Поверхность (математика) - Surface (mathematics)

А сфера это поверхность твердого тела мяч, здесь имея радиус р

В математика, а поверхность является обобщением самолет, который не обязательно плоский, то есть кривизна не обязательно равен нулю. Это аналогично изгиб обобщение прямая линия. Есть много более точных определений, в зависимости от контекста и математических инструментов, которые используются для анализа поверхности.

Математическая концепция поверхности - это идеализация того, что подразумевается под поверхность в наука, компьютерная графика, и общий язык.

Определения

Часто поверхность определяется как уравнения которые удовлетворены координаты своих точек. Это случай график из непрерывная функция двух переменных. Набор нули функции трех переменных представляет собой поверхность, которая называется неявная поверхность.^[1] Если определяющая трехвариантная функция является многочлен поверхность является алгебраическая поверхность. Например, единичная сфера является алгебраической поверхностью, так как она может быть определена неявное уравнение

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0.}$

Поверхность также можно определить как изображение, в некотором пространстве измерение не менее 3, из непрерывная функция двух переменных (требуются некоторые дополнительные условия, чтобы гарантировать, что изображение не изгиб ). В этом случае говорят, что у него есть параметрическая поверхность, который параметризованный этими двумя переменными, называемыми параметры. Например, единичная сфера может быть параметризована Углы Эйлера, также называемый долгота ты и широта v к

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos(u)\cos(v)\\y&=\sin(u)\cos(v)\\z&=\sin(v)\,.\end{aligned}}}$

Параметрические уравнения поверхностей в некоторых точках часто бывают неправильными. Например, все, кроме двух точек единичной сферы, являются изображением, посредством указанной выше параметризации, ровно одной пары углов Эйлера (по модулю 2π). По оставшимся двум точкам ( север и южные полюса ), надо потому что v = 0, а долгота ты может принимать любые значения. Кроме того, существуют поверхности, для которых не может существовать единственная параметризация, охватывающая всю поверхность. Поэтому часто рассматриваются поверхности, которые параметризованы несколькими параметрическими уравнениями, изображения которых покрывают поверхность. Это формализовано концепцией многообразие: в контексте многообразий, обычно в топология и дифференциальная геометрия, поверхность - это многообразие размерности два; это означает, что поверхность является топологическое пространство так что каждая точка имеет район который гомеоморфный для открытое подмножество из Евклидова плоскость (видеть Поверхность (топология) и Поверхность (дифференциальная геометрия) ). Это позволяет определять поверхности в пространствах размерностью больше трех и даже абстрактные поверхности, которые не содержатся ни в каком другом пространстве. С другой стороны, это исключает поверхности, которые имеют особенности, например, вершина коническая поверхность или точки пересечения поверхности.

В классическая геометрия, поверхность обычно определяется как локус точки или линии. Например, сфера геометрическое место точки, находящейся на заданном расстоянии от фиксированной точки, называемой центром; а коническая поверхность геометрическое место прямой, проходящей через фиксированную точку и пересекающей изгиб; а поверхность вращения геометрическое место кривой, вращающейся вокруг прямой. А линейчатая поверхность геометрическое место движущейся прямой, удовлетворяющей некоторым ограничениям; в современной терминологии линейчатая поверхность - это поверхность, которая является союз линий.

Терминология

В этой статье рассматривается и сравнивается несколько видов поверхностей. Таким образом, для их различения необходима однозначная терминология. Поэтому мы называем топологические поверхности поверхности, которые коллекторы размерности два (поверхности, рассматриваемые в Поверхность (топология) ). Мы называем дифференцируемые поверхности поверхности, которые дифференцируемые многообразия (поверхности, рассмотренные в Поверхность (дифференциальная геометрия) ). Всякая дифференцируемая поверхность является топологической поверхностью, но обратное неверно.

Для простоты, если не указано иное, «поверхность» будет означать поверхность в Евклидово пространство размерности 3 или в р³. Поверхность, которую нельзя включать в другое пространство, называется абстрактная поверхность.

Примеры

• В график из непрерывная функция двух переменных, определенных над связаны открытое подмножество из р² это топологическая поверхность. Если функция дифференцируемый, граф является дифференцируемая поверхность.
• А самолет одновременно алгебраическая поверхность и дифференцируемая поверхность. Это также линейчатая поверхность и поверхность вращения.
• А круговой цилиндр (это локус прямой, пересекающей окружность и параллельной заданному направлению) является алгебраической поверхностью и дифференцируемой поверхностью.
• А круговой конус (геометрическое место прямой, пересекающей круг и проходящей через фиксированную точку, вершина, лежащая вне плоскости окружности) представляет собой алгебраическую поверхность, не являющуюся дифференцируемой поверхностью. Если удалить вершину, остаток конуса будет объединением двух дифференцируемых поверхностей.
• Поверхность многогранник является топологической поверхностью, которая не является ни дифференцируемой, ни алгебраической.
• А гиперболический параболоид (график функции z = ху) - дифференцируемая поверхность и алгебраическая поверхность. Это также линейчатая поверхность, и по этой причине ее часто используют в архитектура.
• А двухлистный гиперболоид является алгебраической поверхностью и объединением двух непересекающихся дифференцируемых поверхностей.

Параметрическая поверхность

Основная статья: Параметрическая поверхность

А параметрическая поверхность является изображением открытого подмножества Евклидова плоскость (обычно ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$) автор непрерывная функция, в топологическое пространство, как правило Евклидово пространство размерности не менее трех. Обычно предполагается, что функция непрерывно дифференцируемый, и так будет всегда в этой статье.

В частности, параметрическая поверхность в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ задается тремя функциями двух переменных ты и v, называется параметры

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=f_{1}(u,v)\\y&=f_{2}(u,v)\\z&=f_{3}(u,v)\,.\end{aligned}}}$

Как образ такой функции может быть изгиб (например, если три функции постоянны относительно v) требуется дополнительное условие, обычно, что для почти все значения параметров, Матрица якобиана

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial u}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial v}}\\{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial u}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial v}}\\{\dfrac {\partial f_{3}}{\partial u}}&{\dfrac {\partial f_{3}}{\partial v}}\\\end{bmatrix}}}$

имеет классифицировать два. Здесь «почти все» означает, что значения параметров, где ранг равен двум, содержат плотный открытое подмножество диапазона параметризации. Для поверхностей в пространстве более высокой размерности условие то же самое, за исключением количества столбцов матрицы Якоби.

Касательная плоскость и вектор нормали

Точка п где указанная выше матрица Якоби имеет ранг два, называется обычный, или, точнее, параметризация называется обычный в п.

В касательная плоскость в регулярной точке п единственный самолет, проходящий через п и имеющий направление, параллельное двум векторы-строки матрицы Якоби. Касательная плоскость - это аффинная концепция, поскольку его определение не зависит от выбора метрика. Другими словами, любой аффинное преобразование сопоставляет касательную плоскость к поверхности в точке с касательной плоскостью к изображению поверхности в изображении точки.

В нормальная линия, или просто нормальный в точке поверхности - это единственная линия, проходящая через точку и перпендикулярную касательной плоскости. А нормальный вектор - вектор, параллельный нормали.

Для других дифференциальные инварианты поверхностей в окрестности точки, см. Дифференциальная геометрия поверхностей.

Неправильная точка и особая точка

Точка параметрической поверхности, которая не является регулярной, называется нерегулярный. Есть несколько видов неправильных точек.

Может случиться так, что неправильная точка станет правильной, если изменить параметризацию. Это случай полюсов в параметризации единичная сфера к Углы Эйлера: достаточно переставить роли разных оси координат для смены полюсов.

С другой стороны, рассмотрим круговой конус параметрического уравнения

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=t\cos(u)\\y&=t\sin(u)\\z&=t\,.\end{aligned}}}$

Вершина конуса - начало (0, 0, 0), и получается при т = 0. Это нерегулярная точка, которая остается неправильной независимо от выбранной параметризации (в противном случае существовала бы единственная касательная плоскость). Такая неправильная точка, касательная плоскость которой не определена, называется единственное число.

Есть еще один вид особых точек. Есть самопереходы, то есть точки пересечения поверхности. Другими словами, это точки, полученные при (как минимум) двух разных значениях параметров.

График двумерной функции

Позволять z = ж(Икс, у) быть функцией двух действительных переменных. Это параметрическая поверхность, параметризованная как

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=t\\y&=u\\z&=f(t,u)\,.\end{aligned}}}$

Каждая точка этой поверхности регулярна, поскольку два первых столбца матрицы Якоби образуют единичная матрица второго ранга.

Рациональная поверхность

Основная статья: Рациональная поверхность

А рациональная поверхность это поверхность, которая может быть параметризована рациональные функции двух переменных. То есть, если ж_я(т, ты) для я = 0, 1, 2, 3, многочлены в двух неопределенностях, то параметрическая поверхность, определяемая

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {f_{1}(t,u)}{f_{0}(t,u)}}\\y&={\frac {f_{2}(t,u)}{f_{0}(t,u)}}\\z&={\frac {f_{3}(t,u)}{f_{0}(t,u)}}\,,\end{aligned}}}$

является рациональной поверхностью.

Рациональная поверхность - это алгебраическая поверхность, но большинство алгебраических поверхностей не рациональны.

Неявная поверхность

Основная статья: Неявная поверхность

Неявная поверхность в Евклидово пространство (или, в более общем смысле, в аффинное пространство ) размерности 3 - это множество общих нулей дифференцируемая функция трех переменных

${\displaystyle f(x,y,z)=0.}$

Неявный означает, что уравнение неявно определяет одну из переменных как функцию других переменных. Это уточняется теорема о неявной функции: если ж(Икс₀, у₀, z₀) = 0, а частная производная по z из ж не равно нулю в (Икс₀, у₀, z₀), то существует дифференцируемая функция φ(Икс, у) такой, что

${\displaystyle f(x,y,\varphi (x,y))=0}$

в район из (Икс₀, у₀, z₀). Другими словами, неявная поверхность - это график функции вблизи точки поверхности, где частная производная по z не равно нулю. Таким образом, неявная поверхность имеет параметрическое представление локально, за исключением точек поверхности, где три частные производные равны нулю.

Правильные точки и касательная плоскость

Точка поверхности, в которой хотя бы одна частная производная от ж ненулевой называется обычный. В такой момент ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$, касательная плоскость и направление нормали хорошо определены и могут быть выведены с помощью теоремы о неявной функции из определения, данного выше, в § Касательная плоскость и вектор нормали. Направление нормали - это градиент, то есть вектор

${\displaystyle \left[{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0},z_{0}),{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0},z_{0}),{\frac {\partial f}{\partial z}}(x_{0},y_{0},z_{0})\right].}$

Касательная плоскость определяется неявным уравнением

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0},z_{0})(y-y_{0})+{\frac {\partial f}{\partial z}}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0.}$

Особая точка

А особая точка неявной поверхности (в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$) - это точка поверхности, в которой выполняется неявное уравнение, и все три частные производные его определяющей функции равны нулю. Следовательно, особые точки - это решения система четырех уравнений с тремя неопределенными. Поскольку большинство таких систем не имеет решения, многие поверхности не имеют особых точек. Поверхность без особой точки называется обычный или же неособый.

Изучение поверхностей вблизи их особых точек и классификация особых точек есть теория сингулярности. Особая точка изолированные если в его окрестностях нет другой особой точки. В противном случае особые точки могут образовывать кривую. Это особенно верно для самопересекающихся поверхностей.

Алгебраическая поверхность

Основная статья: Алгебраическая поверхность

Первоначально алгебраическая поверхность была поверхностью, которая может быть определена неявным уравнением

${\displaystyle f(x,y,z)=0,}$

куда ж является полиномом от трех неопределенный, с действительными коэффициентами.

Эта концепция была расширена в нескольких направлениях, путем определения поверхностей над произвольными поля, а также рассматривая поверхности в пространствах произвольной размерности или в проективные пространства. Также рассматриваются абстрактные алгебраические поверхности, которые явно не вложены в другое пространство.

Поверхности над произвольными полями

Многочлены с коэффициентами в любых поле принимаются для определения алгебраической поверхности. Однако поле коэффициентов многочлена не определено должным образом, как, например, многочлен с рациональный коэффициенты также можно рассматривать как полином с настоящий или же сложный коэффициенты. Следовательно, концепция точка поверхности было обобщено следующим образом:^[2]

Учитывая многочлен ж(Икс, у, z), позволять k наименьшее поле, содержащее коэффициенты, и K быть алгебраически замкнутое расширение из k, бесконечного степень трансцендентности.^[3] Затем точка поверхности является элементом K³ которое является решением уравнения

${\displaystyle f(x,y,z)=0.}$

Если полином имеет действительные коэффициенты, поле K это сложное поле, а точка поверхности принадлежит ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ (обычная точка) называется реальная точка. Точка, принадлежащая k³ называется рациональный по k, или просто рациональная точка, если k это область рациональное число.

Проективная поверхность

А проективная поверхность в проективное пространство размерности три - это множество точек, однородные координаты нули одного однородный многочлен в четырех переменных. В более общем смысле, проективная поверхность - это подмножество проективного пространства, которое является проективное разнообразие из измерение два.

Проективные поверхности сильно связаны с аффинными поверхностями (то есть с обычными алгебраическими поверхностями). От проективной поверхности переходят к соответствующей аффинной поверхности, устанавливая на единицу некоторую координату или неопределенную из определяющих многочленов (обычно последнюю). И наоборот, от аффинной поверхности переходят к связанной с ней проективной поверхности (называемой проективное завершение) к гомогенизация определяющий полином (в случае поверхностей в пространстве размерности три), или путем усреднения всех полиномов определяющего идеала (для поверхностей в пространстве более высокой размерности).

В пространствах более высоких измерений

Невозможно определить понятие алгебраической поверхности в пространстве размерности выше трех без общего определения алгебраическое многообразие и из размерность алгебраического многообразия. Фактически, алгебраическая поверхность - это алгебраическое многообразие размерности два.

Точнее, алгебраическая поверхность в пространстве размерности п - это множество общих нулей не менее п – 2 полиномы, но эти полиномы должны удовлетворять дополнительным условиям, проверка которых может потребоваться не сразу. Во-первых, многочлены не должны определять многообразие или алгебраический набор более высокой размерности, что обычно имеет место, если один из многочленов находится в идеальный генерируется другими. В общем, п – 2 полиномы определяют алгебраический набор размерности два или выше. Если размерность равна двум, в алгебраическом множестве может быть несколько неприводимые компоненты. Если есть только один компонент, п – 2 полиномы определяют поверхность, которая является полное пересечение. Если компонентов несколько, то для выбора конкретного компонента необходимы дополнительные полиномы.

Большинство авторов рассматривают в качестве алгебраической поверхности только алгебраические многообразия размерности два, но некоторые также рассматривают как поверхности все алгебраические множества, неприводимые компоненты которых имеют размерность два.

В случае поверхностей в пространстве размерности три, каждая поверхность является полным пересечением, а поверхность определяется одним полиномом, который равен несводимый или нет, в зависимости от того, рассматриваются ли неприводимые алгебраические множества размерности два как поверхности или нет.

Абстрактная алгебраическая поверхность

Рациональные поверхности - это алгебраические поверхности

Топологическая поверхность

Основная статья: Поверхность (топология)

В топология, поверхность обычно определяется как многообразие измерения два. Это означает, что топологическая поверхность - это топологическое пространство так что каждая точка имеет район то есть гомеоморфный для открытое подмножество из Евклидова плоскость.

Каждая топологическая поверхность гомеоморфна многогранная поверхность так что все грани находятся треугольники. В комбинаторный изучение такого расположения треугольников (или, в более общем смысле, многомерных симплексы ) - начальный объект алгебраическая топология. Это позволяет характеризовать свойства поверхностей в терминах чисто алгебраических инварианты, такой как род и группы гомологии.

Классы гомеоморфизма поверхностей полностью описаны (см. Поверхность (топология) ).

Отличная поверхность

Основная статья: Дифференциальная геометрия поверхностей

Фрактальная поверхность

Основная статья: Фрактальная поверхность

В компьютерной графике

Основная статья: Поверхность (компьютерная графика)

Смотрите также

• Элемент Area, площадь дифференциального элемента поверхности
• Координатные поверхности
• Периметр, двумерный эквивалент
• Многогранная поверхность
• Форма
• Знаковая функция расстояния
• Площадь поверхности
• Поверхностный интеграл

Примечания

1. Здесь «неявный» относится не к свойству поверхности, которое может быть определено другими способами, а к тому, как оно определяется. Таким образом, этот термин является аббревиатурой от «поверхность, определяемая неявное уравнение ".
2. Вайль, Андре (1946), Основы алгебраической геометрии, Публикации коллоквиума Американского математического общества, 29, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, МИСТЕР  0023093
3. Бесконечная степень трансцендентности - это техническое состояние, позволяющее точно определить понятие общая точка.