Основы арифметики - The Foundations of Arithmetic

Основы арифметики
Титульный лист Die Grundlagen der Arithmetik.jpg
Титульный лист оригинального издания 1884 г.
АвторГоттлоб Фреге
Оригинальное названиеDie Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch-Mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl
ПереводчикДж. Л. Остин
СтранаГермания
ЯзыкНемецкий
ПредметФилософия математики
Опубликовано1884
Страницы119 (оригинальный немецкий)
ISBN0810106051
OCLC650

Основы арифметики (Немецкий: Die Grundlagen der Arithmetik) - это книга Готтлоб Фреге, опубликованный в 1884 г., в котором исследуется философский основы арифметика. Фреге опровергает другие теории номер и развивает собственную теорию чисел. В Grundlagen также помогло мотивировать более поздние работы Фреге в логицизм. Книга не получила одобрения и не получила широкого распространения, когда была опубликована. Однако это привлекло внимание Бертран Рассел и Людвиг Витгенштейн, оба находились под сильным влиянием философии Фреге. Английский перевод был опубликован (Оксфорд, 1950) Дж. Л. Остин, со вторым изданием в 1960 г.[1]

Критика предшественников

Психологистские объяснения математики

Фреге возражает против любой теории математики, основанной на психологизм, это точка зрения, согласно которой математика и числа относятся к субъективным мыслям людей, которые их думают. Согласно Фреге, психологические объяснения обращаются к тому, что является субъективным, в то время как математика чисто объективна: математика полностью независима от человеческого мышления. Математические объекты, согласно Фреге, имеют объективную характеристики независимо от того, думают ли о них люди: невозможно думать о математических утверждениях как о чем-то, что естественным образом эволюционировало на протяжении человеческой истории и эволюция. Он видит фундаментальное различие между логика (и ее расширение, согласно Фреге, математика) и психология. Логика объясняет необходимые факты, тогда как психология изучает определенные мыслительные процессы в сознании людей.[2]

Кант

Фреге высоко ценит работу Иммануил Кант. Он критикует его в основном на том основании, что числовые утверждения не соответствуют действительности. синтетический -априори, а скорее аналитически-априори.[3]Кант утверждает, что 7 + 5 = 12 - это недоказуемое синтетическое утверждение.[4] Сколько бы мы ни анализировали идею 7 + 5, мы не найдем там идеи 12. Мы должны прийти к идее 12 путем применения к объектам в интуиции. Кант отмечает, что это становится тем более ясным при больших числах. Фреге именно в этом вопросе придерживается противоположного направления. Кант ошибочно полагает, что в предложении, содержащем «большие» числа, мы должны считать точки или что-то подобное, чтобы утверждать их значение истины. Фреге утверждает, что, даже не имея интуиции в отношении любого из чисел в следующем уравнении: 654 768 + 436 382 = 1 091 150, мы, тем не менее, можем утверждать, что оно истинно. Это предоставляется как доказательство того, что такое предложение является аналитическим. Хотя Фреге согласен с тем, что геометрия действительно синтетическая априори, арифметика должна быть аналитической.[5]

Мельница

Фреге резко критикует эмпиризм из Джон Стюарт Милл.[6][7] Он утверждает, что идея Милля о том, что числа соответствуют различным способам разделения коллекций объектов на подколлекции, несовместима с уверенностью в вычислениях с использованием больших чисел.[8][9] Он также отрицает, что философия Милля адекватно трактует концепцию нуль.[10] Он продолжает утверждать, что операцию сложения нельзя понимать как относящуюся к физическим величинам, и что замешательство Милля в этом вопросе является симптомом более серьезной проблемы, заключающейся в том, что применение арифметики не соответствует самой арифметике.

Развитие собственного взгляда Фреге на число

Смотрите также: Теорема Фреге

Фреге проводит различие между конкретными числовыми утверждениями, такими как 1 + 1 = 2, и общими утверждениями, такими как a + b = b + a. Последние утверждения верны в отношении чисел так же хорошо, как и первые. Следовательно, необходимо попросить дать определение самого понятия числа. Фреге исследует возможность того, что число определяется внешними вещами. Он демонстрирует, как числа в естественном языке функционируют как прилагательные. «Этот стол имеет 5 ящиков» по ​​форме похож на «Этот стол имеет зеленые ящики». Зеленые ящики - это объективный факт, связанный с внешним миром. Но это не относится к 5. Фреге утверждает, что каждый ящик находится на своем собственном зеленом поле, но не каждый ящик имеет 5 ящиков.[11]Фреге призывает нас помнить, что из этого не следует, что числа могут быть субъективными. Действительно, числа похожи на цвета, по крайней мере, в том, что оба они полностью объективны. Фреге говорит нам, что мы можем преобразовать числовые выражения, где числовые слова появляются прилагательно (например, «есть четыре лошади»), в утверждения, где числовые термины появляются как единичные термины («количество лошадей четыре»).[12] Фреге рекомендует такие переводы, потому что считает числа объектами. Нет смысла спрашивать, подпадают ли какие-либо объекты под категорию 4. После того, как Фреге приводит некоторые причины думать, что числа являются объектами, он приходит к выводу, что утверждения чисел являются утверждениями о концепциях.

Фреге считает это наблюдение фундаментальной мыслью Grundlagen. Например, предложение «количество лошадей в сарае четыре» означает, что четыре объекта подпадают под понятие лошадь в сарае. Фреге пытается объяснить наше понимание чисел через контекстное определение операции мощности («число ...» или ). Он пытается построить содержание суждения о числовой идентичности, опираясь на Принцип Юма (который утверждает, что количество F равно количеству G, если и только если F и G являются равномерный, т.е. в однозначной переписке).[13] Он отвергает это определение, потому что оно не фиксирует истинностное значение утверждений идентичности, когда единичный термин, не имеющий формы «число F», обрамляет знак идентичности. Фреге дает явное определение числа в терминах расширения понятий, но выражает некоторые сомнения.

Определение числа Фреге

Фреге утверждает, что числа являются объектами и что-то утверждают о концепции. Фреге определяет числа как расширение понятий. «Количество F» определяется как расширение концепции G - понятие, равносильное F. Рассматриваемое понятие приводит к классу эквивалентности всех понятий, имеющих номер F (включая F). Фреге определяет 0 как расширение концепции не идентичны себе. Итак, номер этого понятия является расширением понятия всех понятий, не имеющих подпадающих под них объектов. Число 1 является продолжением идентичности с 0.[14]

Наследие

Книга сыграла фундаментальную роль в развитии двух основных дисциплин - основ математики и философии. Хотя позже Бертран Рассел обнаружил серьезный недостаток в работе Фреге (этот недостаток известен как Парадокс Рассела, который разрешается аксиоматическая теория множеств ), книга оказала влияние на последующие разработки, такие как Principia Mathematica. Книгу также можно считать отправной точкой в ​​аналитической философии, поскольку она вращается в основном вокруг анализа языка с целью прояснения концепции числа. Взгляды Фреге на математику также являются отправной точкой для философии математики, поскольку они вводят новаторский подход к эпистемологии чисел и математики в целом, известный как логицизм.

Редакции

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Фреге 1960.
  2. ^ Фреге, §27.
  3. ^ Фреге, §12: «Но интуиция в этом [кантовском] смысле не может служить основанием для нашего знания законов арифметики».
  4. ^ Фреге, §5: «Кант объявляет [такие утверждения, как 2 + 3 = 5] недоказуемыми и синтетическими, но не решается называть их аксиомами, потому что они не являются общими и потому что их число бесконечно. Ганкель справедливо называет эту концепцию бесконечности многочисленные недоказанные примитивные истины несочетаемые и парадоксальные ».
  5. ^ Фреге, §14: "Тот факт, что [отрицая параллельный постулат ] показывает, что аксиомы геометрии независимы друг от друга и от примитивных законов логики и, следовательно, являются синтетическими. Можно ли то же самое сказать об основных положениях науки о числах? Здесь нам стоит только попытаться отрицать любое из них, и возникает полная путаница ».
  6. ^ Фреге 1960, п. 9-12.
  7. ^ Шапиро 2000, п. 96: "Фреге" Основы арифметики содержит упорную и резкую атаку на счет арифметики Милля "
  8. ^ Фреге 1960, п. 10: «Если определение каждого отдельного числа действительно утверждало особый физический факт, тогда мы никогда не сможем в достаточной степени восхищаться своим знанием природы человеком, который считает с помощью девятизначных чисел».
  9. ^ Шапиро 2000, п. 98: «Фреге также заставляет Милля задавать вопросы относительно больших чисел».
  10. ^ Фреге 1960, п. 11: «[...] число 0 было бы загадкой; я так понимаю, до сих пор никто никогда не видел и не касался 0 камешков».
  11. ^ Фреге, §22: «Разве мы не в совершенно разных смыслах говорим о дереве, имеющем 1000 листьев и снова зеленых? Зеленый цвет мы приписываем каждому листу, но не числу 1000».
  12. ^ Фреге, §57: «Например, утверждение« У Юпитера четыре луны »можно преобразовать в« число спутников Юпитера равно четырем »»
  13. ^ Фреге, §63: «Юм давно выразил такое средство:« Когда два числа соединяются так, что одно всегда имеет единицу, отвечающую каждой единице другого, мы объявляем их равными »»
  14. ^ Boolos 1998, п. 154: «Фреге определяет 0 как номер понятия: не идентичны себе. Поскольку все само-идентично, ни один объект не подпадает под это понятие. Фреге определяет 1 как номер понятия быть идентичным с числом ноль. Только 0 и 0 подпадает под эту последнюю концепцию ".

Источники

внешняя ссылка