Касательный вектор - Tangent vector

Для более общего, но гораздо более технического подхода к касательным векторам см. касательное пространство.

В математика, а касательный вектор это вектор то есть касательная к изгиб или поверхность в заданной точке. Касательные векторы описаны в дифференциальная геометрия кривых в контексте кривых в р^п. В более общем смысле, касательные векторы являются элементами касательное пространство из дифференцируемое многообразие. Касательные векторы также можно описать в терминах микробы. Формально касательный вектор в точке ${\displaystyle x}$ линейный происхождение алгебры, определяемой множеством ростков в ${\displaystyle x}$.

Мотивация

Прежде чем перейти к общему определению касательного вектора, обсудим его использование в исчисление и это тензор характеристики.

Исчисление

Позволять ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ быть параметрическим плавная кривая. Касательный вектор задается формулой ${\displaystyle \mathbf {r} ^{\prime }(t)}$, где мы использовали штрих вместо обычной точки для обозначения дифференцирования по параметру т.^[1] Единичный касательный вектор задается формулой

${\displaystyle \mathbf {T} (t)={\frac {\mathbf {r} ^{\prime }(t)}{|\mathbf {r} ^{\prime }(t)|}}\,.}$

пример

Учитывая кривую

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\{(1+t^{2},e^{2t},\cos {t})|\ t\in \mathbb {R} \}}$

в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, единичный касательный вектор в точке ${\displaystyle t=0}$ дан кем-то

${\displaystyle \mathbf {T} (0)={\frac {\mathbf {r} ^{\prime }(0)}{\|\mathbf {r} ^{\prime }(0)\|}}=\left.{\frac {(2t,2e^{2t},\ -\sin {t})}{\sqrt {4t^{2}+4e^{4t}+\sin ^{2}{t}}}}\right|_{t=0}=(0,1,0)\,.}$

Контравариантность

Если ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ задается параметрически в п-мерная система координат Икс^я (здесь мы использовали верхние индексы в качестве индекса вместо обычного нижнего индекса) ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\ldots ,x^{n}(t))}$ или

${\displaystyle \mathbf {r} =x^{i}=x^{i}(t),\quad a\leq t\leq b\,,}$

то касательное векторное поле ${\displaystyle \mathbf {T} =T^{i}}$ дан кем-то

${\displaystyle T^{i}={\frac {dx^{i}}{dt}}\,.}$

При смене координат

${\displaystyle u^{i}=u^{i}(x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n}),\quad 1\leq i\leq n}$

касательный вектор ${\displaystyle {\bar {\mathbf {T} }}={\bar {T}}^{i}}$ в ты^я-система координат задается

${\displaystyle {\bar {T}}^{i}={\frac {du^{i}}{dt}}={\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s}}}{\frac {dx^{s}}{dt}}=T^{s}{\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s}}}}$

где мы использовали Соглашение о суммировании Эйнштейна. Следовательно, касательный вектор гладкой кривой преобразуется как контравариантный тензор первого порядка при изменении координат.^[2]

Определение

Позволять ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ - дифференцируемая функция и пусть ${\displaystyle \mathbf {v} }$ быть вектором в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Определим производную по направлению в ${\displaystyle \mathbf {v} }$ направление в точке ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$ к

${\displaystyle D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\left.{\frac {d}{dt}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(\mathbf {x} )\,.}$

Касательный вектор в точке ${\displaystyle \mathbf {x} }$ затем можно определить^[3] так как

${\displaystyle \mathbf {v} (f(\mathbf {x} ))\equiv (D_{\mathbf {v} }(f))(\mathbf {x} )\,.}$

Характеристики

Позволять ${\displaystyle f,g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ - дифференцируемые функции, пусть ${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {w} }$ быть касательными векторами в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ в ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$, и разреши ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$. потом

1. ${\displaystyle (a\mathbf {v} +b\mathbf {w} )(f)=a\mathbf {v} (f)+b\mathbf {w} (f)}$
2. ${\displaystyle \mathbf {v} (af+bg)=a\mathbf {v} (f)+b\mathbf {v} (g)}$
3. ${\displaystyle \mathbf {v} (fg)=f(\mathbf {x} )\mathbf {v} (g)+g(\mathbf {x} )\mathbf {v} (f)\,.}$.

Касательный вектор на многообразиях

Позволять ${\displaystyle M}$ - дифференцируемое многообразие и пусть ${\displaystyle A(M)}$ - алгебра вещественнозначных дифференцируемых функций на ${\displaystyle M}$. Тогда касательный вектор к ${\displaystyle M}$ в какой-то момент ${\displaystyle x}$ в многообразии задается происхождение ${\displaystyle D_{v}:A(M)\rightarrow \mathbb {R} }$ который должен быть линейным, т. е. для любого ${\displaystyle f,g\in A(M)}$ и ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ у нас есть

${\displaystyle D_{v}(af+bg)=aD_{v}(f)+bD_{v}(g)\,.}$

Обратите внимание, что вывод по определению будет иметь свойство Лейбница

${\displaystyle D_{v}(f\cdot g)(x)=D_{v}(f)(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot D_{v}(g)(x)\,.}$

Рекомендации

1. Дж. Стюарт (2001)
2. Д. Кей (1988)
3. А. Грей (1993)

Библиография

• Грей, Альфред (1993), Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей, Бока Ратон: CRC Press.
• Стюарт, Джеймс (2001), Исчисление: концепции и контексты, Австралия: Томсон / Брукс / Коул.
• Кей, Дэвид (1988), Очерк теории и проблем тензорного исчисления Шаумсом, Нью-Йорк: Макгроу-Хилл.