Хронология бордизма - Timeline of bordism

Это график бордизм, топологическая теория, основанная на концепции граница многообразия. Для контекста см. временная шкала коллекторов. Жан Дьедонне писал, что кобордизм возвращается к попытке в 1895 г. определить теория гомологии используя только (гладкие) многообразия.^[1]

Интегральные теоремы

Год	Авторы	Мероприятие
Конец 17 века	Готфрид Вильгельм Лейбниц и другие	В основная теорема исчисления это основной результат в интегральное исчисление в одном измерении, и простая «интегральная теорема». An первообразный функции можно использовать для оценки определенный интеграл через интервал как знаковая комбинация первообразной в конечных точках. Следствие состоит в том, что если производная функции равна нулю, функция постоянна.
1760-е годы	Жозеф-Луи Лагранж	Вводит преобразование поверхностный интеграл к объемный интеграл. В то время общие поверхностные интегралы не были определены, и поверхность кубовид используется, в задаче на распространение звука.[2]
1889	Вито Вольтерра	Версия Теорема Стокса в п размеры, используя антисимметрию.[3]
1899	Анри Пуанкаре	В Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, он вводит версию теоремы Стокса в п размеры с использованием того, что по сути является обозначением дифференциальной формы.[4]
1899	Эли Картан	Определение внешняя алгебра из дифференциальные формы в Евклидово пространство.[4]
ок. 1900	Математический фольклор	Ситуация в конце 19 века такова, что геометрическая форма основной теоремы исчисления доступна, если все было достаточно гладко, когда требовалась строгость, и в евклидовом пространстве п размеры. Результат, соответствующий установке производной равной нулю, заключается в применении ее к закрытые формы[необходимо разрешение неоднозначности ], и как таковой «математический фольклор». По сути, это замечание, что существуют интегральные теоремы для подмногообразий, связанных соотношением кобордизм. Аналог теоремы о нулевой производной был бы для подмногообразий ${\displaystyle M_{1}}$ и ${\displaystyle M_{2}}$ которые вместе образуют границу многообразия N, а форма ${\displaystyle \omega }$ определено на N с ${\displaystyle d\omega =0}$. Тогда интегралы ${\displaystyle I_{1}}$ и ${\displaystyle I_{2}}$ из ${\displaystyle \omega }$ над ${\displaystyle M_{j}}$ равны. Сумма со знаком, наблюдаемая в случае границы размерности 0, отражает необходимость использования ориентации на многообразиях, чтобы определить интегралы.
1931–2	В. В. Д. Ходж	В векторное исчисление малых габаритов отводится место вообще тензорное исчисление, во всех измерениях, используя дифференциальные формы и Звездный оператор Ходжа. В кодифференциальный к внешней производной присоединен оператор дивергенции в общем виде. Замкнутые формы двойственны формам дивергенции 0.[5]

Когомологии

Год	Авторы	Мероприятие
1920-е годы	Эли Картан и Герман Вейль	Топология Группы Ли.
1931	Жорж де Рам	Теорема де Рама: для компактного дифференциального многообразия цепной комплекс из дифференциальные формы вычисляет действительные группы гомологий.[6]
1935–1940	Групповые усилия	В когомология концепция возникает в алгебраическая топология, контравариантный и двойственный к гомология. В контексте де Рама когомологии дают классы эквивалентных подынтегральных выражений, различающиеся на закрытые формы; гомология классифицирует области интеграции вплоть до границ. Когомологии де Рама становится основным инструментом для гладкие многообразия.
1942	Лев Понтрягин	Понтрягин полностью опубликовал в 1947 году новую теорию кобордизм в результате чего замкнутое многообразие, являющееся краем, имеет исчезающие Числа Штифеля-Уитни. Из фольклорного следствия теоремы Стокса, классы кобордизма подмногообразий инвариантны для интегрирования замкнутые дифференциальные формы; введение алгебраических инвариантов открывает возможности для вычислений с отношением эквивалентности как чем-то внутренним.[7]
1940-е годы		Теории пучки волокон со структурной группой грамм; из классификация пространств BG; из характеристические классы такой как Класс Штифеля-Уитни и Понтрягин класс.
1945	Сэмюэл Эйленберг и Норман Стинрод	Аксиомы Эйленберга – Стинрода охарактеризовать теория гомологии и когомологии на классе пространств.
1946	Норман Стинрод	В Проблема Стинрода. Поставленная как проблема 25 в списке Эйленберга, составленном в 1946 году, она задает вопрос, учитывая интегральный класс гомологии по степени п из симплициальный комплекс, является ли это изображением непрерывным отображением фундаментальный класс ориентированного многообразия размерности п? Предыдущий вопрос требует, чтобы классы сферических гомологий были охарактеризованы. Следующий вопрос задает критерий от алгебраическая топология чтобы ориентируемое многообразие было краем.[8]
1958	Фрэнк Адамс	Спектральная последовательность Адамса рассчитать, потенциально, стабильная гомотопия группы из групп когомологий.

Теория гомотопии

Год	Авторы	Мероприятие
1954	Рене Том	Формальное определение кобордизм ориентированных многообразий, как отношение эквивалентности.[9] Том вычислил, как кольцо под несвязный союз и декартово произведение, кольцо кобордизма ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{*}}$ неориентированных гладких многообразий; и представил кольцо ${\displaystyle \Omega _{*}}$ ориентированных гладких многообразий.[10] ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{*}}$ является алгеброй многочленов над полем из двух элементов с одним образующим в каждой степени, за исключением степеней, на одну меньшую степени двойки.[1]
1954	Рене Том	В современных обозначениях Том внес свой вклад в проблему Стинрода посредством гомоморфизма ${\displaystyle \Phi \colon \Omega _{\ast }^{\mathrm {SO} }(X)\to H_{\ast }(X,\mathbb {Z} )}$, гомоморфизм Тома.[11] В Пространство Тома конструкция M свела теорию к изучению отображений в когомологиях ${\displaystyle H^{\ast }(\mathrm {MSO} (k))\to H^{\ast }(X)}$.[12]
1955	Мишель Лазар	Универсальное кольцо Лазарда, кольцо определения универсального формальный групповой закон в одном измерении.
1960	Майкл Атья	Определение групп кобордизмов и групп бордизмов пространства Икс.[13]
1969	Дэниел Квиллен	Формальный групповой закон, связанный с сложный кобордизм универсален.[14]

Примечания

1. Дьедонне, Жан (2009). История алгебраической и дифференциальной топологии, 1900 - 1960 гг.. Springer. п. 289. ISBN  978-0-8176-4907-4.
2. Харман, Питер Майкл (1985). Споры и физики: исследования по кембриджской физике девятнадцатого века. Издательство Манчестерского университета. п. 113. ISBN  978-0-7190-1756-8.
3. Зейдлер, Эберхард (2011). Квантовая теория поля III: калибровочная теория: мост между математиками и физиками. Springer Science & Business Media. п. 782. ISBN  978-3-642-22421-8.
4. Виктор Дж. Кац, История теоремы Стокса, Mathematics Magazine Vol. 52, № 3 (май 1979 г.), стр. 146–156, at p. 154. Издатель: Taylor & Francis, Ltd. от имени Математической ассоциации Америки. JSTOR  2690275
5. Атья, Майкл (1988). Собрание сочинений: Майкл Атия Собрание сочинений: Том 1: Ранние статьи; Общие документы. Кларендон Пресс. п. 239. ISBN  978-0-19-853275-0.
6. "Теорема де Рама", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
7. Общество, канадское математическое общество (1971). Канадский математический бюллетень. Канадское математическое общество. п. 289. Получено 6 июля 2018.
8. Сэмюэл Эйленберг, О проблемах топологии, Анналы математики Вторая серия, т. 50, No. 2 (апрель 1949 г.), стр. 247–260, at p. 257. Издатель: Математический факультет Принстонского университета. JSTOR  1969448
9. Дьедонне, Жан (1977). Panorama des mathématiques pures (На французском). Бордас. п. 14. ISBN  978-2-04-010012-4.
10. Каппелл, Сильвен Э.; Уолл, Чарльз Теренс Клегг; Раники, Андрей; Розенберг, Джонатан (2000). Обзоры по теории хирургии: статьи, посвященные C.T.C. стена. Princeton University Press. п. 4. ISBN  978-0-691-04938-0.
11. "Проблема Стинрода - Атлас многообразий". www.map.mpim-bonn.mpg.de.
12. Рудяк, Ю. Б. (2001) [1994], "Проблема Стинрода", Энциклопедия математики, EMS Press
13. Аносов, Д. В. (2001) [1994], «Бордизм», Энциклопедия математики, EMS Press
14. Рудяк, Ю. Б. (2001) [1994], «Кобордизм», Энциклопедия математики, EMS Press