Тепловая длина волны де Бройля - Thermal de Broglie wavelength - Wikipedia

В физика, то тепловая длина волны де Бройля (${\displaystyle \lambda _{\mathrm {th} }}$) примерно средний длина волны де Бройля частиц газа в идеальном газе при заданной температуре. Мы можем взять среднее расстояние между частицами в газе быть примерно (V/N)^1/3 куда V это объем и N это количество частиц. Когда тепловая длина волны де Бройля намного меньше расстояния между частицами, газ можно рассматривать как классический или Максвелл – Больцманн газ. С другой стороны, когда тепловая длина волны де Бройля порядка или больше расстояния между частицами, квантовые эффекты будут преобладать, и газ следует рассматривать как Ферми газ или Бозе-газ, в зависимости от природы частиц газа. Критическая температура является точкой перехода между этими двумя режимами, и при этой критической температуре длина тепловой волны будет приблизительно равна расстоянию между частицами. То есть квантовая природа газа будет очевидна для

${\displaystyle \displaystyle {\frac {V}{N\lambda _{\mathrm {th} }^{3}}}\leq 1\ ,{\rm {or}}\ \left({\frac {V}{N}}\right)^{1/3}\leq \lambda _{\mathrm {th} }}$

т.е. когда расстояние между частицами меньше тепловой длины волны де Бройля; в этом случае газ будет подчиняться Статистика Бозе – Эйнштейна или же Статистика Ферми – Дирака в зависимости от того, что подходит. Это, например, случай для электронов в типичном металле при Т = 300 K, где электронный газ подчиняется Статистика Ферми – Дирака, или в Конденсат Бозе – Эйнштейна. С другой стороны, для

${\displaystyle \displaystyle {\frac {V}{N\lambda _{\mathrm {th} }^{3}}}\gg 1\ ,{\rm {or}}\ \left({\frac {V}{N}}\right)^{1/3}\gg \lambda _{\mathrm {th} }}$

т.е. когда расстояние между частицами намного больше, чем тепловая длина волны де Бройля, газ будет подчиняться Статистика Максвелла – Больцмана.^[1] Так обстоит дело с молекулярными или атомарными газами при комнатной температуре, а также для тепловые нейтроны произведенный источник нейтронов.

Массивные частицы

Для массивных невзаимодействующих частиц тепловая длина волны де Бройля может быть получена из расчета функция распределения. Предполагая одномерную коробку длины L, статистическая сумма (используя энергетические состояния 1D частица в коробке ):

${\displaystyle Z=\sum _{n}e^{-E_{n}/k_{\mathrm {B} }T}=\sum _{n}e^{-h^{2}n^{2}/8mL^{2}k_{\mathrm {B} }T}}$

Поскольку уровни энергии очень близки друг к другу, мы можем аппроксимировать эту сумму как интеграл^[2]:

${\displaystyle Z=\int _{0}^{\infty }e^{-h^{2}n^{2}/8mL^{2}k_{\mathrm {B} }T}dn={\sqrt {\frac {2\pi mk_{\mathrm {B} }T}{h^{2}}}}L\equiv {\frac {L}{\lambda _{D}}}}$

Следовательно,

${\displaystyle \lambda _{D}={\frac {h}{\sqrt {2\pi mk_{\mathrm {B} }T}}}}$

куда ${\displaystyle h}$ это Постоянная Планка, м это масса частицы газа, ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$ это Постоянная Больцмана, и Т это температура газа.^[1]

Это также можно выразить с помощью приведенной постоянной Планка ${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$ в качестве:

${\displaystyle \lambda _{\mathrm {th} }={\sqrt {\frac {2\pi \hbar ^{2}}{mk_{\mathrm {B} }T}}},}$

Безмассовые частицы

Для безмассовой частицы длина тепловой волны может быть определена как:

${\displaystyle \lambda _{\mathrm {th} }={\frac {ch}{2\pi ^{1/3}k_{\mathrm {B} }T}}={\frac {\pi ^{2/3}\hbar c}{k_{\mathrm {B} }T}}}$

куда c это скорость света. Как и тепловая длина волны для массивных частиц, она порядка средней длины волны частиц в газе и определяет критическую точку, в которой квантовые эффекты начинают преобладать. Например, при наблюдении длинноволнового спектра черное тело излучение, "классическое" Закон Рэлея – Джинса может применяться, но когда наблюдаемые длины волн приближаются к тепловой длине волны фотонов в черное тело радиатор, "квант" Закон планка должны быть использованы.

Общее определение длины тепловой волны

Общее определение тепловой длины волны для идеального квантового газа во многих измерениях и для обобщенной связи между энергией и импульсом (дисперсионное соотношение) было дано Яном (Yan 2000). Это имеет практическое значение, так как существует множество экспериментальных ситуаций с разными размерностями и дисперсионными соотношениями. Если п - количество измерений, а соотношение между энергией (E) и импульс (п) дан кем-то:

${\displaystyle E=ap^{s}\,}$

куда а и s являются константами, тогда длина тепловой волны определяется как:

${\displaystyle \lambda _{\mathrm {th} }={\frac {h}{\sqrt {\pi }}}\left({\frac {a}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)^{1/s}\left[{\frac {\Gamma (n/2+1)}{\Gamma (n/s+1)}}\right]^{1/n}}$

где Γ - Гамма-функция. Например, в обычном случае массивных частиц в трехмерном газе мы имеем п = 3 , и E = п²/2м что дает указанные выше результаты для массивных частиц. Для безмассовых частиц в трехмерном газе имеем п = 3 , и E = ПК что дает указанные выше результаты для безмассовых частиц.

Примеры

Ниже приведены некоторые примеры тепловой длины волны де Бройля при 298 К.

Молекула	${\displaystyle m}$ (кг)	${\displaystyle \lambda _{\mathrm {th} }}$ (м)
ЧАС2	3,3474E-27	7.1228E-11
N2	4.6518E-26	1,91076E-11
О2	5,31352E-26	1,78782E-11
F2	6.30937E-26	1.64105E-11
Cl2	1.1614E-25	1.2093E-11
HCl	5.97407E-26	1.68586E-11

Рекомендации

1. Чарльз Киттель; Герберт Кремер (1980). Теплофизика (2-е изд.). В. Х. Фриман. п.73. ISBN  978-0716710882.
2. Шредер, Дэниел (2000). Введение в теплофизику. США: Эддисон Уэсли Лонгман. стр.253. ISBN  0-201-38027-7.

• Цзыцзюнь Ян, "Общая длина волны теплового излучения и ее применение", Европейский журнал физики, 21 (2000) 625–631. http://www.iop.org/EJ/article/0143-0807/21/6/314/ej0614.pdf
• Ву-Куок, Л., Интеграл конфигурации (статистическая механика), 2008. этот вики-сайт не работает; видеть эта статья в веб-архиве от 28 апреля 2012 г..