Топологическая сложность - Topological complexity

В математике топологическая сложность из топологическое пространство Икс (также обозначается TC (Икс)) это топологический инвариант тесно связан с планирование движения проблема^{[требуется дальнейшее объяснение ]}, представленный Майклом Фарбером в 2003 году.

Определение

Позволять Икс быть топологическим пространством и ${\displaystyle PX=\{\gamma :[0,1]\,\to \,X\}}$ - пространство всех непрерывных путей в Икс. Определите проекцию ${\displaystyle \pi :PX\to \,X\times X}$к ${\displaystyle \pi (\gamma )=(\gamma (0),\gamma (1))}$. Топологическая сложность - это минимальное число k такой, что

• существует открытая крышка ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i=1}^{k}}$ из ${\displaystyle X\times X}$,
• для каждого ${\displaystyle i=1,\ldots ,k}$, существует местная секция ${\displaystyle s_{i}:\,U_{i}\to \,PX.}$

Примеры

• Топологическая сложность: TC (Икс) = 1 тогда и только тогда, когда Икс является стягиваемый.
• Топологическая сложность сфера ${\displaystyle S^{n}}$ равно 2 для п нечетное и 3 для п четное. Например, в случае круг ${\displaystyle S^{1}}$, мы можем определить путь между двумя точками как геодезический между точками, если он уникален. Любая пара противоположные точки можно соединить дорожкой против часовой стрелки.
• Если ${\displaystyle F(\mathbb {R} ^{m},n)}$ это конфигурационное пространство из п различные точки в евклидовом м-пространство, то

${\displaystyle TC(F(\mathbb {R} ^{m},n))={\begin{cases}2n-1&\mathrm {for\,\,{\it {m}}\,\,odd} \\2n-2&\mathrm {for\,\,{\it {m}}\,\,even.} \end{cases}}}$

• Топологическая сложность Бутылка Клейна равно 4.^[1]

Рекомендации

1. Коэн, Дэниел С .; Вандембрук, Люсиль (2016). «Топологическая сложность бутылки Клейна». arXiv:1612.03133 [math.AT ].

• Фарбер, М. (2003). «Топологическая сложность планирования движения». Дискретная и вычислительная геометрия. 29 (2). С. 211–221.
• Арминдо Коста: Топологическая сложность конфигурационных пространств, Кандидат наук. Диссертация, Даремский университет (2010 г.), онлайн