглашение об отрицательных значениях, Артцнер и другие определяют конечное значение риска как:
Учитывая случайная переменная Икс {displaystyle X} 0 < α < 1 {displaystyle 0 <альфа <1} [5] [6] [7] [8]
TVaR α ( Икс ) = E [ − Икс | Икс ≤ − VaR α ( Икс ) ] = E [ − Икс | Икс ≤ Икс α ] , {displaystyle имя оператора {TVaR} _ {alpha} (X) = имя оператора {E} [-X | Xleq -имя оператора {VaR} _ {alpha} (X)] = имя оператора {E} [-X | Xleq x ^ {alpha }],} куда Икс α {displaystyle x ^ {alpha}} α {displaystyle alpha} квантиль данный Икс α = инф { Икс ∈ р : Pr ( Икс ≤ Икс ) > α } {displaystyle x ^ {alpha} = inf {xin mathbb {R}: Pr (Xleq x)> alpha}} Икс {displaystyle X} Lп -Космос куда п ≥ 1 {displaystyle pgeq 1} α {displaystyle alpha}
Формулы для непрерывных распределений вероятностей Существуют закрытые формулы для расчета TVaR, когда доходность портфеля Икс {displaystyle X} L = − Икс {displaystyle L = -X} Икс {displaystyle X} функция плотности вероятности (p.d.f.) ж {displaystyle f} кумулятивная функция распределения (c.d.f.) F {displaystyle F}
TVaR α ( Икс ) = E [ − Икс | Икс ≤ − VaR α ( Икс ) ] = − 1 α ∫ 0 α VaR γ ( Икс ) d γ = − 1 α ∫ − ∞ F − 1 ( α ) Икс ж ( Икс ) d Икс . {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = operatorname {E} [-X | Xleq -operatorname {VaR} _ {alpha} (X)] = - {frac {1} {alpha}} int _ { 0} ^ {alpha} имя оператора {VaR} _ {gamma} (X) dgamma = - {frac {1} {alpha}} int _ {- infty} ^ {F ^ {- 1} (alpha)} xf (x ) dx.}
В инженерных или актуарных приложениях чаще рассматривается распределение убытков. L = − Икс {displaystyle L = -X} α {displaystyle alpha}
TVaR α верно ( L ) = E [ L ∣ L ≥ V а р α ( L ) ] = 1 1 − α ∫ α 1 V а р γ ( L ) d γ = 1 1 − α ∫ F − 1 ( α ) + ∞ у ж ( у ) d у {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} ^ {ext {right}} (L) = E [Lmid Lgeq VaR_ {alpha} (L)] = {frac {1} {1-alpha}} int _ {alpha} ^ {1} VaR_ {gamma} (L) dgamma = {frac {1} {1-alpha}} int _ {F ^ {- 1} (alpha)} ^ {+ infty} yf (y) dy}
Поскольку некоторые формулы ниже были получены для случая левого хвоста, а некоторые - для случая правого хвоста, следующие согласования могут быть полезны:
TVaR α ( Икс ) = − 1 α E [ Икс ] + 1 − α α TVaR α верно ( L ) {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = - {frac {1} {alpha}} E [X] + {frac {1-alpha} {alpha}} operatorname {TVaR} _ {alpha} ^ { ext {right}} (L)} TVaR α верно ( L ) = 1 1 − α E [ L ] + α 1 − α TVaR α ( Икс ) {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} ^ {ext {right}} (L) = {frac {1} {1-alpha}} E [L] + {frac {alpha} {1-alpha}} operatorname { TVaR} _ {alpha} (X)}
Нормальное распределение Если доходность портфеля Икс {displaystyle X} нормальное (гауссово) распределение с п.о.ф. ж ( Икс ) = 1 2 π σ е − ( Икс − μ ) 2 2 σ 2 {displaystyle f (x) = {frac {1} {{sqrt {2pi}} sigma}} e ^ {- {frac {(x-mu) ^ {2}} {2sigma ^ {2}}}}} TVaR α ( Икс ) = − μ + σ ϕ ( Φ − 1 ( α ) ) α {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = - mu + sigma {frac {phi (Phi ^ {- 1} (alpha))} {alpha}}} ϕ ( Икс ) = 1 2 π е − Икс 2 2 {displaystyle phi (x) = {frac {1} {sqrt {2pi}}} e ^ {- {frac {x ^ {2}} {2}}}} Φ ( Икс ) {displaystyle Phi (x)} Φ − 1 ( α ) {displaystyle Phi ^ {- 1} (альфа)} [9]
Если потеря портфеля L {displaystyle L} TVaR α верно ( L ) = μ + σ ϕ ( Φ − 1 ( α ) ) 1 − α {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} ^ {ext {right}} (L) = mu + sigma {frac {phi (Phi ^ {- 1} (alpha))} {1-alpha}}} [10]
Обобщенное t-распределение Стьюдента Если доходность портфеля Икс {displaystyle X} Распределение Стьюдента с п.о.ф. ж ( Икс ) = Γ ( ν + 1 2 ) Γ ( ν 2 ) π ν σ ( 1 + 1 ν ( Икс − μ σ ) 2 ) − ν + 1 2 {displaystyle f (x) = {frac {Gamma {igl (}} {frac {u +1} {2}} {igr)}} {Gamma {igl (} {frac {u} {2}} {igr)} {sqrt {pi u}} sigma}} {Bigl (} 1+ {frac {1} {u}} {igl (} {frac {x-mu} {sigma}} {igr)} ^ {2} {Bigr )} ^ {- {гидроразрыв {u +1} {2}}}} TVaR α ( Икс ) = − μ + σ ν + ( Т − 1 ( α ) ) 2 ν − 1 τ ( Т − 1 ( α ) ) α {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = - mu + sigma {frac {u + (mathrm {T} ^ {- 1} (alpha)) ^ {2}} {u -1}} {frac {au (mathrm {T} ^ {- 1} (альфа))} {альфа}}} τ ( Икс ) = Γ ( ν + 1 2 ) Γ ( ν 2 ) π ν ( 1 + Икс 2 ν ) − ν + 1 2 {displaystyle au (x) = {frac {Gamma {igl (}} {frac {u +1} {2}} {igr)}} {Gamma {igl (} {frac {u} {2}} {igr)} {sqrt {pi u}}}} {Bigl (} 1+ {frac {x ^ {2}} {u}} {Bigr)} ^ {- {frac {u +1} {2}}}} Т ( Икс ) {displaystyle mathrm {T} (x)} Т − 1 ( α ) {displaystyle mathrm {T} ^ {- 1} (альфа)} [9]
Если потеря портфеля L {displaystyle L} TVaR α верно ( L ) = μ + σ ν + ( Т − 1 ( α ) ) 2 ν − 1 τ ( Т − 1 ( α ) ) 1 − α {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} ^ {ext {right}} (L) = mu + sigma {frac {u + (mathrm {T} ^ {- 1} (alpha)) ^ {2}} {u -1}} {гидроразрыв {au (mathrm {T} ^ {- 1} (альфа))} {1-альфа}}} [10]
Распределение Лапласа Если доходность портфеля Икс {displaystyle X} Распределение Лапласа с п.о.ф. ж ( Икс ) = 1 2 б е − | Икс − μ | б {displaystyle f (x) = {frac {1} {2b}} e ^ {- {frac {| x-mu |} {b}}}} F ( Икс ) = { 1 − 1 2 е − Икс − μ б если Икс ≥ μ , 1 2 е Икс − μ б если Икс < μ . {displaystyle F (x) = {egin {case} 1- {frac {1} {2}} e ^ {- {frac {x-mu} {b}}} & {ext {if}} xgeq mu, {frac {1} {2}} e ^ {frac {x-mu} {b}} & {ext {if}} x TVaR α ( Икс ) = − μ + б ( 1 − пер 2 α ) {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = - mu + b (1-ln 2alpha)} α ≤ 0.5 {displaystyle alpha leq 0.5} [9]
Если потеря портфеля L {displaystyle L} TVaR α верно ( L ) = { μ + б α 1 − α ( 1 − пер 2 α ) если α < 0.5 , μ + б [ 1 − пер ( 2 ( 1 − α ) ) ] если α ≥ 0.5. {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} ^ {ext {right}} (L) = {egin {cases} mu + b {frac {alpha} {1-alpha}} (1-ln 2alpha) & {ext { if}} альфа <0,5, mu + b [1-ln (2 (1-альфа))] & {ext {if}} альфа geq 0.5.end {case}}} [10]
Логистическая дистрибуция Если доходность портфеля Икс {displaystyle X} логистическая дистрибуция с п.о.ф. ж ( Икс ) = 1 s е − Икс − μ s ( 1 + е − Икс − μ s ) − 2 {displaystyle f (x) = {frac {1} {s}} e ^ {- {frac {x-mu} {s}}} {Bigl (} 1 + e ^ {- {frac {x-mu} { s}}} {Bigr)} ^ {- 2}} F ( Икс ) = ( 1 + е − Икс − μ s ) − 1 {displaystyle F (x) = {Bigl (} 1 + e ^ {- {frac {x-mu} {s}}} {Bigr)} ^ {- 1}} TVaR α ( Икс ) = − μ + s пер ( 1 − α ) 1 − 1 α α {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = - mu + sln {frac {(1-alpha) ^ {1- {frac {1} {alpha}}}} {alpha}}} [9]
Если потеря портфеля L {displaystyle L} логистическая дистрибуция , правый хвост TVaR равен TVaR α верно ( L ) = μ + s − α пер α − ( 1 − α ) пер ( 1 − α ) 1 − α {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} ^ {ext {right}} (L) = mu + s {frac {-alpha ln alpha - (1-alpha) ln (1-alpha)} {1-alpha}} } [10]
Экспоненциальное распределение Если потеря портфеля L {displaystyle L} экспоненциальное распределение с п.о.ф. ж ( Икс ) = { λ е − λ Икс если Икс ≥ 0 , 0 если Икс < 0. {displaystyle f (x) = {egin {case} lambda e ^ {- lambda x} & {ext {if}} xgeq 0, 0 & {ext {if}} x <0.end {cases}}} F ( Икс ) = { 1 − е − λ Икс если Икс ≥ 0 , 0 если Икс < 0. {displaystyle F (x) = {egin {cases} 1-e ^ {- lambda x} & {ext {if}} xgeq 0, 0 & {ext {if}} x <0.end {cases}}} TVaR α верно ( L ) = − пер ( 1 − α ) + 1 λ {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} ^ {ext {right}} (L) = {frac {-ln (1-alpha) +1} {lambda}}} [10]
Распределение Парето Если потеря портфеля L {displaystyle L} Распределение Парето с п.о.ф. ж ( Икс ) = { а Икс м а Икс а + 1 если Икс ≥ Икс м , 0 если Икс < Икс м . {displaystyle f (x) = {egin {case} {frac {ax_ {m} ^ {a}} {x ^ {a + 1}}} & {ext {if}} xgeq x_ {m}, 0 & { ext {if}} x F ( Икс ) = { 1 − ( Икс м / Икс ) а если Икс ≥ Икс м , 0 если Икс < Икс м . {displaystyle F (x) = {egin {case} 1- (x_ {m} / x) ^ {a} & {ext {if}} xgeq x_ {m}, 0 & {ext {if}} x TVaR α верно ( L ) = Икс м а ( 1 − α ) 1 / α ( а − 1 ) {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} ^ {ext {right}} (L) = {frac {x_ {m} a} {(1-alpha) ^ {1 / alpha} (a-1)}}} [10]
Обобщенное распределение Парето (GPD) Если потеря портфеля L {displaystyle L} GPD с п.о.ф. ж ( Икс ) = 1 s ( 1 + ξ ( Икс − μ ) s ) ( − 1 ξ − 1 ) {displaystyle f (x) = {frac {1} {s}} {Bigl (} 1+ {frac {xi (x-mu)} {s}} {Bigr)} ^ {{igl (} - {frac { 1} {xi}} - 1 {игр)}}} F ( Икс ) = { 1 − ( 1 + ξ ( Икс − μ ) s ) − 1 ξ если ξ ≠ 0 , 1 − exp ( − Икс − μ s ) если ξ = 0. {displaystyle F (x) = {egin {case} 1- {Big (} 1+ {frac {xi (x-mu)} {s}} {Big)} ^ {- {frac {1} {xi}} } & {ext {if}} xi eq 0, 1-exp {igl (} - {frac {x-mu} {s}} {igr)} & {ext {if}} xi = 0.end {case }}} TVaR α верно ( L ) = { μ + s [ ( 1 − α ) − ξ 1 − ξ + ( 1 − α ) − ξ − 1 ξ ] если ξ ≠ 0 , μ + s [ 1 − пер ( 1 − α ) ] если ξ = 0. {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} ^ {ext {right}} (L) = {egin {cases} mu + s {Bigl [} {frac {(1-alpha) ^ {- xi}} {1- xi}} + {frac {(1-alpha) ^ {- xi} -1} {xi}} {Bigr]} & {ext {if}} xi eq 0, mu + s [1-ln (1- альфа)] & {ext {if}} xi = 0.end {case}}} V а р α ( L ) = { μ + s ( 1 − α ) − ξ − 1 ξ если ξ ≠ 0 , μ − s пер ( 1 − α ) если ξ = 0. {displaystyle VaR_ {alpha} (L) = {egin {cases} mu + s {frac {(1-alpha) ^ {- xi} -1} {xi}} & {ext {if}} xi eq 0, mu -sln (1-альфа) & {ext {if}} xi = 0.end {case}}} [10]
Распределение Вейбулла Если потеря портфеля L {displaystyle L} Распределение Вейбулла с п.о.ф. ж ( Икс ) = { k λ ( Икс λ ) k − 1 е − ( Икс / λ ) k если Икс ≥ 0 , 0 если Икс < 0. {displaystyle f (x) = {egin {cases} {frac {k} {lambda}} {Big (} {frac {x} {lambda}} {Big)} ^ {k-1} e ^ {- (x / lambda) ^ {k}} & {ext {if}} xgeq 0, 0 & {ext {if}} x <0.end {case}}} F ( Икс ) = { 1 − е − ( Икс / λ ) k если Икс ≥ 0 , 0 если Икс < 0. {displaystyle F (x) = {egin {cases} 1-e ^ {- (x / lambda) ^ {k}} & {ext {if}} xgeq 0, 0 & {ext {if}} x <0. конец {case}}} TVaR α верно ( L ) = λ 1 − α Γ ( 1 + 1 k , − пер ( 1 − α ) ) {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} ^ {ext {right}} (L) = {frac {lambda} {1-alpha}} Gamma {Big (} 1+ {frac {1} {k}}, - ln (1-альфа) {Большой)}} Γ ( s , Икс ) {displaystyle Gamma (s, x)} верхняя неполная гамма-функция .[10]
Обобщенное распределение экстремальных значений (GEV) Если доходность портфеля Икс {displaystyle X} GEV с п.о.ф. ж ( Икс ) = { 1 σ ( 1 + ξ Икс − μ σ ) − 1 ξ − 1 exp [ − ( 1 + ξ Икс − μ σ ) − 1 ξ ] если ξ ≠ 0 , 1 σ е − Икс − μ σ е − е − Икс − μ σ если ξ = 0. {displaystyle f (x) = {egin {case} {frac {1} {sigma}} {Bigl (} 1 + xi {frac {x-mu} {sigma}} {Bigr)} ^ {- {frac {1 } {xi}} - 1} exp {Bigl [} - {Bigl (} 1 + xi {frac {x-mu} {sigma}} {Bigr)} ^ {- {frac {1} {xi}}} { Bigr]} & {ext {if}} xi eq 0, {frac {1} {sigma}} e ^ {- {frac {x-mu} {sigma}}} e ^ {- e ^ {- {frac {x-mu} {sigma}}}} & {ext {if}} xi = 0.end {case}}} F ( Икс ) = { exp ( − ( 1 + ξ Икс − μ σ ) − 1 ξ ) если ξ ≠ 0 , exp ( − е − Икс − μ σ ) если ξ = 0. {displaystyle F (x) = {egin {case} exp {Big (} - {ig (} 1 + xi {frac {x-mu} {sigma}} {ig)} ^ {- {frac {1} {xi }}} {Big)} & {ext {if}} xi eq 0, exp {Big (} -e ^ {- {frac {x-mu} {sigma}}} {Big)} & {ext {if }} xi = 0.end {case}}} TVaR α ( Икс ) = { − μ − σ α ξ [ Γ ( 1 − ξ , − пер α ) − α ] если ξ ≠ 0 , − μ − σ α [ Ли ( α ) − α пер ( − пер α ) ] если ξ = 0. {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = {egin {cases} -mu - {frac {sigma} {alpha xi}} {ig [} Гамма (1-xi, -ln alpha) -alpha {ig ]} & {ext {if}} xi eq 0, - mu - {frac {sigma} {alpha}} {ig [} {ext {li}} (alpha) -alpha ln (-ln alpha) {ig] } & {ext {if}} xi = 0.end {case}}} V а р α ( Икс ) = { − μ − σ ξ [ ( − пер α ) − ξ − 1 ] если ξ ≠ 0 , − μ + σ пер ( − пер α ) если ξ = 0. {displaystyle VaR_ {alpha} (X) = {egin {cases} -mu - {frac {sigma} {xi}} {ig [} (- ln alpha) ^ {- xi} -1 {ig]} & {ext {if}} xi eq 0, - mu + sigma ln (-ln alpha) & {ext {if}} xi = 0.end {case}}} Γ ( s , Икс ) {displaystyle Gamma (s, x)} верхняя неполная гамма-функция , Ли ( Икс ) = ∫ d Икс пер Икс {displaystyle {ext {li}} (x) = int {frac {dx} {ln x}}} логарифмическая интегральная функция .[11]
Если потеря портфеля L {displaystyle L} GEV , то правый хвост TVaR равен TVaR α ( Икс ) = { μ + σ ( 1 − α ) ξ [ γ ( 1 − ξ , − пер α ) − ( 1 − α ) ] если ξ ≠ 0 , μ + σ 1 − α [ у − Ли ( α ) + α пер ( − пер α ) ] если ξ = 0. {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = {egin {case} mu + {frac {sigma} {(1-alpha) xi}} {ig [} gamma (1-xi, -ln alpha) - (1-альфа) {ig]} & {ext {if}} xi eq 0, mu + {frac {sigma} {1-alpha}} {ig [} y- {ext {li}} (альфа) + альфа ln (-ln альфа) {ig]} & {ext {if}} xi = 0.end {case}}} γ ( s , Икс ) {displaystyle gamma (s, x)} нижняя неполная гамма-функция , у {displaystyle y} Постоянная Эйлера-Маскерони .[10]
Распределение обобщенного гиперболического секанса (GHS) Если доходность портфеля Икс {displaystyle X} Распространение GHS с п.о.ф. ж ( Икс ) = 1 2 σ сечь ( π 2 Икс − μ σ ) {displaystyle f (x) = {frac {1} {2sigma}} {ext {sech}} ({frac {pi} {2}} {frac {x-mu} {sigma}})} F ( Икс ) = 2 π арктан [ exp ( π 2 Икс − μ σ ) ] {displaystyle F (x) = {frac {2} {pi}} arctan {Big [} exp {Big (} {frac {pi} {2}} {frac {x-mu} {sigma}} {Big)} {Большой ]}} TVaR α ( Икс ) = − μ − 2 σ π пер ( загар π α 2 ) − 2 σ π 2 α я [ Ли 2 ( − я загар π α 2 ) − Ли 2 ( я загар π α 2 ) ] {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = - mu - {frac {2sigma} {pi}} ln {Big (} an {frac {pi alpha} {2}} {Big)} - {frac { 2sigma} {pi ^ {2} alpha}} i {Big [} {ext {Li}} _ {2} {Big (} -i an {frac {pi alpha} {2}} {Big)} - {ext {Li}} _ {2} {Big (} i an {frac {pi alpha} {2}} {Big)} {Big]}} Ли 2 {displaystyle {ext {Li}} _ {2}} Функция Спенса , я = − 1 {displaystyle i = {sqrt {-1}}} [11]
SU-распределение Джонсона Если доходность портфеля Икс {displaystyle X} SU-распределение Джонсона с c.d.f. F ( Икс ) = Φ [ γ + δ грех − 1 ( Икс − ξ λ ) ] {displaystyle F (x) = Phi {Big [} gamma + delta sinh ^ {- 1} {Big (} {frac {x-xi} {lambda}} {Big)} {Big]}} TVaR α ( Икс ) = − ξ − λ 2 α [ е Икс п ( 1 − 2 γ δ 2 δ 2 ) Φ ( Φ − 1 ( α ) − 1 δ ) − е Икс п ( 1 + 2 γ δ 2 δ 2 ) Φ ( Φ − 1 ( α ) + 1 δ ) ] {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = - xi - {frac {lambda} {2alpha}} {Big [} exp {Big (} {frac {1-2gamma delta} {2delta ^ {2}} } {Big)} Phi {Big (} Phi ^ {- 1} (alpha) - {frac {1} {delta}} {Big)} - exp {Big (} {frac {1 + 2gamma delta} {2delta ^ {2}}} {Большой)} Фи {Большой (} Фи ^ {- 1} (альфа) + {гидроразрыв {1} {delta}} {Большой)} {Большой]}} Φ {displaystyle Phi} [12]
Распределение заусенцев типа XII Если доходность портфеля Икс {displaystyle X} Распределение заусенцев типа XII с п.о.ф. ж ( Икс ) = c k β ( Икс − γ β ) c − 1 [ 1 + ( Икс − γ β ) c ] − k − 1 {displaystyle f (x) = {frac {ck} {eta}} {Big (} {frac {x-gamma} {eta}} {Big)} ^ {c-1} {Big [} 1+ {Big ( } {frac {x-gamma} {eta}} {Big)} ^ {c} {Big]} ^ {- k-1}} F ( Икс ) = 1 − [ 1 + ( Икс − γ β ) c ] − k {displaystyle F (x) = 1- {Big [} 1+ {Big (} {frac {x-gamma} {eta}} {Big)} ^ {c} {Big]} ^ {- k}} TVaR α ( Икс ) = − γ − β α ( ( 1 − α ) − 1 / k − 1 ) 1 / c [ α − 1 + 2 F 1 ( 1 c , k ; 1 + 1 c ; 1 − ( 1 − α ) − 1 / k ) ] {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = - gamma - {frac {eta} {alpha}} {Big (} (1-alpha) ^ {- 1 / k} -1 {Big)} ^ { 1 / c} {Большой [} альфа -1 + {_ {2} F_ {1}} {Большой (} {frac {1} {c}}, k; 1+ {frac {1} {c}}; 1- (1-альфа) ^ {- 1 / k} {Большой)} {Большой]}} 2 F 1 {displaystyle _ {2} F_ {1}} гипергеометрическая функция . В качестве альтернативы, TVaR α ( Икс ) = − γ − β α c k c + 1 ( ( 1 − α ) − 1 / k − 1 ) 1 + 1 c 2 F 1 ( 1 + 1 c , k + 1 ; 2 + 1 c ; 1 − ( 1 − α ) − 1 / k ) {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = - gamma - {frac {eta} {alpha}} {frac {ck} {c + 1}} {Big (} (1-alpha) ^ {- 1 / k} -1 {Big)} ^ {1+ {frac {1} {c}}} {_ {2} F_ {1}} {Big (} 1+ {frac {1} {c}}, k +1; 2+ {frac {1} {c}}; 1- (1-альфа) ^ {- 1 / k} {Большой)}} [11]
Распределение Dagum Если доходность портфеля Икс {displaystyle X} Распределение Dagum с п.о.ф. ж ( Икс ) = c k β ( Икс − γ β ) c k − 1 [ 1 + ( Икс − γ β ) c ] − k − 1 {displaystyle f (x) = {frac {ck} {eta}} {Big (} {frac {x-gamma} {eta}} {Big)} ^ {ck-1} {Big [} 1+ {Big ( } {frac {x-gamma} {eta}} {Big)} ^ {c} {Big]} ^ {- k-1}} F ( Икс ) = [ 1 + ( Икс − γ β ) − c ] − k {displaystyle F (x) = {Big [} 1+ {Big (} {frac {x-gamma} {eta}} {Big)} ^ {- c} {Big]} ^ {- k}} TVaR α ( Икс ) = − γ − β α c k c k + 1 ( α − 1 / k − 1 ) − k − 1 c 2 F 1 ( k + 1 , k + 1 c ; k + 1 + 1 c ; − 1 α − 1 / k − 1 ) {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = - gamma - {frac {eta} {alpha}} {frac {ck} {ck + 1}} {Big (} alpha ^ {- 1 / k} - 1 {Big)} ^ {- k- {frac {1} {c}}} {_ {2} F_ {1}} {Big (} k + 1, k + {frac {1} {c}}; k +1+ {frac {1} {c}}; - {frac {1} {alpha ^ {- 1 / k} -1}} {Big)}} 2 F 1 {displaystyle _ {2} F_ {1}} гипергеометрическая функция .[11]
Логнормальное распределение Если доходность портфеля Икс {displaystyle X} логнормальное распределение , т.е. случайная величина пер ( 1 + Икс ) {displaystyle ln (1 + X)} ж ( Икс ) = 1 2 π σ е − ( Икс − μ ) 2 2 σ 2 {displaystyle f (x) = {frac {1} {{sqrt {2pi}} sigma}} e ^ {- {frac {(x-mu) ^ {2}} {2sigma ^ {2}}}}} TVaR α ( Икс ) = 1 − exp ( μ + σ 2 2 ) Φ ( Φ − 1 ( α ) − σ ) α {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = 1-exp {Bigl (} mu + {frac {sigma ^ {2}} {2}} {Bigr)} {frac {Phi (Phi ^ {- 1 } (альфа) -сигма)} {альфа}}} Φ ( Икс ) {displaystyle Phi (x)} Φ − 1 ( α ) {displaystyle Phi ^ {- 1} (альфа)} [13]
Логистическая дистрибуция Если доходность портфеля Икс {displaystyle X} логистическая дистрибуция , т.е. случайная величина пер ( 1 + Икс ) {displaystyle ln (1 + X)} ж ( Икс ) = 1 s е − Икс − μ s ( 1 + е − Икс − μ s ) − 2 {displaystyle f (x) = {frac {1} {s}} e ^ {- {frac {x-mu} {s}}} {Bigl (} 1 + e ^ {- {frac {x-mu} { s}}} {Bigr)} ^ {- 2}} TVaR α ( Икс ) = 1 − е μ α я α ( 1 + s , 1 − s ) π s грех π s {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = 1- {frac {e ^ {mu}} {alpha}} I_ {alpha} (1 + s, 1-s) {frac {pi s} {sin пи s}}} я α {displaystyle I_ {alpha}} регуляризованная неполная бета-функция , я α ( а , б ) = B α ( а , б ) B ( а , б ) {displaystyle I_ {alpha} (a, b) = {frac {mathrm {B} _ {alpha} (a, b)} {mathrm {B} (a, b)}}}
Поскольку неполная бета-функция определена только для положительных аргументов, для более общего случая TVaR левого хвоста может быть выражено с помощью гипергеометрическая функция : TVaR α ( Икс ) = 1 − е μ α s s + 1 2 F 1 ( s , s + 1 ; s + 2 ; α ) {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = 1- {frac {e ^ {mu} alpha ^ {s}} {s + 1}} {_ {2} F_ {1}} (s, s +1; s + 2; альфа)} [13]
Если потеря портфеля L {displaystyle L} ж ( Икс ) = б а ( Икс / а ) б − 1 ( 1 + ( Икс / а ) б ) 2 {displaystyle f (x) = {frac {{frac {b} {a}} (x / a) ^ {b-1}} {(1+ (x / a) ^ {b}) ^ {2}} }} F ( Икс ) = 1 1 + ( Икс / а ) − б {displaystyle F (x) = {гидроразрыв {1} {1+ (x / a) ^ {- b}}}} TVaR α верно ( L ) = а 1 − α [ π б csc ( π б ) − B α ( 1 б + 1 , 1 − 1 б ) ] {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} ^ {ext {right}} (L) = {frac {a} {1-alpha}} {Bigl [} {frac {pi} {b}} csc {Bigl (} {frac {pi} {b}} {Bigr)} - mathrm {B} _ {alpha} {Bigl (} {frac {1} {b}} + 1,1- {frac {1} {b}} { Бигр)} {Бигр]}} B α {displaystyle B_ {alpha}} неполная бета-функция .[10]
Распределение лог-Лапласа Если доходность портфеля Икс {displaystyle X} логарифмическое распределение , т.е. случайная величина пер ( 1 + Икс ) {displaystyle ln (1 + X)} ж ( Икс ) = 1 2 б е − | Икс − μ | б {displaystyle f (x) = {frac {1} {2b}} e ^ {- {frac {| x-mu |} {b}}}} TVaR α ( Икс ) = { 1 − е μ ( 2 α ) б б + 1 если α ≤ 0.5 , 1 − е μ 2 − б α ( б − 1 ) [ ( 1 − α ) ( 1 − б ) − 1 ] если α > 0.5. {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = {egin {case} 1- {frac {e ^ {mu} (2alpha) ^ {b}} {b + 1}} & {ext {if}} alpha leq 0.5, 1- {frac {e ^ {mu} 2 ^ {- b}} {alpha (b-1)}} {ig [} (1-alpha) ^ {(1-b)} - 1 {ig]} & {ext {if}} альфа> 0.5.end {case}}} [13]
Распределение лог-обобщенного гиперболического секанса (log-GHS) Если доходность портфеля Икс {displaystyle X} пер ( 1 + Икс ) {displaystyle ln (1 + X)} Распространение GHS с п.о.ф. ж ( Икс ) = 1 2 σ сечь ( π 2 Икс − μ σ ) {displaystyle f (x) = {frac {1} {2sigma}} {ext {sech}} ({frac {pi} {2}} {frac {x-mu} {sigma}})} TVaR α ( Икс ) = 1 − 1 α ( σ + π / 2 ) ( загар π α 2 exp π μ 2 σ ) 2 σ / π загар π α 2 2 F 1 ( 1 , 1 2 + σ π ; 3 2 + σ π ; − загар ( π α 2 ) 2 ) {displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = 1- {frac {1} {alpha (sigma + {pi / 2})}} {Big (} an {frac {pi alpha} {2}} exp {frac {pi mu} {2sigma}} {Big)} ^ {2sigma / pi} an {frac {pi alpha} {2}} {_ {2} F_ {1}} {Big (} 1, {frac { 1} {2}} + {frac {sigma} {pi}}; {frac {3} {2}} + {frac {sigma} {pi}}; - {ig (} {frac {pi alpha} { 2}} {ig)} ^ {2} {Большой)}} 2 F 1 {displaystyle _ {2} F_ {1}} гипергеометрическая функция .[13]
Рекомендации ^ Барже; Cossette, Марсо (2009). «Распределение капитала на основе TVaR со связями». Страхование: математика и экономика . 45 (3): 348–361. CiteSeerX 10.1.1.366.9837 Дои :10.1016 / j.insmatheco.2009.08.002 . ^ «Средняя стоимость под риском» (PDF) . Архивировано из оригинал (PDF) 19 июля 2011 г.. Получено 2 февраля, 2011 .^ а б Свитинг, Пол (2011). «15.4 Меры риска». Управление рисками финансового предприятия . Международная серия по актуарной науке. Издательство Кембриджского университета . С. 397–401. ISBN 978-0-521-11164-5 LCCN 2011025050 . ^ Ачерби, Карло; Таше, Дирк (2002). «О согласованности ожидаемого дефицита». Журнал "Банковское дело и финансы" . 26 (7): 1487–1503. arXiv :cond-mat / 0104295 Дои :10.1016 / s0378-4266 (02) 00283-2 . ^ Артцнер, Филипп; Дельбаен, Фредди; Эбер, Жан-Марк; Хит, Дэвид (1999). «Последовательные меры риска» (PDF) . Математические финансы . 9 (3): 203–228. Дои :10.1111/1467-9965.00068 . Получено 3 февраля, 2011 . ^ Ландсман, Зиновий; Вальдес, Эмилиано (февраль 2004 г.). «Хвостовые условные ожидания для моделей экспоненциальной дисперсии» (PDF) . Получено 3 февраля, 2011 . ^ Ландсман, Зиновий; Маков, Уди; Шуши, Томер (июль 2013 г.). «Хвостовые условные ожидания для обобщенных косоэллиптических распределений». SSRN 2298265 ^ Вальдес, Эмилиано (май 2004 г.). «Итерированное хвостовое условное ожидание для лог-эллиптического процесса потерь» (PDF) . Получено 3 февраля, 2010 . ^ а б c d Хохлов, Валентин (2016). «Условная стоимость под риском для эллиптических распределений». Evropský časopis Ekonomiky a Managementu . 2 (6): 70–79. ^ а б c d е ж грамм час я j Нортон, Мэтью; Хохлов, Валентин; Урясев, Стан (27.11.2018). «Расчет CVaR и bPOE для общих распределений вероятностей с применением для оптимизации портфеля и оценки плотности». arXiv :1811.11301 q-fin.RM ]. ^ а б c d Хохлов, Валентин (21.06.2018). «Условная стоимость под риском для необычных распределений». SSRN . SSRN 3200629 ^ Штукки, Патриция (31.05.2011). "Моментная оценка CVaR: квазизамкнутые формулы". SSRN . SSRN 1855986 ^ а б c d Хохлов, Валентин (17.06.2018). «Условная ценность под риском для лог-распределений». SSRN . SSRN 3197929 
![{displaystyle имя оператора {TVaR} _ {alpha} (X) = имя оператора {E} [-X | Xleq -имя оператора {VaR} _ {alpha} (X)] = имя оператора {E} [-X | Xleq x ^ {alpha }],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a43fcb4528aea744af04aaa030d657a563acd40)
![{displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = operatorname {E} [-X | Xleq -operatorname {VaR} _ {alpha} (X)] = - {frac {1} {alpha}} int _ { 0} ^ {alpha} имя оператора {VaR} _ {gamma} (X) dgamma = - {frac {1} {alpha}} int _ {- infty} ^ {F ^ {- 1} (alpha)} xf (x ) dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61a8589dfee2cdd3c88a93545ef09ef865aa58dc)
![{displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} ^ {ext {right}} (L) = E [Lmid Lgeq VaR_ {alpha} (L)] = {frac {1} {1-alpha}} int _ {alpha} ^ {1} VaR_ {gamma} (L) dgamma = {frac {1} {1-alpha}} int _ {F ^ {- 1} (alpha)} ^ {+ infty} yf (y) dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94d1a3fe667bb23d04026cfd8d4fb1e361e2b80)
![{displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = - {frac {1} {alpha}} E [X] + {frac {1-alpha} {alpha}} operatorname {TVaR} _ {alpha} ^ { ext {right}} (L)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de7a471e4919224cdc3763794311921bba0bc5a3)
![{displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} ^ {ext {right}} (L) = {frac {1} {1-alpha}} E [L] + {frac {alpha} {1-alpha}} operatorname { TVaR} _ {alpha} (X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/760f64039cde9267780ba017c8da3167321ee6c1)
![{displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} ^ {ext {right}} (L) = {egin {cases} mu + b {frac {alpha} {1-alpha}} (1-ln 2alpha) & {ext { if}} альфа <0,5, mu + b [1-ln (2 (1-альфа))] & {ext {if}} альфа geq 0.5.end {case}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c06006b1eed39a92bdedd4e82a68859e6f1c9b5)
![{displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} ^ {ext {right}} (L) = {egin {cases} mu + s {Bigl [} {frac {(1-alpha) ^ {- xi}} {1- xi}} + {frac {(1-alpha) ^ {- xi} -1} {xi}} {Bigr]} & {ext {if}} xi eq 0, mu + s [1-ln (1- альфа)] & {ext {if}} xi = 0.end {case}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51d273674b13560b21ff24bbd45f7507882e5540)
![{displaystyle f (x) = {egin {case} {frac {1} {sigma}} {Bigl (} 1 + xi {frac {x-mu} {sigma}} {Bigr)} ^ {- {frac {1 } {xi}} - 1} exp {Bigl [} - {Bigl (} 1 + xi {frac {x-mu} {sigma}} {Bigr)} ^ {- {frac {1} {xi}}} { Bigr]} & {ext {if}} xi eq 0, {frac {1} {sigma}} e ^ {- {frac {x-mu} {sigma}}} e ^ {- e ^ {- {frac {x-mu} {sigma}}}} & {ext {if}} xi = 0.end {case}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5faee44a519d5f13a7b4837bd37358e74550ab8d)
![{displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = {egin {cases} -mu - {frac {sigma} {alpha xi}} {ig [} Гамма (1-xi, -ln alpha) -alpha {ig ]} & {ext {if}} xi eq 0, - mu - {frac {sigma} {alpha}} {ig [} {ext {li}} (alpha) -alpha ln (-ln alpha) {ig] } & {ext {if}} xi = 0.end {case}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7783d0f6d2ada192fbde7ffa82646467147c396)
![{displaystyle VaR_ {alpha} (X) = {egin {cases} -mu - {frac {sigma} {xi}} {ig [} (- ln alpha) ^ {- xi} -1 {ig]} & {ext {if}} xi eq 0, - mu + sigma ln (-ln alpha) & {ext {if}} xi = 0.end {case}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4efd36709ce9b5e88b80bf040336760612d8d7c)
![{displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = {egin {case} mu + {frac {sigma} {(1-alpha) xi}} {ig [} gamma (1-xi, -ln alpha) - (1-альфа) {ig]} & {ext {if}} xi eq 0, mu + {frac {sigma} {1-alpha}} {ig [} y- {ext {li}} (альфа) + альфа ln (-ln альфа) {ig]} & {ext {if}} xi = 0.end {case}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b23a3933085b1656d856d745326666edbc1ce68c)
![{displaystyle F (x) = {frac {2} {pi}} arctan {Big [} exp {Big (} {frac {pi} {2}} {frac {x-mu} {sigma}} {Big)} {Большой ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21b1975906bb7b4f595ba432592ed3c54c3a6967)
![{displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = - mu - {frac {2sigma} {pi}} ln {Big (} an {frac {pi alpha} {2}} {Big)} - {frac { 2sigma} {pi ^ {2} alpha}} i {Big [} {ext {Li}} _ {2} {Big (} -i an {frac {pi alpha} {2}} {Big)} - {ext {Li}} _ {2} {Big (} i an {frac {pi alpha} {2}} {Big)} {Big]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12d35cc09bea522334b9a4a1a776f4e16aeb6d2d)
![{displaystyle F (x) = Phi {Big [} gamma + delta sinh ^ {- 1} {Big (} {frac {x-xi} {lambda}} {Big)} {Big]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4bf7c3659b51485f98f565f030ac9bd0dcd636b)
![{displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = - xi - {frac {lambda} {2alpha}} {Big [} exp {Big (} {frac {1-2gamma delta} {2delta ^ {2}} } {Big)} Phi {Big (} Phi ^ {- 1} (alpha) - {frac {1} {delta}} {Big)} - exp {Big (} {frac {1 + 2gamma delta} {2delta ^ {2}}} {Большой)} Фи {Большой (} Фи ^ {- 1} (альфа) + {гидроразрыв {1} {delta}} {Большой)} {Большой]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/637673e3768b07979411a12872072bd92e264dd1)
![{displaystyle f (x) = {frac {ck} {eta}} {Big (} {frac {x-gamma} {eta}} {Big)} ^ {c-1} {Big [} 1+ {Big ( } {frac {x-gamma} {eta}} {Big)} ^ {c} {Big]} ^ {- k-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1077fa12c789459e8586fff82ce1f0d541306220)
![{displaystyle F (x) = 1- {Big [} 1+ {Big (} {frac {x-gamma} {eta}} {Big)} ^ {c} {Big]} ^ {- k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/816d8d221ef8327fe30143a7c32b12051c158a99)
![{displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = - gamma - {frac {eta} {alpha}} {Big (} (1-alpha) ^ {- 1 / k} -1 {Big)} ^ { 1 / c} {Большой [} альфа -1 + {_ {2} F_ {1}} {Большой (} {frac {1} {c}}, k; 1+ {frac {1} {c}}; 1- (1-альфа) ^ {- 1 / k} {Большой)} {Большой]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89fe2689a934c0368bc69890972f8ff9d167c79f)
![{displaystyle f (x) = {frac {ck} {eta}} {Big (} {frac {x-gamma} {eta}} {Big)} ^ {ck-1} {Big [} 1+ {Big ( } {frac {x-gamma} {eta}} {Big)} ^ {c} {Big]} ^ {- k-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/754b374d8b51d5a469104924149db64cfdc2c186)
![{displaystyle F (x) = {Big [} 1+ {Big (} {frac {x-gamma} {eta}} {Big)} ^ {- c} {Big]} ^ {- k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2e1718e7bbe719680106cede6410911863110b2)
![{displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} ^ {ext {right}} (L) = {frac {a} {1-alpha}} {Bigl [} {frac {pi} {b}} csc {Bigl (} {frac {pi} {b}} {Bigr)} - mathrm {B} _ {alpha} {Bigl (} {frac {1} {b}} + 1,1- {frac {1} {b}} { Бигр)} {Бигр]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84e4cbbe4334cf6a8dfad6f6fbc6fe9f135a625a)
![{displaystyle operatorname {TVaR} _ {alpha} (X) = {egin {case} 1- {frac {e ^ {mu} (2alpha) ^ {b}} {b + 1}} & {ext {if}} alpha leq 0.5, 1- {frac {e ^ {mu} 2 ^ {- b}} {alpha (b-1)}} {ig [} (1-alpha) ^ {(1-b)} - 1 {ig]} & {ext {if}} альфа> 0.5.end {case}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20ffe0b668ed4a1c92636d6ac529c6e820068f8f)
